16. Координаты вектора в базисе. Операции над векторами и их координатами.

В геометрии вектором называют направленный отрезок. В фиксированной системе координат каждый вектор А однозначно определен своими координатами: А=(а1, а2… аn), где число а1 называется первой координатой вектора А, а2 – второй координатой и т.д., а число n(количество координат) называется размерностью вектора А. Суммой векторов a и b называется вектор с, координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов. Произведением вектора a на число h называется вектор с, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора a на это число. Скалярным произведением векторов a и b называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов: a*b = a₁b₁ + a₂b₂+ ... + a_nb_n.

17. Ранг матрицы, его неизменность при элементарных преобразованиях. Ранг произведения матриц.

Ранг матрицы А – это максимальное число линейно независимых строк матрицы (число ненулевых строк). Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками и при транспонировании. Способы нахождения ранга матрицы: Методом Гаусса:

1. Привести матрицу к ступенчатому виду

2. Количество ненулевых строк = рангу матрицы

С помощью окаймляющего минора:

1. Окаймляющий минор получается присоединением к минору еще одной строки и столбца

2. Ранг матрицы равен порядку ненулевого минора, у которого все окаймляющие равны нулю.

Пусть А имеет размер n*k, матрица В имеет размер k*m, тогда r(АВ)<=min(r(A);r(B)).

18. Теорема об окаймляющих минорах и теорема о ранге матриц.

Пусть дана матрица А любого размера. Выберем в ней k строк и k столбцов. На их пересечении стоит квадратная матрица, определитель которой называется минором матрицы А. Окаймляющий минор получается присоединением к минору еще одной строки и одного столбца. Т. Ранг матрицы равен порядку ненулевого минора, у которого все окаймляющие равны нулю. Т. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях и транспонировании. Т. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

19. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений.

Размерность пространства решений для системы линейных однородных уравнений равна разности числа неизвестных и ранга матрицы, т.е. числу свободных неизвестных.

20. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий единственности решения системы линейных уравнений в терминах рангов.

Система линейных уравнений АХ=b от n неизвестных имеет решение(является совместной)r(A)ранг матрицы системы=r(A|b). А если ранги ее равны числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

21. Плоскости. Параметрическое задание плоскости.

Плоскости. Пусть U – подпространство в n-мерном пространстве (R^n), и вектор a є R^n(нашему пространству). Плоскость П, проходящая через вектор a с направляющим подпространством U, – это все векторы a+x, где вектор x є U. а=(-1;2;3) є R^3 Направляющее подпространство u=<f(1);f(2)> f(1)=(1;0;-2) f(2)=(1;1;1) Плоскость состоит из а+х, х є u; x=t(1)f(1)+t(2)f(2) z=a+x=a+ t(1)f(1)+t(2)f(2)

z(1)=(-1)+t(1)(1)+t(2)(1) z(2)=(2)+t(1)(0)+t(2)(1) - параметрическое задание плоскости. z(3)=(3)+t(1)(-2)+t(2)(1)

22. Плоскости как решения совместной системы линейных уравнений.

Рассмотри совместную систему линейных уравнений AX=b. Пусть x(0)-частное решение системы. Тогда любое решение х имеет вид х(0)+у, где у - решение однородной системы уравнений (АХ=0). Следовательно, все решения системы AX=b образуют плоскость.

23. Параметрическое задание плоскости, определяемое системой линейных уравнений.

24. Переход от параметрического задания плоскости к заданию системой линейных уравнений.

25. Задание системой линейных уравнений наименьшей плоскости, проходящей через заданные точки. Задание уравнениями прямой, проходящей через две различные точки.

26. Собственные векторы и собственные значения. Алгоритм вычисления.

Пусть А- квадратная матрица. Ненулевой столбец U называется собственным вектором для А с собственным значением , где  - некоторое число, если Ах=х, а вектор х является собственным вектором матрицы А. Тогда, Au-u=0

Au-Eu=0

(A-E)u=0 – система линейных однородных уравнений с матрицей A-E, где u – ненулевое решение этой системы. Условием существования ненулевого решения системы является равенство нулю определителя |A-E|=0. Алгоритм: вначале решается характеристическое уравнение, корни которого и будут собственными значениям матрицы; затем каждое полученное собственное значение подставляется в матричное равенство, после чего это равенство представляет собой систему линейных уравнений, решениями которой будут собственные векторы, принадлежащие данным собственным значениям.

10