6. Случайные величины. Типы случайных величин, закон распределения дискретной случайной величины. Независимость случайных величин.

Определение: Функция, заданная в пространстве элементарных событий Ω ={} Называется случайной величиной. Очевидно, что значение случайной величины x_i наступает с вероятностью p_i, равной вероятности наступления соотв. События ω_i.

Соответствие, которое каждому зачению величины x_i дискретной случайной величины X сопоставляет его с вероятностью p_i и называется законом распределения случайной величины X. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. Дискретную случайную величину задаёт ряд распределения – это таблица, в которой перечислены все возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности

События X=x1,… составляют такую группу, что сумма их ероятностей равна 1.

Две случайные величины X Y, называются независимыми, если вероятность совместного появления событий равна произведению вероятностей P = ({X = a} * {Y = b} = P ({X = a})* P({Y = b}) Арифметические операции над дискретными случайными величинами.

Произведением kX случайной величины X на постоянное число k называется случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и X принимает новые значения, равные , 1,..., i kx i n = . Таким образом, закон распределения для новой случайной величины kX имеет вид:

Пусть Y ─ еще одна дискретная СВ: Сумма Z = X+Y = двух случайных величин ─ это новая случайная величина, которая принимает все значения вида z_i = x_i + y_j с вероятностями p_{k =}

Произведением Z= X*Y = ⋅ называется новая случайная величина, принимающая все значения вида z_i = x_i *y_j.

Квадрат случайной величины X ─ это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и X принимает значения x_i².

6. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения x_1, x₂,…x_n вероятности которых соответственно равны p_1, p₂,…p_n. Тогда математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством . Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть величина неслучайная. Св-ва: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX) = CM(X)

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M (XY) = M(X)*M(Y)

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания

равно нулю: M(X – M(X))=0

6. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Дисперсией D (X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: D (X) = M [X – M(X)]². Если Х – дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:

, где а = М(Х). Или D(X) = M(X²)- (M(X))²

Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины есть нулю: D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D (CX) = C²D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

13 Геометрическое распределение, параметры распределения

Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину  - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой

p_k = P(= k) = q^k-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , , , .

Пусть проводятся независимые испытания, каждое испытание может иметь два исхода: удача с вероятностью p и неудача с вероятностью q = 1 - p. Введем в рассмотрение случайную величину X — число испытаний до первого появления удачи. Эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Когда говорят, что случайная величина X имеет значение k, то это означает, что первые k - 1 испытание закончились неудачей, а k-ое испытание стало удачным. Вероятность того, что в серии независимых испытаний будет вначале k - 1 неудач, а в k-ое испытание — удача, равна . Таким образом мы получили закон распределения случайной величины X: значению k случайной величины соответствует вероятность . Этот закон распределения и называется геометрическим распределением. Название происходит из того, что величина представляет собой геометрическую прогрессию, с первым членом p и знаменателем q.Изучим теперь свойства этого распределения. С ростом k вероятности убывают. Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можем записать:, то есть условие, что сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице, выполнено. Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию. По определению математического ожидания имеем:. Для вычисления суммы воспользуемся следующим приемом — заменим на и вынесем производную за знак суммы, в итоге получим:. Оставшаяся сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и равна . Вычисляя производную, запишем:. Аналогично можно получить выражение для :. Заменяя сумму на ее значение , вычисляем:. Таким образом, имеем выражение для дисперсии:. Если вероятность удачи равна единице, то математическое ожидание числа испытаний до первой удачи равно 1, а дисперсия — 0. Если, наоборот, вероятность удачи равна нулю, то математическое ожидание — бесконечность (то есть нужно произвести бесконечное число испытаний до появления удачи).

Геометрическое распределение

Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , и пишут , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

14 Биномиальное распределение; параметры, числовые характеристики

Биномиальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , и пишут: , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:

Распределение Бернулли совпадает с распределением .

