Экономико-математические методы – обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, где изучаются сициально-экономические системы и процессы, т.е. это название комплекса экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики, кибернетики.
Название «Экономико-математические методы» было введено в начале 60-х годов академиком В.С.Немчиновым. Впоследствии они стали составными частями науки о принятии управленческих решений, которая получила название «Исследование операций».
В настоящее время арсенал математических методов очень разнообразен. Каждый из этих методов позволяет решать определенный круг задач.
Система. - множество взаимосвязанных элементов, образующих определенную целостность, единство.
Элемент системы - часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, считается неделимой.
Виды систем. Все системы можно разделить на две большие группы:
-
материальные системы;
-
идеальные (абстрактные) системы.
Материальные системы – множество элементов реального мира, существующих объективно, независимо от человека (здания, машины, учебные заведения, люди, экономические системы и т.д.).
Абстрактные системы – продукты человеческого мышления. К ним можно отнести систему знаний, теорий, гипотез, экономико-математические модели и др.
Экономические системы – предприятия, объединения, отрасли народного хозяйства, экономика страны. В любой экономической системе выделяются три подсистемы:
-
производственно-технологическую,
-
социальную,
-
организационно-управленческую.
Научным принципом исследования систем является системный подход.
Сущность системного подхода состоит в учете взаимосвязей между элементами системы, между системой и внешней средой, в учете развития системы.
Модель – заменитель или аналог реальной системы, с помощью которого изучается поведение системы, получается о ней новая информация. В модели отражаются основные, существенные черты моделируемого объекта.
.
Моделирование – процесс построения модели и исследование поведения реального объекта на его аналоге – модели.
Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение его модели.
Виды моделей. Все модели можно разделить на две большие группы:
-
физические,
-
символические (абстрактные).
Физические модели строятся на принципах прямой аналогии. Примеры: модель самолета, модель двигателя, модель (макет) здания и т.д.
Символические (абстрактные) модели описывают структуру и функции изучаемого объекта с помощью символов и соотношений между ними, выражающих определенные зависимости, присущие оригиналу.
Большое место среди символических моделей занимают математические модели.
Математическая модель - заменитель или аналог реальной системы, где структура и функции реальной системы описываются с помощью математических и логических соотношений (уравнений, неравентств, функционалов).
Экономико-математическая модель – математическая модель, описывающая экономические процессы и явления.
Экономико-математическое моделирование – процесс построения математической модели и исследование на ней поведения социально-экономической системы.
Решение - набор значений переменных Х = (х1, х2, … хn ).
Допустимое решение (допустимый план) - набор значений переменных Х = (х1, х2, … хn ), удовлетворяющий системе ограничений. Все допустимые решения образуют область допустимых решений (область допустимых значений, область определения задачи).
Базисное решение – допустимое решение, которое соответствует координатам угловых точек области допустимых решений.
Оптимальное решение (оптимальный план) - набор значений переменных Х* = (х*1, х*2, … х*n ), удовлетворяющий системе ограничений и доставляющий целевой функции экстремальное значение.
Базовая экономико-математическая модель. Составные части базовой экономико-математической модели.
Составные части базовой (типовой) экономико-математической модели:
-
переменные
-
ограничения
-
целевая функция
Переменные – неизвестные, значения которых определяются в процессе решения задачи. Обозначаются символом Xj (j = 1, 2, …,n). Каждая переменная имеет конкретную единицу измерения (кг, шт, ц, га руб. и тд.).
Ограничения – записанные в математическом виде все требования условия задачи. Ограничения формируются в виде системы уравнений и неравенств. Для этого используются три типа соотношений:
= - равно
> - больше или равно (не менее)
< - меньше или равно (не более)
Ограничения могут накладываться на отдельные переменные, на часть их или на все.
Каждое ограничение имеет порядковый номер, название и содержание.
Каждое ограничение имеет конкретную единицу измерения.
Целевая функция (функционал, функция цели) – аналитическая (математическая) запить критерия оптимальности.
Критерий оптимальности - показатель качества функционирования системы с точки зрения достижения поставленной цели, т.е. он определяет целевую направленность в решении экономической проблемы.
Для построения модели необходима информация. Ее представляют технико-экономические коэффициенты и объемы ограничений.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Для каждой задачи построить экономико-математическую модель.
Задача 1. Найти оптимальное сочетание посевов пшеницы и сахарной свеклы. Для этого отведено 1000 га пашни, 12000 чел.-час. трудовых ресурсов. Урожайность пшеницы – 20 ц с 1 га, сахарной свеклы – 200 ц с 1 га. Затраты труда на 1 ц пшеницы 1,6 чел.-час., сахарной свеклы - 0,7 чел.-час. Цена реализации 1 ц пшеницы 540 руб., сахарной свеклы – 120 руб. Критерий оптимальности – максимум продукции в денежном выражении
Задача 2. Фермерское хозяйство занимается производством овса и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га
труд - 15000 чел.-час.
