ДИФГЕМлекц
.pdfДифференциальная геометрия и топология |
21 |
Итак: f : X → Y непрерывно V τY U = f−1(V) τX .
Поскольку прообраз f−1(Y \V) дополнения Y \V равен дополнению X \ f−1(V) прообраза f−1(V), из теоремы 2.1. сразу получается двойственная
к ней
Теорема 2.2. Для того, чтобы отображение f : X → Y топологического пространства (X, τX ) в топологическое пространство (Y, τY ) было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого замкнутого множества в Y был замкнут в X.
2. Примеры непрерывных отображений
Рассмотрим несколько простых примеров непрерывных отображений.
Пример 2.1. Для любого топологического пространства X = (X, τX ) тождественное отображение Id : X → X, определяемое формулой Id(x) = x, является непрерывным.
Пример 2.2. Для любых двух топологических пространств X = (X, τX ) и
Y = (Y, τY ) постоянное отображение p : X → Y , определяемое формулой p(x) = y0, где y0 — фиксированная точка в Y , является непрерывным.
Пример 2.3. Вложение i : Y ,→ X, i(x) = x, подпространства Y с индуцированной топологией также непрерывно.
Непрерывность указанных отображений проще всего проверять с помощью теоремы 2.1. Так, в примере 2.1. прообраз Id−1(U) всякого открытого множества U равен самому U и потому открыт. В примере 2.3 прообраз каждого открытого множества U X равен Y ∩ U и, значит, открыт в Y в
индуцированной топологии.
Большое количество содержательных примеров непрерывных отображений можно получить, обращаясь к функциям f : R → R, или, более общо, к отображениям f : Rn → Rm. Такие функции изучаются в курсе
22 |
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
математического анализа; при этом, как отмечалось в упражнении ??. и в переходе от определения 2.1. к определению 2.2., применяемое в анализе понятие непрерывности равносильно общему определению 2.3.
В различных математических дисциплинах часто приходится рассматривать вещественнозначные отображения, т.е. отображения вида f : X →
R. Такие отображения мы будем называть функциями на X. Приведем теперь нетривиальный пример функции, не являющейся непрерывной.
Пример 2.4. Функция f(x) = x2, определенная на множестве вещественных чисел R с естественной топологией (база которой — интервалы вида
(a, b)), непрерывна на R.
Введем теперь на множестве вещественных чисел R топологию
τ = { , {(−∞, x) : x R}},
превратив его тем самым в топологичеcкое пространство X = (R, τ), и определим функцию f : X → R тем же равенством f(x) = x2. Функция f не является непрерывной на X, поскольку f−1((−∞, y2)) = (−y, y) не принадлежит τ.
Пример 2.4. и упражнение ??. подчеркивают, что непрерывность отображения — свойство относительное, — оно зависит не только от способа задания отображения, но и от введенной во множествах топологической структуры. Рассмотрим крайние случаи.
Пример 2.5. Если в пространстве X введена дискретная топология τd, то любое его отображение в произвольное топологическое пространство Y
непрерывно в силу того, что прообраз любого подмножества из Y открыт в X. С другой стороны, если X — произвольное топологическое пространство, а (Y, τt) — пространство с тривиальной топологией, то любое отображение f : X → Y также непрерывно.
Множество непрерывных отображений
f : X = (X, τX ) −→ Y = (Y, τY )
Дифференциальная геометрия и топология |
23 |
обозначают символом C(X; Y ).
Анализируя предыдущие примеры, получим, что чем слабее топология τY и сильнее топология τX , тем больше в C(X; Y ) элементов (больше отображений являются непрерывными). Вместе с тем, независимо от выбранных топологий, в C(X; Y ) не меньше элементов, чем в Y (количество постоянных отображений).
3.Задачи о непрерывных отображениях
Втопологии и ее приложениях часто приходится решать задачи следующих трех типов.
Задача 1. Пусть X = (X, τX ) и Y = (Y, τY ) — топологические пространства, а f — отображение X → Y . Верно ли, что f C(X; Y )?
Эта задача рассматривалась выше для некоторых пространств и отображений. Для ее решения всегда требуется дополнительная информация о X, Y и f. Следующие две задачи можно решить без дополнительных предположений.