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n€N и p€(0,1), если принимает значение k=0,1,….n с вероятностями

P(X=k)= C^k_n p^kq^n-k q=1-p

15. Распределение Пуассона, параметры распределения.

Дискпетная случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром ħ>0, если Х принимает значения к=0,1,2…n с вероятностями, определенными формулой пуассона

P(X=k)=

При рассмотрении маловероятных событий, имеющих место в большой серии независимых испытаний некоторое (конечное) число раз, вероятности появления этих событий подчиняются закону Пуассона или закону редких событий , где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828, m -частота данного события, математическое ожидание m равно l. Закон Пуассона можно применять для совокупностей, достаточно больших по объему (n > 100) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (p < 0,1). При этом распределение Пуассона можно применить, когда на только не известно значение n – общего числа возможных результатов, но и когда не известно конечное число, которое n может представлять. Там, где есть среднее число случаев наступления события, вероятность наступления события описывается членами разложения: . Поэтому соответствующие вероятности равны:

12 Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины. Свойства функции распределения.

15. Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины. Свойства функции распределения.

17. Двумерная дискретная случайная величина. Независимость случайных величин. Условное распределение. Условное математическое ожидание.

Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика s1 и его высота s2 , образуют систему двух случайных величин (s1,s2)

Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин (s1,s2), для которой определена вероятность P[(S1<X), S2<Y)] совместного выполнения неравенств S1<X и S2<Y , где x и y - любые действительные числа.

Функция двух переменных F(X,Y)=P((S1<X, S2<Y)) определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если S1 и S2 - дискретные(прерывные) величины. дискретная случайная величина - случайная величина, принимающая конечное или счетное число значений на числовой прямой

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.

Для непрерывных случайных величин условие независимости Y от X может быть записано в виде:

f(Y/X)=f2Y при любом Y.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.

Усло́вное распределе́ние — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Математическое ожидание или генеральное среднее обозначается M, поставленной перед обозначением случайной величины MX - математическое ожидание случайной величины X. MX - это средневзвешанное значение случайной величины с весами-вероятностями. свойства:

1. M постоянной равно самой этой постоянной: MC=C* P{C=C} =C

2.константа выносится за знак M(CX)=C*MX

3.M суммы случайных величин = сумме их математических ожиданий: M(X+Y) = MX+MY

4. М произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. MXY=MX*MY

18. Ковариация двух случайных величин. Свойства ковариации. Коэффициент корреляции двух случайных величин. Свойства коэффициента корреляции.

Ковариа́ция- мера линейной зависимости двух случайных величин.Пусть x и y— две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:cov(x,y)=E[(X-EY)(Y-EY)], где E - оператор математического ожидания.

свойства: 1) если x,y - независимы, то их cov=0.

2)cov(x,x)=D(x)

3)cov симметрична : сov(x,y)=cov(y,x)

4)если a и b числа, то cov(x+a, y+b)=cov (x,y)

5)D(XY)=D(X)+D(Y)cov(X;Y)

6)cov(ax+b; cy+d) = ac*cov(x;y) a,b,c,d R

7)COV(x+y; z)=cov(x;z)+cov(y;z)

Упрощенная формула: cov(x;y) = M(XY)-M(X)*M(Y)

Коэффициент корелляции двух случайных величин.

Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными. Он вычисляется следующим образом: r(X,Y)=

Коэффициент корреляции [К] демонстрирует нам, насколько ярко выражена тенденция роста одной переменной при увеличении другой. Его значения всегда находятся внутри диапазона [-1:1]. Чем ближе значение переменной к -1 или 1, тем значительнее коррелируют между собой исследуемые величины. При К=0 можно говорить о полном отсутствии корреляции между наблюдаемыми величинами. Если К=-1 или К=1, то говорят уже о функциональной зависимости величин.

свойства:1)если x,y независимы, то r(x,y)=0

2) всегда |r(x,y)|

3)|p(x,y)|=1 тогда и только тогда, когда x и y линейно связаны, то есть существуют числа a не= 0 и b такие, что p(y=ax+b)=1

4)r(x;y)=r(y;x)

5)r(x;x)=1

19.Непрерывные случайные величины. Теорема о вероятности появления фиксированного значения непрерывной случайной величины. Функция плотности распределения вероятностей одномерной случайной величины, свойства функции плотности.

