ДИФГЕМлекц
.pdfДифференциальная геометрия и топология |
|
|
51 |
||
фическими координатами: |
|
|
|
|
|
|
x = R cos ϕ cos ψ, |
ϕ − широта, ϕ (−π2 , π2 ) |
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f := y = R cos ϕ sin ψ, |
ψ долгота, ψ |
( π, π) . |
(6.1) |
|
|
z = R sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно |
проверить, что эта формула дает регулярную параметризацию |
||||
|
|
|
|
|
сферы с удаленными полюсами {z = ±1}. Область изменения локальных координат ϕ и ψ — прямоугольник.
Стандартный базис {e1, e2} касательного пространства T(ϕ0,ψ0)D (рис.) под действием дифференциала отображения параметризации f (6.1) пе-
рейдет в базис {f e1, f e2} касательного пространства Tf(ϕ0,ψ0)S, причем
∂f
f (e1) = ∂ϕ(ϕ0, ψ0) = (−R sin ϕ0 cos ψ0, −R sin ϕ0 sin ψ0, R cos ϕ0),
∂f
f (e2) = ∂ψ(ϕ0, ψ0) = (−R cos ϕ0 sin ψ0, R cos ϕ0 cos ψ0, 0).
Вычисляя скалярные произведения (f ei, f ej) по обычной формуле (поскольку в объемлющем трехмерном пространстве рассматривается обычная евклидова геометрия) мы получим g11 = R2, g12 = g21 = 0, g22 = R2 cos2 ϕ. Значит, ds2 = R2(dϕ2 + cos2 ϕdψ2) — риманова метрика сферы радиуса R.
4) Индуцированная метрика.
Приведем теперь формулы для общего случая k-мерной поверхности в
d-мерном евклидовом пространстве, параметризованной следующим образом: xi = xi(t1, . . . , tk), i = 1, . . . , d. Длины кривых tj = tj(t), j = 1, . . . , k, лежащих в пространстве на поверхности Π
|
|
|
|
|
|
xi(t) = xi(t1(t), . . . , tk(t)), |
i = 1, . . . , n, |
|
|
|
|||||||||||
вычисляются по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
b |
|
|
|
|
b v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l = |
x˙ |
| |
dt = |
|
n |
(x˙i)2 dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z |
| |
|
Z ui=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
a |
uX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
Z |
s k |
∂ti ∂tj |
t˙it˙j dt = Z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gijt˙it˙j dt, (6.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xk ∂xk |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
X |
|
a |
q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
gij(t1, . . . , tk) = Xk |
∂xk ∂xk |
(6.3) |
||||
|
|
|
. |
|||
∂ti |
∂tj |
Очевидно, (dl)2 = gij dti dtj.
Таким образом, метрика пространства определяет метрику на любой лежащей в нем поверхности, оказывающуюся, вообще говоря, неевклидовой. Метрика (6.3) называется индуцированной метрикой на поверхности.
Дифференциальная геометрия и топология |
53 |
Лекция 7
Основы римановой геометрии
Длина кривой, угол между кривыми и площадь поверхно-
сти на римановом многообразии. Индуцированная метрика.
Задача о локсодроме. Площадь поверхности.
1. Длина кривой и угол между кривыми
Пусть на поверхности задана гладкая кривая γ и x = x(t), t [a, b]
— её запись в локальных координатах. Выведем формулу для вычисления
длины γ в римановой метрике. Как и прежде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
l(γ) = |
x˙(t) dt = |
|
(x˙(t), x˙(t))dt = |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt ei, |
|
|
|
dt ej |
|
|||||||||||||||||||
b |
| |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
! |
|||
Z | |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
a |
p |
a |
u |
X |
dxi |
X |
dxj |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Za |
|
u ij |
|
dxi dxj |
Za |
u ij |
|
dxi dxj |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
uX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
v |
(ei, ej) |
dt |
|
dt |
dt = |
|
v |
|
gij |
dt |
|
dt |
dt |
(7.1) |
|||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспринимая dt как бесконечно малую и пытаясь манипулировать с ней как с числом, мы можем в последней формуле внести dt под корень, сократить и получить нечто вроде
l(γ) = Zb |
s |
|
|
= Zb √ |
|
= Zb |
|
|
|
|
|
|
|||||
ij |
gijdxidxj |
ds2 |
ds. |
(7.2) |
||||
a |
X |
|
a |
|
a |
|
|
Получилась интуитивно вполне приемлемая формула, из которой становится ясно, почему для римановой метрики используется обозначение ds2.
