- •Лекция 1
- •Введение
- •Метрические пространства. Определения и примеры
- •Лекция 2
- •Непрерывные отображения метрических пространств
- •Сходимость
- •Лекция 3
- •Замыкание
- •Замкнутые множества
- •Лекция 4
- •Открытые множества
- •Полные метрические пространства
- •Лекция 5
- •Теорема о вложенных шарах
- •Плотные подмножества. Теорема Бэра
- •Лекция 6
- •Полнота и разрешимость уравнений
- •Пополнение пространства
- •Лекция 7
- •Принцип сжимающих отображений
- •Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
- •Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
- •Лекция 8
- •Нормированные пространства
- •Евклидовы пространства
- •Лекция 9
- •Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
- •Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя
- •Лекция 10
- •Теорема об изоморфизме
- •Подпространства, ортогональные дополнения
- •Лекция 11
- •Функционалы: основные определения и примеры
- •Компактность и полная ограниченность
- •Лекция 12
- •Свойства непрерывных линейных функционалов
- •Лекция 13
- •Сопряженное пространство
- •Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве
- •Лекция 14
- •Второе сопряженное пространство
- •Слабая сходимость
- •Лекция 15
- •Обобщенные функции
- •Производная обобщенной функции
- •Лекция 16
- •Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
- •Лекция 17
- •Обобщенные функции нескольких переменных
- •Свертка обобщенных функций
- •Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Лекция 18
- •Линейные операторы: основные определения
- •Норма оператора
- •Лекция 19
- •Пространство ограниченных линейных операторов
- •Компактные операторы
- •Лекция 20
- •Принцип равномерной ограниченности
- •Лекция 21
- •Замкнутые операторы
- •Теорема о замкнутом графике
- •Лекция 22
- •Сопряженный оператор
- •Операторные уравнения
- •Обратный оператор
- •Лекция 23
- •Непрерывная обратимость
- •Достаточные условия непрерывной обратимости
- •Лекция 24
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Спектр компактного оператора
- •Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта
- •Лекция 25
- •Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
- •Множества меры нуль. Сходимость почти всюду
- •Лекция 26
- •Функции, интегрируемые по Лебегу
- •Основные свойства интеграла Лебега
- •Кратный интеграл Лебега
- •Лекция 27
- •Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
- •Самосопряженные операторы
- •Лекция 28
- •Собственные значения самосопряженных операторов
- •Лекция 29
- •Базисы со свойством двойной ортогональности
- •Лекция 30
- •Теорема об итерациях операторов
- •Условия разрешимости уравнений первого рода
- •Лекция 31
- •Операторные уравнения второго рода
- •Теоремы Фредгольма
- •Лекция 32
- •Замечания к теоремам Фредгольма
- •Следствия из теорем Фредгольма
- •Лекция 33
- •Линейные интегральные уравнения второго рода
- •Лекция 34
- •Уравнения с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра
- •Заключительные замечания
- •Список литературы
215
4.5Лекция 29
4.5.1Окончание доказательства теоремы Гильберта-Шмидта и следствия из нее
Продолжим доказательство теоремы.
Мы научились строить искомые вектора k по индукции в порядке убывания абсолютных величин соответствующих собственных значений
j 1j j 2j : : :
Теперь возможны два случая:
1)после конечного числа шагов мы получим линейное подпространство Hn0 , в котором (Ax; x) 0 ;
2)(Ax; x) 6 0 на Hn для всех n 2 N.
В первом случае из леммы 4.4.3 вытекает, что Hn0 ker A. В самом деле, пусть (Ax; x) 0 на Hn0 . Тогда, зафиксировав какойнибудь произвольный элемент x0 2 Hn0 на единичной сфере, мы получим, что функционал j(Ax; x)j достигает максимума в этой точке и (Ax0; x0) = 0. В силу леммы 4.4.3 (Ax0; Ax0) = 0, а значит, Ax0 = 0. Таким образом, из произвольности x0 следует, что Ax = 0 для всех x 2 Hn0 , лежащих на единичной сфере, а значит, и для всех x 2 Hn0 .