Задача 2. Пусть X = (X, τX ) — топологическое пространство, Y —
некоторое множество, а f — произвольное отображение из X в Y . Ввести на Y топологию так, чтобы f C(X; Y ).
Введем топологию на Y .
Объявим открытыми в Y те и только те множества U Y , прообразы f−1(U) которых открыты в X (включая и случай пустого прообраза). Проверим, что совокупность {U} образует топологию на Y .В самом деле, само Y и принадлежат {U} так как f−1(Y ) = X τX и f−1( ) = τX . Произвольное объединение α Uα множеств Uα {U} снова принадлежит
{U}. Действительно,
α= f−1 Uα τX
αα
всилу определения {U}, согласно которому каждое f−1(Uα) τX . Анало-
24 О.В. Знаменская, В.В. Работин
гично, любые конечные пересечения |
|
|
|
|
|
|
||||
i∩ U |
|
{U} |
|
поскольку f−1 |
∩ U |
|
∩ |
U |
|
|
k |
αi |
|
, |
k |
αi) = |
k f−1 |
αi |
|
τX . |
|
=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
Итак, τY = {U} — искомая топология на Y .
Построенную топологию τY будем называть топологией, индуцированной отображением f.
Задача 3. Y = (Y, τY ) — топологическое пространство, X — некоторое множество, а f — произвольное отображение из X в Y . Ввести на X
топологию так, чтобы f C(X; Y ).
Зададим топологию τX на X, положив τX = f−1(U) U τY . Нетрудно убедиться, что система τX удовлетворяет аксиомам топологии. Очевидно, что f непрерывно как отображение топологических пространств
X = (X, τX ) −→ Y = (Y, τY ).
4. Свойства непрерывных отображений
Композиция непрерывных отображений непрерывна. Более точно, имеет место
Предложение 2.1. Пусть X, Y и Z — топологические пространства. Если f : X → Y и g : Y → Z — непрерывные отображения, то их
композиция h = g ◦ f : X → Z, определяемая формулой h(x) = g(f(x)), также непрерывна.
Доказательство. Сразу вытекает из теоремы 2.1., так как для всякого открытого множества U Z прообразы g−1(U) и h−1(U) = f−1(g−1(U))
открыты в Y и X соответственно.
Сужение непрерывного отображения непрерывно. Более подробно, справедливо
Предложение 2.2. Если f : X → Y — непрерывное отображение, X′ X
— подпространство с индуцированной топологией, то сужение f|X′ :
X′ → Y непрерывно.
Дифференциальная геометрия и топология |
25 |
|
||||||
Доказательство. Пусть U Y — произвольное открытое множество. То- |
||||||||
|X′ |
U |
) = f−1( |
U |
) |
∩ |
X′ — открыто в индуцированной топологии ввиду |
||
гда f −1( |
|
|
|
|||||
непрерывности f. По теореме 2.1. заключаем, что f|X′ |
непрерывно. |
Предложение 2.3. Если f : X → Y непрерывное отображение, A X и x0 A, то f(x0) f(A).
Доказательство. Пусть U = U(f(x0)) — произвольная окрестность точки f(x0) Y . Ввиду непрерывности f в точке x0 найдется такая окрестность
V = V (x0) точки x0, что f(V ) U. Но т.к. x0 — точка прикосновения для A, то в V есть точка y A, образ которой f(y) U ∩ f(A). Все это означает, что f(x0) f(A).
Бывает полезно знать следующие факты о функциях на топологическом пространстве X.
Предложение 2.4. Если X — топологическое пространство, а f, g : X →
R непрерывные функции, то множества
A = {x X : f(x) = 0},
B = {x X : f(x) > 0},
C = {x X : f(x) > g(x)}
а множества
B ′ = {x X : f(x) > 0},
C ′ = {x X : f(x) > g(x)}
замкнуты,
— открыты.