В качестве примера применения формулы для длины кривой, вычислим длину радиуса от точки (0, 0) до (x0, y0) в модели Пуанкаре в единичном круге. Запишем параметрически уравнение радиуса x = x0t, y = y0t, t
[0, 1]. Тогда dx = x0dt, dy = y0dt,
(x2 + y2)dt2 ds2 = 0 0 .
(1 − x20t2 − y02t2)2
54 О.В. Знаменская, В.В. Работин
Окончательно получаем
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
Z 1 p |
(x02 + y |
02)t2 |
= 2 ln |
1 |
p |
|
x02 |
+ y02 . |
|||||
|
|
|
|
x02 |
+ y02dt |
1 |
|
1 + x02 |
+ y02 |
|||||
|
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
− p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что при стремлении конца отрезка к единичной окружности, длина отрезка стремится к бесконечности, т. е. точки граничной окружности {x2 + y2 = 1} находятся на бесконечном удаленнии от точек конечной части плоскости Лобачевского {x2 + y2 < 1}.
Рассмотрим еще одну формулу римановой геометрии. Пусть кривые γ1 : x¯ = x¯1(t) и γ2 : x¯ = x¯2(t) пересекаются в точке x¯0 = x¯1(t0) = x¯2(t1). По определению углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными векторами в точке их пересечения. Поэтому
|
|
|
|
|
˙ |
|
˙ |
|
|
|
|
|
(γ1 |
, γ2) = arccos |
(x¯1(t0), x¯2(t1)) |
= |
|
||||
|
|
|
˙ |
|
˙ |
|
|
|||
|
|
|
|
|x¯1 |
(t0)||x¯2(t1)| |
|
|
|||
= arccos |
|
|
gij(¯x0)x˙1i(t0) · x˙2j(t1) |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
qgkl(¯x0)x˙1k(t0) · x˙1l(t0) · p |
|
|
|
|||||||
|
gmn(¯x0)x˙2m(t1) · x˙2n(t1) |
|
В этой формуле и далее мы будем придерживаться следующего соглашения, которое иногда называют правилом суммирования Эйнштейна: если в некоторой формуле дважды встречается один и тот же индекс, причем один раз это нижний индекс, а другой раз — верхний, то по этому индексу происходит суммирование в пределах его изменения.
2. Задача о локсодромии
В качестве примера решим следующую задачу сферической геометрии.
Найти уравнение кривых на сфере, пересекающих все меридианы
ϕ = const под углом α (это кривая постоянного курса, который легко выдержать опираясь на показания компаса).
Решение. Пусть искомая локсодрома задается как график функции g(ϕ), т. е. параметрическое уравнение имеет вид:
ϕ = t
.
ψ = g(t)
Дифференциальная геометрия и топология |
55 |
Касательный вектор к локсодроме: τ1 = (1, g′(t)). Параметрическое уравнение меридиана: ϕ = t, ψ = ψ0, касательный вектор τ2 = (1, 0). Вычисляем косинус угла между τ1 и τ2:
|
(τ1, τ2) |
1 |
|
|
|||
cos α = |
|
|
= |
|
|
|
. |
|τ1| · |τ2| |
p |
|
|||||
1 + cos2 t · (g′(t))2 |
|
Отсюда найдем g′. Так как
cos2 α(1 + cos2 t · (g′(t))2) = 1,
то
cos2 α cos2 t · (g′(t))2) = sin2 α.
Отсюда
g′(t) = ±costg αt.
После интегрирования получим
g = ±tg2α ln 11 −+ sinsin tt + c.
Возвращаясь к прежним обозначениям окончательно получаем
ψ= ±tg2α ln 11 −+ sinsin ϕϕ + c.