На 1 га овса затрачивается 35 чел.-час. труда, ячменя – 20 чел.-час. Урожайность с 1 га овса 10 ц, ячменя – 25 ц.
Ожидаемая прибыль от реализации 1 ц овса – 350 руб., 1 ц ячменя – 100 руб.
По условиям севооборотов овсом занять не более 100 га.
Найти оптимальное сочетание посевов культур.
Критерий оптимальности – максимум прибыли.
Задача 3. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га
труд - 15000 чел.-час.
На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, ячменя – 35 чел.-час. Урожайность пшеницы 25 ц с 1 га.
Ожидаемая прибыль с 1 га пшеницы 2500 руб., ячменя – 2000 руб.
По условиям заключенных контрактов пшеницы произвести не более 5000 ц.
Найти оптимальное сочетание посевов культур
Критерий оптимальности – максимум прибыли.
Задача 4. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и овса. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га
труд - 15000 чел.-час.
На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, овса – 35 чел.-час. Урожайность овса 10 ц с 1 га.
Ожидаемая прибыль с 1 га пшеницы 2500 руб., овса – 3500 руб.
По условиям заключенных контрактов овса произвести не более 10000ц.
Найти оптимальное сочетание посевов культур
Критерий оптимальности – максимум прибыли.
Задача 5. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га
труд - 15000 чел.-час.
На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, ячменя – 35 чел.-час. Урожайность пшеницы 25 ц с 1 га.
Ожидаемая прибыль с 1 га пшеницы 2500 руб., ячменя – 2000 руб.
По условиям заключенных контрактов пшеницы произвести не более 7500ц.
По требованиям севооборота ячменем занять не менее 200 га.
Найти оптимальное сочетание посевов культур
Критерий оптимальности – максимум прибыли.
Задача 6. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га
труд - 15000 чел.-час.
На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, ячменя – 35 чел.-час. Урожайность пшеницы 25 ц с 1 га, ячменя – 10 ц.
Ожидаемая прибыль от реализации 1 ц пшеницы 100 руб., ячменя – 200 руб.
По условиям севооборотов пшеницей занять не более 300 га.
Найти оптимальное сочетание посевов культур
Критерий оптимальности – максимум прибыли.
Задача 7. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород, Расход каждого вида древесины в кубометрах на каждое изделие задан в таблице(1).
Таблица 1 – Исходные данные к таблице
Показатели
|
Расход древесины, м3 |
Цена изделия, тыс.руб |
|
хвойной |
лиственной |
||
Стол |
0,15 |
0,2 |
0,6 |
Шкаф |
0,3 |
0,1 |
1,5 |
Запасы древесины, м3 |
180 |
140 |
|
Определить оптимальное количество столов и шкафов, которые
следует поставлять на продажу для получения максимальной выручки.
Задача 8. Фирма производит одежду для спортсменов. Дополнительно фирма решила изготавливать шапки и подстежки из натурального меха.
Данные о затратах на производство этих изделий и запасы сырья представлены в таблице 1. Спрос на шапки составляет не менее 600 шт. в месяц, а подстежек – не более 400 шт. в месяц
Таблица 1 – Исходные данные
Сырье |
Расход сырья на производство, дм |
Средний запас в месяц, дм |
|
шапки |
подстежки |
||
Мех |
22 |
140 |
65000 |
Ткань |
1,5 |
30 |
5000 |
Оптовая цена за 1 шт., руб. |
410 |
840 |
|
Определить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную выручку от продажи.
Задача 10. Фермерское хозяйство содержит молочных коров и овец. Располагает следующими земельными ресурсами: пашня - 600га,
сенокосы - 320 га
пастбища - 400 га.
Для производства кормов для одной коровы требуется 2 га пашни, 0,8 га сенокосов и 1 га пастбищ, а для одной овцы – 0,6 га пашни и 1,5 га пастбищ.
По заключенному договору шерсти необходимо произвести не менее 1.2 ц. Выход шерсти от одной овцы составит 2 кг.
Прибыли от одной коровы планируется получить 12000 руб., а от одной овцы - 2500 руб.
Определить оптимальное поголовье коров и овец, которое следует содержать для получения максимальной прибыли.
Задача 11. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 4 т, проволоки – 10 т.
На один трансформатор первого вида расходуется 6 кг железа и 5 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуется 3 кг железа и 2 кг проволоки.
По плану необходимо произвести трансформаторов второго вида не менее 700 шт.
За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получит прибыль 4 тыс.руб., второго – -1тыс.руб.
Составить план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.
Задача 12. Цех выпускает два вида деталей – А и В. Каждая деталь обрабатывается двумя станками, фонд времени которых составляет, соответственно 220, 400 часов
Необходимое время для обработки одной детали А составляет: на первом станке 12 мин., на втором – 15 мин. Необходимое время для обработки одной детали В составляет, соответственно 10 мин. и 18 мин.