Доказательство. Замкнутость множеств A и B вытекает из теоремы 2.2., поскольку A = f−1(0), B = f−1([0, ∞)) — прообразы замкнутых множеств при непрерывном отображении. Аналогично, множество B ′ открыто согласно теореме 2.1. Доказательство замкнутости C и открытости C ′ сводится к соответствующим утверждениям для B и B ′, если мы покажем, что функция h = f − g непрерывна. Для этого заметим, что h = ϕ ◦ ψ, где
ψ : X → R2, ψ(x) = (f(x), g(x)), а ϕ : R2 → R, ϕ(x1, x2) = x1 − x2. Здесь
R2 рассматривается с “прямоугольной” метрикой. Непрерывность функции
26 |
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
ϕ доказывается в курсе математического анализа. Теперь, согласно предложению 2.1., для непрерывности h осталось доказать непрерывность ψ. Пусть B = Bε(x01, x02) — открытый шар в R2 с центром в точке (x01, x02) R2 радиуса ε. В “прямоугольной” метрике B представляет собой произведение γ1 × γ2 интервалов
γ1 = {x R : |x − x01| < ε} и γ2 = {x R : |x − x02| < ε}.
Поэтому ψ−1(B) = f−1(γ1)∩g−1(γ2) открыты, поскольку открыты прообразы f−1(γ1) и g−1(γ2) открытых множеств γ1 и γ2 при непрерывных отображениях.
Представляя произвольное открытое множество U R2 в виде объеди-
нения базисных шаров U = B(z), получим, что ψ−1(U) = ψ−1(B(z)) —
z U
открыто. Непрерывность отображения ψ установлена, что завершает доказательство предложения 2.4.
5. Гомеоморфизм
Сформулируем одно из важнейших определений.
Определение 2.5. Отображение f : X −→ Y топологического пространства X на топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно, т.е. если
1.f : X −→ Y — биекция;
2.f — непрерывно;
3.f−1 : Y −→ X — непрерывно.
Пространства X и Y при этом называются гомеоморфными.
Замечание 2.1. Условие 3) не зависит от условий 1) и 2). Чтобы убедиться в этом, достаточно на любом непустом множестве X ввести две топологии, одна из которых сильнее другой, и рассмотреть тождественное отображение Id : X −→ X. Например, пусть τd — дискретная, а τ — естественная
Дифференциальная геометрия и топология |
27 |
топологии на R. Тогда Id : (R, τd) −→ (R, τ) непрерывно, а обратное отображение Id−1 не является непрерывным.
Условия 2) и 3) о непрерывности f и f−1 вместе с критерием непрерывности 2.1. позволяют заключить следующее: при гомеоморфизме образы и прообразы открытых множеств также открыты, а значит f осуществляет взаимно однозначное соответствие между системами открытых множеств
X и Y . Итак, гомеоморфизм между двумя топологическими пространствами — это биекция как между точками, так и между топологиями этих пространств. Отсюда следует, что гомеоморфные пространства обла-
дают одними и теми же топологическими свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми. Например, если V — окрестность точки x X, то f(V) — окрестность точки f(x) Y ; если {Uα} — база топологии
τX , то {f(Uα)} — база топологии τY ; f(A) = f(A) и так далее.
Поэтому с топологической точки зрения гомеоморфные пространства можно рассматривать как два экземпляра одного и того же пространства.
6. Примеры гомеоморфных пространств
Пример 2.6. Отрезок [0, 1] и интервал (0, 1) в дискретной топологии гомеоморфны. Для доказательства достаточно построить взаимно однозначное соответствие между точками интервала и отрезка.
Пример 2.7. Интервал (−1, 1) и числовая ось R гомеоморфны. Действительно, функция y = tg (πx/2) : (−1, 1) −→ R, взаимно однозначно отображающая интервал (−1, 1) на всю числовую ось, непрерывна вместе с обратной функцией x = (2/π)arctg y.
Пример 2.8. Аффинное невырожденное преобразование пространства Rn
является гомеоморфизмом. Действительно, всякое такое отображение f :
Rn → Rn задается в виде y = Ax + b, где A = (aij) — невырожденная матрица (det (aij) ̸= 0). В курсе математического анализа доказыватся, что линейное отображение y = Ax + b : Rn −→ Rn является непрерывным, а из курса линейной алгебры известно, что это отображение допускает
28 |
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
обратное x = A−1y − A−1b, которое также линейно и потому непрерывно. Следовательно, f — гомеоморфизм.