3.Площадь поверхности
Покажем теперь как вычислять площадь области на поверхности r¯ = r¯(u, v), r = r(x, y, z) в пространстве, если известна риманова метрика на самой поверхности
ds2 = gij dxidxj, x1 = u, x2 = v. |
(7.3) |
Рассмотрим детерминант матрицы (gij):
g = det (gij) = g11g22 − g122 = EG − F 2 > 0. |
(7.4) |
56 |
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
Определение 7.1. Площадью области U на поверхности r¯ = r¯(u, v), r¯ = (x, y, z), называется величина
σ(U) = ZZ √g du dv,
U
где U — область на поверхности, заданная параметрически как область в плоскости (u, v).
Выражение √g du dv называется дифференциалом (элементом) площади на поверхности с римановой метрикой (gij).
Поясним, почему формула площади выглядит именно так. Рассмотрим пару векторов ξ, η евклидовой плоскости и параллелограмм λξ + µη,
0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ 1. Из курса аналитической геометрии известно, что площадь параллелограмма равна σ = |ξ1η2 − ξ2η1| = | det A|, где матрица
A образована из координат векторов ξ = ξ1e1 + ξ2e2 и η = η1e1 + η2e2 по отношению к ортонормированному базису e1, e2.
Пусть теперь базис e¯1, e¯2 не ортонормированный и скалярное произведение базисных векторов задается матрицей
(¯ei, e¯j) = gij, i, j = 1, 2.
Вычислим площадь параллелограмма, натянутого на векторы e¯1 и e¯2. Точки параллелограмма по прежнему {λe¯1 + µe¯2}, где 0 ≤ λ ≤ 1, 0 ≤ µ ≤ 1.
Лемма 7.1. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы e¯1 и e¯2,
p
p
det (gij) = g11g22 − g122 .
Доказательство. Квадратичную форму gij можно привести к диагональному виду gij′ = δij линейным преобразованием A, то есть, найдутся такие векторы e1, e2, что
e¯1 = a11e1 + a12e2, e¯2 = a21e1 + a22e2, |
(7.5) |
Дифференциальная геометрия и топология |
57 |
такие, что (ei, ej) = gij′ = δij (т. е. |ei|2 = 1, e1 e2). Из формул (7.5) вытекает, что
g11 = (¯e1, e¯1) = a211 + a212,
g12 = g21 = (¯e1, e¯2) = a11a21 + a22a12, g22 = (¯e2, e¯2) = a221 + a222.
На матричном языке |
|
a22 !. |
(gij) = G = ATA, A = |
a21 |
|
|
a11 |
a12 |
Так как базис (e1, e2) ортонормирован и векторы e1, e2 имеют вид (7.5), то площадь параллелограмма, натянутого на e¯1, e¯2, равна | det A|. Но det AT = det A, поэтому
g = det (gij) = ( det A)2,
| det A| = √g.
Напомним определение интеграла функции по области U.
Рассмотрим область U на плоскости с координатами x1 = u, x2 = v, ограниченную некоторой кусочно гладкой кривой Γ. Пусть в D задана непрерывная функция f(u, v) двух переменных. Разобьем плоскость на малые прямоугольники со сторонами ∆u, ∆v (мы считаем, что ∆u и ∆v
стремятся к нулю).
Рассмотрим все внутренние для области прямоугольники со сторонами
∆u и ∆v для прямоугольной сетки. Для прямоугольника Sα мы рассмотрим значение f(uα, vα) нашей функции в центре прямоугольника. Рассмотрим интегральную сумму
X
S(f, U) = f(uα, vα) ∆u ∆v,
α
где сумма берется по всем внутренним прямоугольникам.
58 О.В. Знаменская, В.В. Работин
Определение 7.2. Предел сумм S(f, U) при ∆u → 0, ∆v → 0, если он существует, называется двукратным интегралом от функции f(u, v)
по области и обозначается |
RR |
|
f(u, v) du dv. |
||
|
|
U |
В частности, если f(u, v) |
≡ 1 и (u, v) — евклидовы координаты, то |
|
ТеперьRR |
|
U |
интеграл |
du dv совпадает с площадью области U. |
U
легко понять, почему выше мы определили площадь области на плоскости с координатами u = x1, v = x2, в которых метрика имеет вид ds2 = g11 du2 + 2g12 du dv + g22 dv2, как интеграл
σ(U) = ZZ √g du dv.