Деталей А планируется выпустить не менее 100 шт.
Отпуская цена за одну деталь А составляет 60 руб., а за деталь В – 50 руб.
Составить план выпуска деталей, обеспечивающий цеху максимальную выручку.
Задача 13. Фирма производит для автомобилей запарсые части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-час. в неделю. Еженедельные запасы полимерного материала составляет 10 т и листового железаи -12 т.
Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-час. труда, 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала а дли производства одной детали типа В – 2 чел.-час., 4 кг полимерного материала и 4 кг листового материала.
Деталей типа В необходимо произвести не менее 1000 шт.
Определить, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продаж за неделю, если доход от продажи одной детали типа А и В составляет соответственно 1500 и 2000 руб.
Задача 14. При составлении суточного рациона кормления бычков используется сено и комбикорм.
В 1 кг сена содержится 0,6 кг кормовых единиц (к.ед.) и 50 г переваримого протеина (п.п.), а в 1 кг комбикорма, соответственно 1 к.ед и 130 г п.п.
Стоимость 1 кг сена составляет 80 коп., а 1 кг комбикорма – 6 руб. Питательность рациона должна быть не менее 12 кг к.ед. Переваримого протеина в рационе должно быть не менее 1300 г.
Сена в рационе должно содержаться не более 10 кг. Составить самый дешевый суточный рацион.
Задача 15. На кондитерскую фабрику поступили заказы на подарочные наборы конфет из магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и товарные запасы на фабрике отражены в таблице 1.
Таблица 1 Исходные данные
Показатели |
1-й набор конфет, кг |
2-й набор конфет, кг |
Товарные запаса на фабрике, кг |
«Белочка» |
0.4 |
0.3 |
400 |
«Маска» |
0.3 |
0,2 |
200 |
Прибыль от реализации одного набора, руб. |
80 |
50 |
|
Определить оптимальное количество подарочных наборов, которые фабрика может предложить магазинам и обеспечить максимальную прибыль от продажи, если наборов первого вида необходимо выпустить не менее 300 штук.
Тесты
1. Общие сведения о моделях
1. Модель – это:
а) аналог (заменитель) реального объекта или процесса с сохранением существенных свойств
б) описание всех свойств реального объекта или процесса
в) термин из области высокой моды
г) один из предметов, похожих друг на друга
2. Модель отражает:
а) существенные свойства моделируемого объекта
б) все возможные свойства моделирцемого объекта
в) одно из любых свойств моделируеиого объекта
г) нет правильного ответа
-
В зависимости от способа отображения свойств исследуемой системы
модели не делятся на:
а) физические
б) абстрактные
в) аналоговые
г) -математические
-
Математическая модель
а) описывает объект с помощью абстрактно-логических средств (знаков, чисел, графиков)
б) характеризует объект с помощью воспроизведения реальных форм и размеров объекта
в) имеет только функциональное сходство с оригиналом
г) нет правильного ответа
5. Экономико-математическая модель – это:
а) продукт экономико-математического моделирования
б) экономико-математические методы
в) комплекс экономико-математических дисциплин
г) раздел экономики
-
Экономико-математические модели по характеру описания модели подразделяются на :
а) динамические и стохастические
б) динамические и статистические
г) динамические и статические
д) все ответы правильные
7. Экономико-математическая модель по определению академика В. С. Немчинова - это
а) модель экономического явления или процесса с конкретными числовыми характеристиками
б) концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения экономической системы в математической форме
в) совокупность уравнений, функционалов, логических условий и других соотношений
г) система независимых эконометрических уравнений
8. Что не является составной частью экономико – математической модели?
а) переменные
б) ограничения
в) целевая функция
г) оптимальное решение
-
Элементами экономико-математической модели являются:
1. Переменные 2. Ограничения 3. Числовое значение целевой функции 4. Коэффициенты корреляции 5. Производственные функции 6. Коэффициенты при переменных и ограничениях – технико-экономические коэффициенты 7. Целевая функция 8.Объемные показатели ограничений – константы
Варианты ответа:
а) всё перечисленное
б) 1, 2, 6, 7, 8
в) 1, 2, 3, 6, 7
г) 1, 3, 4, 5, 8
10. Применение экономико-математических методов и моделей позволяет:
-
в значительной степени пересмотреть существующие методы бухгалтерского учета и экономического анализа;
-
использовать значительно большее количество финансовой информации;
-
более точно описать все возможные процессы в экономических системах;
-
производить альтернативные, многовариантные расчеты и делать на их основе прогнозы и рекомендации.
Варианты ответов:
а) 2, 3;
6) 1, 3;
в) 3, 4;
г) 1, 2.
11. Среди оптимизационных моделей в числе других можно выделить:
а) модели линейного, нелинейного, целочисленного, статистического программирования
б) модели линейного, нелинейного, целочисленного, параметрического программирования
в) модели линейного, нелинейного, целочисленного, синтетического программирования
г) все ответы верные