Из последнего примера следует, что фигуры на плоскости или в n–
мерном пространстве, которые можно перевести друг в друга невырожденным линейным преобразованием (с помощью параллельного переноса, поворота вокруг точки, оси или плоскости, отражения, сжатия и т.д.), гомеоморфны. Так, например, окружность гомеоморфна эллипсу, сфера — эллипсоиду и т.д.
Пример 2.9. Любое изометричное (сохраняющее метрику) отображение метрических постранств является гомеоморфизмом. Обратное неверно.
Дифференциальная геометрия и топология |
29 |
Лекция 3
Связность и компактность
Связность: определение, свойства и примеры. Компактные пространства: лемма Гейне-Бореля и общее определение компактного топологического пространства. Свойства компактных множеств (компактность замкнутого подмножества, компактность образа компактного пространства при непрерывном отображении, теорема Вейерштрасса). Критерий компактности подмножества конечномерного евклидова пространства.
1. Определение и примеры связных пространств
Определение 3.1. Топологическое пространство X называется несвязным, если оно представимо в виде объединения двух непустых открытых непересекающихся подмножеств. Если X нельзя разложить в объединение непустых открытых непересекающихся подмножеств, то X
называется связным.
По определению X несвязно, если X = Φ1 Φ2, где Φ1 и Φ2 непусты, открыты и Φ1 ∩ Φ2 = . Так как Φ2 = X \ Φ1, Φ1 = X \ Φ2, то Φ1 и Φ2 являются также и замкнутыми. Поэтому определение (3.1) равносильно таким определениям:
a)X несвязно X представимо в виде объединения двух непустых замкнутых непересекающихся подмножеств.
b)X несвязно в X имеется собственное подмножество Y (т.е. Y ̸=
, X), которое одновременно замкнуто и открыто.
Определение 3.2. Подмножество M топологического пространства X
называется связным, если M — связное пространство в индуцирован-
ной топологии.
30 |
О.В. Знаменская, В.В. Работин |
Рассмотрим примеры.
1.Дискретное топологическое пространство, состоящее более чем из одной точки, несвязно, т.к. в нем любое подмножество открыто и замкнуто.
2.Отрезок [a, b] числовой прямой связен. Докажем это. Допустим, что
[a, b] = Φ1 Φ2, где Φi, i = 1, 2 — открыто-замкнутые непустые непересекающиеся подмножества. Без ограничения общности можно счи-
тать, что a Φ1. В силу открытости Φ1 найдется такое ε > 0, что [a, a + ε) Φ1. Пусть x = sup{a + ε : [a + ε) Φ1}. Из определения sup вытекает, что x — предельная точка для Φ1 и ввиду замкнутости Φ1 точка x Φ1. Единственной возможностью для x может быть только равенство x = b, т.к. в противном случае из-за открыто-
сти Φ1 не имело бы места равенство x = sup{a + ε}. Таким образом,
Φ1 = [a, b] и Φ2 = , что противоречит предположению.
3.Всякие интервалы (a, b), полуинтервалы [a, b) связны. Доказательство аналогично случаю отрезка.
4.Проколотый интервал (отрезок, полуинтервал) несвязен. Действительно, поколотый интервал имеет вид X = (a, b) \ {c}, где c (a, b).
Отсюда X = Φ1 Φ2, где Φ1 |
= (a, c), Φ2 = (c, b) — открыты, непусты |
||||
и не пересекаются. |
|
|
|
||
5. Подмножество рациональных чисел Q R несвязно, т.к. Q = Φ1 Φ2, |
|||||
√ |
|
|
√ |
|
|
где Φ1 = {r Q; r < 2}, Φ2 |
= {r Q : r > 2}. |
2. Свойства связных пространств
Докажем несколько утверждений, помогающих выяснять связность топлогических пространств.
Теорема 3.1. Пусть M — связное подмножество топологического пространства X и M G1 G2, где G1, G2 открыты и G1 ∩ G2 = . Тогда
M полностью лежит в одном из множеств G1 или G2.