U
Действительно, если ∆u и ∆v малы, то площадь малого параллелограмма с центром в точке (uα, vα) и со сторонами ∆u и ∆v равна примерно
p
Sα ≈ ∆u ∆v g11g22 − g122 согласно доказанному выше утверждению, причем числа gij вычисляются в точке (uα, vα). Мы имеем при малых ∆u, ∆v
XX
p
Sα ≈ g(uα, vα) ∆u ∆v.
αα
Предел этих сумм при ∆u → 0, ∆v → 0 и есть интеграл σ(U) =
RR √g du dv.
U
Дифференциальная геометрия и топология |
59 |
Лекция 8
Расстояние на римановом многообразии.
Уравнения Эйлера-Лагранжа
Расстояние на римановом многообразии. Геодезические линии. Обобщение задачи — простейшая задача вариационного исчисления. Действие. Лагранжиан. Вывод уравнений Эйлера–Лагранжа.
1. Геодезические
Основные объекты элементарной геометрии — прямые и окружности. Развивая риманову геометрию, хотелось бы иметь аналоги этих элементарных объектов. В качестве ключевого свойства прямой линии евклидовой геометрии, которое кладут в основу риманова обобщения прямой, выбирают свойства отрезков прямых быть кратчайшими кривыми, соединящими заданные точки (концы отрезков). Имеется одна тонкость: не для всякой пары точек области может существовать кратчайшая кривая, соединяющая эту пару точек. Простой пример: область D — круг с выброшенным центром, точки p и q — центрально симметричные точки круга. Ясно, что в этой ситуации не существует кратчайшей кривой (в евклидовой геометрии), соединяющей p и q. По этой причине свойство быть кратчайшей кривой локализуют.
Определение 8.1. Пусть на гладкой поверхности Π с римановой метрикой ds2 лежит гладкая кривая γ. Кривая γ называется геодезической
(или, локально кратчайшей) если для любой точки p γ существует окрестность Up такая, что для любой кривой γ˜, совпадающей с γ вне Up и для любой пары точек a, b γ вне Up выполняется условие: l(˜γ)ba ≥ l(γ)ba, где l(γ)ba — длина кривой γ с концами в точках a, b.
Чтобы найти геодезическую, нужно решить задачу на локальный экстремум. В математическом анализе давно разработан метод нахождения
60 |
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
уравнений, которым удовлетворяют точки экстремума. Будем подходить к выводу уравнений геодезических с позиций математического анализа. Полезно несколько обобщить задачу, поскольку она имеет гораздо большее значение, нежели просто построение риманова аналога прямых линий.
2. Простейшая задача вариационного исчисления
Пусть D — область в Rd и p, q — две точки из D. Рассмотрим множество
Φ всех гладких параметризованных кривых γ: x = x(t), t [a, b] в области
D, соединяющих точки p и q, т. е. x(a) = p, x(b) = q, γ Φ. Пусть на множестве Φ задана функция, называемая действием,
b
Z
S(x) := L(x(t), x(˙t), t)dt.
a
Требуется найти уравнения, которым должна удовлетворять всякая кривая x = x(t), доставляющая экстремальное значение действию S(x). Такие кривые называются экстремалями действия. Сформулированная таким образом задача, отностится к классу простейших задач вариационного исчисления, а подинтегральное выражение L(x, x,˙ t) называется лагарнжианом действия и, как правило, имеет достаточное число непрерывных производных. Задача об определении геодезических линий становится частным случаем этой задачи, если в качестве лагранжиана взять
pp
L(x, x˙) = (x, x˙) = gij(x)x˙ix˙j — длину касательного вектора к кривой x(t), соединяющего заданные точки p и q из риманова многообразия
(D, ds2).
Теорема 8.1. Если x¯ = x¯(t), x¯(a) = p,¯ x¯(b) = q¯ - экстремаль действия
b
S(¯x) = R L(x1, . . . , xn, x˙, . . . , x˙n, t)dt, то x¯ = x¯(t) удовлетворяет системе
a
уравнений Эйлера–Лагранжа
d ∂L |
− |
∂L |
= 0, i = 1, . . . , n. |
||
|
|
|
|
||
dt ∂x˙i |
∂x˙i |