Итак, в первом случае Hn0 состоит из собственных векторов, отвечающих = 0, а система f kg состоит из конечного числа элементов. По построению справедливо ортогональное разложение
H= L(f kgnk=10 1) Hn0 ;
аследовательно, каждый элемент x 2 H записывается единственным образом в виде
x = x00 + x0;
216
где x00 2 L(f kgkn=10 1), a x0 |
2 Hn0 ker A; при этом |
n0 1 |
n0 1 |
X |
X |
x00 = ck k; |
Ax = Ax00 = ck k k: |
k=1 |
k=1 |
Во втором случае получаем последовательность f ng1n=1 собственных векторов, для каждого из которых n 6= 0. Покажем,
lim |
|
= 0 |
. Последовательность f |
|
1 |
|
что n!1 |
n |
|
|
ngn=1 |
ортонормирована, а |
значит, слабо стремится к нулю в H. Поэтому в силу компактности
оператора A элементы A n = n n сходятся к нулю по норме, откуда limn!1 j nj = limn!1 kA nk = 0.
Пусть
H1 = \1n=1Hn = L(f kg1k=1) ? :
Если x 2 H1 и x 6= 0, то для всех n 2 N
Akxk |
; kxk |
j(A n; n)j = j nj; |
|||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда
j(Ax; x)j j njkxk2 для всех n 2 N:
Следовательно, (Ax; x) = 0 для всех x 2 H1. Применяя к H1
те же рассуждения, что и к Hn0 , мы заключаем, что H1 ker A. Снова по построению справедливо ортогональное разложение
H= L(f kg1k=1) H1;
аследовательно, каждый элемент x 2 H записывается единственным образом в виде
x = x00 + x0
где x00 2 L(f kg1k=1), a x0 2 H1 ker A; при этом
1 |
1 |
X |
X |
x00 = ck k; |
Ax = Ax00 = ck k k: |
k=1 |
k=1 |
Теорема доказана. |
|
217
Следствие 4.5.1. Для всякого компактного самосопряженного оператора A : H ! H в полном сепарабельном евклидовом пространстве H существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов.
Доказательство. В самом деле, построенную в теореме 4.4.1 систему векторов f kg достаточно дополнить произвольным базисом подпространства Hn0 (в случае конечного числа векторов f kg) или подпространства H1 (в случае бесконечного числа векторов f kg).
Замечание 4.5.1. Если dim H < 1, то следствие 4.5.1 есть не что иное, как теорема о приведении матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе (см., например, [10]). Для несамосопряженных компактных операторов такое приведение, вообще говоря, невозможно (пример 3.7.2). Тем не менее справедливо следующее утверждение: всякое линейное преобразование конечномерного пространства имеет хотя бы один собственный вектор.
Пример 4.5.1. Пусть H = L2[0; 1], (Ax)(t) = tx(t). Оператор A, очевидно, линеен. Он ограничен в силу оценки
kAxk = |
0 1 jtx(t)j2 |
dt11=2 |
0 1 tjx(t)j2 |
dt11=2 = kxk: |
|
|
Z |
|
A |
Z |
A |
Кроме того, |
@0 |
|
@0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(Ax; y) = Z |
tx(t)y(t) dt = (x; Ay); |
0
218
т.е. оператор самосопряжен. Он не компактен, так как переводит p
ограниченную последовательность fxk = 2k + 1 tkg в непред- p p
компактную fyk 2k + 1 tk+1g. В самом деле, k 2k + 1 tkk = 1,
а |
|
|
2j + 3 s |
|
|
|
|
|||
kyj2 yjk2 = 2j2 |
+ 3 + |
|
|
|
|
|||||
|
(j2 + j + 1)2 : |
|||||||||
|
2j2 |
+ 1 |
|
2j + 1 |
(2j2 + 1)(2j + 1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому kyj2 yjk2 1 начиная с некоторого j0 2 N.
Наконец, если Ax = x, то x(t) = 0 для всех t 6= , что в пространстве Лебега означает x = 0. Таким образом, собственных значений этот оператор не имеет.
4.5.2Базисы со свойством двойной ортогональности
Пусть оператор A компактен, а A : H2 ! H1 – сопряженный оператор для оператора A. Тогда, очевидно, оператор A A : H1 !
H1 является самосопряженным и компактным. В случае бесконечномерных пространств оператор A не может быть непрерывно обратимым согласно лемме. Иначе говоря, образ компактного оператора в бесконечномерных пространствах незамкнут. Тем не менее, спектральная теорема 4.4.1 дает нам возможность получить условия разрешимости и построить решения соответствующего операторного уравнения.
