- •Общие сведения
- •Требования к выполнению лабораторных работ
- •Форма отчета
- •Обработка результатов измерений Погрешности измерений физических величин
- •Классификация погрешностей измерений
- •Обработка результатов прямых измерений
- •Обработка результатов косвенных измерений
- •Действия с приближенными числами
- •Построение графиков
- •Вывод по графику (шаблон):
- •Измерительные приборы и учет их погрешностей
- •Библиографический список
- •Моделирование случайной величины и исследование ее распределения
- •Краткие теоретические сведения
- •Измерения и обработка результатов
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Проверка второго закона ньютона на машине атвуда
- •Общие сведения
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение средней силы удара и коэффициента восстановления при соударении шара с плоской стенкой
- •Описание установки и метода измерений
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Исследование столкновения шаров
- •Описание установки и метода измерений
- •Проверить закон сохранения импульса
- •Определить среднюю силу удара
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение скорости пули
- •Определение скорости пули с помощью баллистического маятника Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Определение скорости пули кинематическим методом
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение момента инерции маховика
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение момента инерции маятника максвелла
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Изучение законов вращательного движения и определение момента силы трения
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение моментов инерции твердых тел методом крутильных колебаний
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы.
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение ускорения свободного падения маятником-стержнем
- •Описание установки и метода измерения
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список.
- •Пружинный маятник
- •Краткая теория
- •Продифференцировав дважды функцию (2) по времени, получим
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Проверка закона Гука
- •Определение коэффициента упругости
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение ускорения свободного падения оборотным маятником
- •Теоретические сведения
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Изучение колебаний струны
- •Общие сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Определение скорости звука в воздухе методом стоячей волны
- •Общие сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Изучение механических затухающих колебаний
- •Общие сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Контрольные вопросы
- •Определение скорости снаряда с помощью крутильного баллистического маятника
- •Теоретические сведения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Руководство по расчету случайной погрешности
- •Работа с калькулятором
- •Оглавление
Обработка результатов косвенных измерений
Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x1, x2, ..., xn некоторой функциональной зависимостью
y=f(x1,x2, ...,xn). (5)
Среди величин x1,x2, ...,xn имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную ∆y и относительную погрешности величины y.
В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем - абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения
. (6)
Здесьгде- частная производная функции по переменнойxi, при вычислении которой все величины, кроме xi, считаются постоянными; ∆xi - абсолютная погрешность величины xi. Если xi получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение <x> и абсолютную погрешность ∆x вычисляют по формулам (1) и (3). (Эти величины можно найти при помощи многофункционального калькулятора. Как это сделать смотрите в приложении.) Для всех измеренных величин xi задается одинаковая доверительная вероятность .
Если какие-либо из слагаемых в выражении (6) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин (, g и др.), входящих в формулу относительной погрешности.
Конечный результат записывается в виде:
y = <y> y.
Здесь <y> - среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (5) при подстановке в нее средних величин xi, а ∆y-абсолютная погрешность косвенного измерения, найденная из определения относительной погрешности Обычно в абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной погрешности.
Действия с приближенными числами
Многие считают, чем больше цифр содержит вычисленная или измеренная величина, тем она точнее. Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
1. когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 - четыре значащих цифры);
2. когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 - только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). Её обычно пишут меньшим размером. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.
Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.
Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил:
1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934 + 3,24 + 1,188 = 0,893 + 3,24 + 1,188 = 5,321 ≈ 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632´2,8´3,53. Вместо этого выражения следует вычислять 8,63´2,8´3,53 = 85,3 ≈ 85.
3. Результат расчета значений функций xn, , lg(x) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например:
.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить плотность вещества ρ, из которого изготовлен цилиндр. По определению
где m – масса тела, а V- его объём.
Объём цилиндра определяется формулой
.
Здесь D - диаметр цилиндра, H - его высота.
Следовательно, расчётная формула для плотности вещества будет иметь вид
(7)
Пусть D и H измерены штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм, а масса определена на физических весах. В результате многократных измерений найдем средние значения <H> = 10,34 мм и <D> = 40,27 мм, а m = 35,9 г. При подстановке этих данных в формулу (7) получим кг/ м3. Если эту величину считать окончательным результатом, то запасная цифра 6 отбрасывается. Абсолютная погрешность измерения плотности в этом случае будет равна половине единицы последнего разряда, т.е. 5 кг/м3. Так обычно поступают при однократном измерении. В данном примере Н и D измерялись несколько раз, поэтому сначала надо вычислить относительную погрешность косвенного измерения плотности вещества по формуле
(8)
где DD и DH - абсолютные погрешности прямых измерений диаметра и высоты, а затем определить абсолютную погрешность плотности вещества из выражения ∆ρ = eρ. Пусть случайные абсолютные погрешности оказались равными: DDсл.= 0,01 мм; DHсл.= 0,23 мм, а ∆m = 0,05 г. Сравним вычисленные случайные погрешности с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. DDсл.<0,1, поэтому в формулу (8) подставим DD = 0,1 мм. А так как (DHсл./DHап.)<3, то DH вычисляем по формуле (3) и получаем 0,25 мм.
Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной погрешностью Δπ/π в формуле (8) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных погрешностей DD и DH видно, что наибольший вклад в относительную погрешность измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает eH = 0,0057. Если взять p = 3,1, то ep = 0,013, что превышает eH. Следовательно, значение p нужно взять 3,14. В этом случае Δπ/π » 0,00064 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002),что значительно меньше eH и относительную погрешность p можно не учитывать.
Вычисления относительной погрешности плотности по формуле (8) даёт значение e = 0,00769, а ∆ρ = 0,0077·2,72· 103 = 20,9 кг/м3. Так как в абсолютной погрешности принято оставлять одну значащую цифру, то конечный результат следует записать в виде:
ρ = (2,72 ± 0,02)103 кг/м3.
Необходимо сделать вывод по ответу. Полученное экспериментально значение величины плотности вещества равное 2,72·103 кг/м3 с точностью до ошибки измерений составляющей ± 0,02·103 кг/м3 совпадает с табличным (теоретическим) значением плотности алюминия равное 2,71·103 кг/м3. Текст, выделенный курсивом, является шаблоном вывода по ответу в любой лабораторной работе.
Примечания:
1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).
2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка (разряда) последней значащей цифры. Например, если m = 2,47 г, тогда Δm = 0,5·0,01 = 0,005 г.