1.2 Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Получим характеристическое уравнение замкнутой АСР, путем выделения знаменателя ее передаточной функции и приравнивая его к нулю.

Передаточная функция замкнутой системы

. (1.13)

Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид

. (1.14)

Найдем главный и определитель Гурвица и определители низших порядков

.

Подставив численные значения, получим

.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры при а₀>0 были положительны, т.е. Δ₁> 0, Δ₂> 0, Δ₃> 0, … , Δ_n> 0.

Условие Гурвица не выполняется для данной системы, следовательно, делаем вывод, что система не устойчива.

Найдем критический коэффициент усиления для данной системы из условия

, (1.15)

подставляя численные значения, получим

.

Итак

1.2 Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении частотыот 0 до, называемую годографом Михайлова.

Вектор получают из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке

(1.16)

Данное выражение представим в виде

, (1.17)

где и, – вещественная и мнимая частисоответственно

.

Подставляя численные значения, получим

.

Задавая значения от 0 до, вычисляеми. Расчет оформляем в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Координаты годографа Михайлова

	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
	447.69	447.40	446.53	445.09	443.07	440.47	437.30	433.55	429.22	424.31	418.83
	0	1.99	3.78	5.17	5.95	5.92	4.89	2.65	-1	-6.26	-13.33

По данным таблицы 1 строим годограф Михайлова (рисунок 5).

Рисунок 5 ‑ Годограф Михайлова

Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно квадрантов (гдепорядок характеристического уравнения), нигде не обращаясь в нуль. Если это условие не выполняется, система не устойчива. Для данной системы условие устойчивости Михайлова не выполняется. Система не устойчива.

1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста

Определим устойчивость разомкнутой системы.

В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы. Так как система не содержит местных обратных связей, определим корни характеристических полиномов звеньев.

Характеристический полином звена

(1.18)

имеет один вещественный корень .

Характеристический полином звена

(1.19)

имеет два комплексных корня .

Все корни характеристических полиномов имеют отрицательные вещественные части, следовательно, разомкнутая система устойчива.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

. (1.20)

Составим частотную передаточную функцию

, (1.21)

где ;

;

;

.

Запишем вещественную и мнимую части частотной передаточной функции

. (1.22)

Подсчитаем значения мнимой и действительной части частотной передаточной функции для различных значений от 0 до. Результаты вычислений оформим в виде таблицы 2.

Таблица 2 – Расчет АФЧХ разомкнутой системы

0	446.69	0	1.00	1.01	446.69	0.00
1	446.69	0	0.93	1.99	220.86	-239.89
2	446.69	0	0.71	2.92	71.13	-199.00
3	446.69	0	0.35	3.78	18.08	-150.66
4	446.69	0	-0.15	4.54	-4.82	-117.99
5	446.69	0	-0.80	5.17	-16.92	-95.49
6	446.69	0	-1.60	5.64	-24.40	-78.93
7	446.69	0	-2.54	5.95	-29.57	-65.85
8	446.69	0	-3.62	6.05	-33.34	-54.83
9	446.69	0	-4.84	1.01	-36.03	-44.99
10	446.69	0	-6.21	5.92	-37.66	-35.90
20	446.69	0	-27.86	-13.33	-37.66	-35.90
30	446.69	0	-63.93	-82.94	-13.05	6.24
40	446.69	0	-114.43	-228.07	-2.60	3.38
50	446.69	0	-179.36	-473.92	-0.79	1.56
60	446.69	0	-258.72	-845.65	-0.31	0.82
70	446.69	0	-352.51	-1368.44	-0.15	0.48
80	446.69	0	-460.72	-2067.47	-0.08	0.31
90	446.69	0	-583.37	-2967.92	-0.05	0.21
100	446.69	0	-720.44	-4094.96	-0.03	0.14
	446.69	0			0	0

По данным таблицы 2 построим график АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 6).

Рисунок 6 – АФЧХ разомкнутой системы

Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста, если разомкнутая система устойчива, то в этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0).

Для данной системы это условие не выполняется, АФЧХ разомкнутой системы один раз охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно, система не устойчива.