Лемма 4.5.1. Пусть A компактен. Если система собственных векторов fb g оператора A A есть ортонормированный базис пространства H1, то система fAb gAb 6=0 является ортогональ-
ным базисом подпространства R(A).
Доказательство. В самом деле,
(Ab ; Ab )2 = (A Ab ; b )1 = (b ; b )1 = 0; 6= :
219
С другой стороны, если вектор y принадлежит R(A), то найдется такая последовательность fxN gN2N H1, что limN!1 AxN = y. Так как fb g является базисом в H1, то
k |
k |
X |
X |
xN = c(N)b ; AxN = c(N)Ab : |
|
=1 |
=1 |
для каждого N 2 |
N. Значит, линейная оболочка системы |
fAb gAb 6=0 – плотна в R(A). Теперь по теореме 2.2.2, система fAb gAb 6=0 есть ортогональный базис подпространства R(A). Такие базисы называются базисами с двойной ортогонально-
стью.
Теорема 4.5.1. Пусть оператор A компактен. Тогда задача 4.3.1 разрешима в том и только том случае, когда:
(1) |
y 2 |
(ker A )?; |
< 1. |
||||
(2) |
Ab 6=0 |
kAb k12 |
|
2 |
|||
|
P |
|
|
(y;Ab )1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. В самом деле, необходимость условия (1) нами уже установлена (см. лемму об аннуляторе ядра). Кроме того, если x – одно из решений задачи 4.3.1, то, согласно спектральной теореме Гильберта-Шмидта,
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
x = |
c b + x0; Ax = |
c Lb : |
|||||
|
|
|
|
|
Ab 6=0 |
|
|
|
Ab 6=0 |
|
Неравенство |
Бесселя гарантирует |
|
нам |
сходимость ряда |
||||||
P |
Ab 6=0 |
c |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
Наконец,j j |
в силу леммы 4.5.1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
(y; Ab )1 |
|
|
||
(4.5.1) |
|
|
|
X k k |
|
|
|
|||
|
|
|
y = |
|
|
|
Ab |
|
||
|
|
|
|
|
=1 |
|
Ab |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220
и, так как Ax = y, то единственность коэффициентов Фурье гарантирует нам, что c =
Обратно, пусть y 2 (ker A )?. Тогда, в силу леммы 4.5.1, справедливо разложение (4.5.1). Далее, согласно теореме Рисса-Фишера,
условие (2) означает, что ряд x0 = |
(y;Ab )1 |
b сходится в H1 |
||||||
Ab 6=0 |
kAb k2 |
|||||||
и принадлежит |
(ker A)? |
по построению Ax |
|
= y. |
|
|||
|
. Наконец,P |
|
|
|
0 |
|
Из доказательства теоремы 4.5.1 видим, что, зная "базис с двой-
ной ортогональностью" fb g, соответствующий оператору A, легко найти решение уравнения Au = y.
Следствие 4.5.2. Если задача 4.3.1 разрешима, то ряд
x0 = X (y; Ab )1 b
Ab 6=0 kAb k2
сходится в H1, принадлежит (ker A)? и является единственным решением задачи 4.3.1 в этом подпространстве.
Доказательство. В силу теоремы 4.5.1 нужно проверить только единственность. В самом деле, если два решения, скажем, x1, x2
задачи 4.3.1 лежат в (ker A)?, то их разность (x1 x2) также лежит в этом подпространстве. С другой стороны, A(x1 x2) = y y = 0, т.е. разность (x1 x2) принадлежит ker A, а значит,
x1 = x2. |
|
|
|
Частичные суммы x0(N) = |
|
(y;Ab )1 |
b ряда x0 мож- |
2 |
|||
Ab 6=0; 1 N |
|
kAb k |
|
но трактовать как приближенные решенияP |
задачи 4.3.1. |
Отметим, что приведенный метод построения решений некор-
ректных задач называется методом регуляризации. Он имеет один существенный недостаток – нужно искать не только оператор A , но и собственные вектора и собственные значения оператора A A, что есть очень трудоемкая, а в общем случае и необозримая задача. Алгоритм, приведенный при доказательстве теоремы Гильберта-
221
Шмидта, дает возможность построить конечное число собственных векторов и собственных значений, но, к сожалению, некорректность задачи не позволяет указать нужное количество собственных векторов и собственных значений для заданной точности вычислений.