1.2 Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям.

При его использовании из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу (главный определитель Гурвица) по следующему правилу: по главной диагонали слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от до в порядке возрастания индексов. Затем каждый столбец дополняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз уменьшались. Вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и большеn пишут нуль.

Составим матрицу Гурвица из коэффициентов

. (1.11)

Получаем матрицу 44

.

Найдём определители Гурвица, выделяя в главном определителе диагональные миноры, очеркивая строки и столбцы:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры при были положительны, т.е.

Данные условия выполняются, то есть все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно, замкнутая система устойчивая.

Критический коэффициент находят из уравнения Δ_n-1=0. Обозначим

- критический коэффициент усиления.

;

.

При данном коэффициенте усиления система будет находиться на границе устойчивости.

1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении частотыот 0 до, называемую годографом Михайлова.

Вектор получают из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке.

(1.12)

Выражение (1.12) представим в виде:

(1.13)

где и, – вещественная и мнимая частисоответственно.

. (1.14)

Подставляя числовые значения, получим:

Задавая значения от 0 до, вычисляем,и. Расчет оформляем в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Координаты годографа Михайлова

w	0	1	3	5	7	9	11	15	20	25	30	38
X(w)	11,7	11,5491	10,3491	7,9875	4,5411	0,1251	-5,1069	-17,2125	-32,7	-43,6125	-43,2	2,1696
Y(w)	0	0,9938	2,8326	4,225	4,8734	4,4802	2,7478	-5,925	-29,6	-71,875	-137,4	-302,206

Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошёл в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n-квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. Представленный на рисунке 3 годограф Михайлова обходит в положительном направлении по порядку все четыре четверти, значит, замкнутая система устойчивая.

Рисунок 3 - Годограф Михайлова

1.4 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста

Определим устойчивость разомкнутой системы. Для этого определим корни характеристического полинома этой системы.

Характеристический полином звена

. (1.15)

Корни имеют отрицательную вещественную часть и имеется нулевой корень, следовательно, разомкнутая система будет на границе устойчивости.

Получим частотную передаточную функцию разомкнутой системы W(jw), для чего в выражение для передаточной функции разомкнутой системы подставляемp=jw

(1.16)

Преобразуя выражение (1.16), получим

.

, (1.17)

где U(w) иV(w) – действительная и мнимая части частотной передаточной функцииW(jw), равные:

(1.18) (9)

(1.19) (10)

Таблица 2 – Координаты АФЧХ

w	u1(w)	u2(w)	v1(w)	v2(w)	U(w)	V(w)
1	11,7	-0,1509	0	0,9938	-1,7473415	-11,507674
2	11,7	-0,6024	0	1,9504	-1,6914258	-5,4763562
2,5	11,7	-0,9398438	0	2,403125	-1,6514944	-4,2227738
3	11,7	-1,3509	0	2,8326	-1,604858	-3,3651053
3,3	11,7	-1,6325308	0	3,0771906	-1,5741061	-2,9670646
3,6	11,7	-1,9401638	0	3,3107328	-1,5415707	-2,6305658
4	11,7	-2,3904	0	3,6032	-1,4958328	-2,2547628
4,3	11,7	-2,757802	0	3,8070566	-1,4600689	-2,0155779
4,5	11,7	-3,0167438	0	3,935025	-1,4356586	-1,8726656
5	11,7	-3,7125	0	4,225	-1,3731187	-1,5626738
5,4	11,7	-4,3181294	0	4,4237232	-1,3220296	-1,354358
5,7	11,7	-4,80043	0	4,5518034	-1,2833895	-1,2169195
6	11,7	-5,3064	0	4,6608	-1,2446614	-1,0932305
6,3	11,7	-5,8356604	0	4,7497086	-1,205999	-0,9815759
6,6	11,7	-6,3878126	0	4,8175248	-1,1675404	-0,8805291
7,8	11,7	-8,8166894	0	4,8577776	-1,0179928	-0,5608889
8,65	11,7	-10,738357	0	4,6372693	-0,9183008	-0,3965605
9	11,7	-11,5749	0	4,4802	-0,8791035	-0,3402672
9,6	11,7	-13,066813	0	4,1146368	-0,8146225	-0,2565182
11	11,7	-16,8069	0	2,7478	-0,6780194	-0,110851
12,73	11,7	-21,843874	0	-0,0601872	-0,5356152	0
14,2	11,7	-26,381771	0	-3,5523856	-0,4355902	0,0586535
15	11,7	-28,9125	0	-5,925	-0,3883598	0,0795861
15,8	11,7	-31,463627	0	-8,6547344	-0,3457008	0,0950923
16,6	11,7	-34,016229	0	-11,760635	-0,3072293	0,1062202
17,4	11,7	-36,550398	0	-15,261749	-0,2725812	0,1138172
19	11,7	-41,4789	0	-23,5258	-0,2134174	0,121045
19,8	11,7	-43,828504	0	-28,32683	-0,1882953	0,1216973
20	11,7	-44,4	0	-29,6	-0,1824324	0,1216216
24	11,7	-53,7984	0	-61,7088	-0,093915	0,1077241
28	11,7	-56,9184	0	-108,1024	-0,044617	0,0847389
32	11,7	-49,7664	0	-171,1616	-0,0183258	0,0630281
34	11,7	-40,9224	0	-209,6848	-0,0104901	0,0537508
36	11,7	-27,7344	0	-253,2672	-0,0049988	0,0456489
40	11,7	14,4	0	-356,8	0,0013213	0,0327382
100	11,7	8490	0	-6100	0,0009089	0,000653

Рисунок 4 – График АФЧХ разомкнутой системы

Так как в разомкнутой системе имеется нулевой корень, то система находится на границе устойчивости. Для определения устойчивости замкнутой системы перейдем к условию, согласно которому, по критерию Найквиста, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞, дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса, не охватывала точку с координатами (-1,j0). Для данной системы это условие выполняется, АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами(-1,j0), следовательно, замкнутая система устойчива.

АФЧХ данной системы пересекает вещественную ось в точке с координатами (-0.534;0) на частоте w=12.73 Гц.

Оценим запас устойчивости системы по амплитуде и по фазе. Для этого по рисунку 4 определяется, что запас по амплитуде составляет 0.466.

Находится частота среза ω= 8.65 Гц, при которой значение А(8.65)=1, отсюда находим значение

. Делается вывод, что запас по фазе составляет 23.5°.