непрерывные случайные величина- величина, принимающая континуальное множество значений на прямой (на отрезке,на полупрямой,на всей прямой и тд.)или значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Случайная величина непрерывна, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме возможных отдельных точек.НСВ делятся на два класса - абсолютно непрерывные и смешанные, обладающие свойствами как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения f(x) равна производной от функции распределения F(x).

Cвойства:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е. f(x)≥0

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от - ∞ до x. F(x)=P(-∞<X<x) =

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку.p(a≤x≤b)=F(b)-F(a)=

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице.

Теорема о вероятности появления фиксированного значения непрерывной случайной величины.

Для любого малого x, P (X=x)=0

20. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формулеMсигма= . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Основные свойства математического ожидания:

1)математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;

2)математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

3)математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )².

Легко показать, что Dx = M(x - Mx )²= Mx ² - M(x )².

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных.

Основные свойства дисперсии:

1)дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;

2)дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

3)для произвольной константы D(cx ) = с²D(x );

4)дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

21. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: характеристики положения, характеристики рассеяния, показатель асимметрии, эксцесс.

1. M(X)=

2. D(x) = ^ef(x)dx – M²(x)

3. Мода – значение случайной величины, при котором fция f(x) достигает максимума

Xmod – наиболее вероятная величина.

4. Медиана – значение СВ, для которого справедливо: P(X<Xmod) = P(X>xmod) = ½

5. Квантиль уровня p (xp)

F(xp) =p

P (x<xp) =p

6. Показатели формы кривой распределения

As-ассиметрия-насколько симметрично распределение относительно Mx

Ex-Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Ex(X) = [(x1-M(X))4p1 + (x2-M(X))4p2 + ... + (xn-M(X))4pn]/σ4 - 3

Билет №22.Равномерное распределение.Параметры распределения,числовые характеристики.

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей - распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу [a, b], характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна. Случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где a,b€ R

Функция распр.

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка [a,b]\!, то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

Билет №23.Показательное распределение.Параметры распределения,числовые характеристики.

Показательное распределение-непрерывное распределение вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью

Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов: в частности - для математич. Ожидания , дисперсии

характеристич. функция: (1-it/l)-1.

П. р. входит в семейство распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью

Билет №24.Нормальное распределение.Параметры распределния,числовые хар-ки.Правило трех сигм,Стандартное нормальное распределение.Связь нормального распределения общего вида со стандартным норм распределением

Нормальное распределение,также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ — стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Значение:

Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Свойства:

Моментами и абсолютными моментами случайной величины X называются математические ожидания Xp и соответственно. Если математическое ожидание случайной величины μ = 0, то эти параметры называются центральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых p.

Если имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых p, центральные моменты таковы

Здесь означает двойной факториал, то есть произведение всех нечетных от n до 1.

Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы:

Последняя формула справедлива также для произвольных p > -1.

Правило трех сигм

Правило трёх сигм()— практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале Более строго — приблизительно с 99,73 % вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не ,а s. Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s.

Билет №25.Закон больших чисел.Лемма о среднем арифметическом случайных величин.Теорема Бернулли.Центральная предельная теорема.

Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое конечное число испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью меньше 1 относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Понятие центральной предельной теоремы.

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероят­ностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероят­ность при стрельбе по цели, в измерениях и т. п. В частности, оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого чис­ла независимых случайных величин с произвольными законами распределения близок к нормальному распределению. Этот факт, называемый центральной предельной теоремой или теоремой Ляпунова[1].

Известно, что нормально распределенные случай­ные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан А. М. Ляпуновым

Централь­ная предельная теорема. Если случайная величина X пред­ставляет, собой сумму очень большого числа взаимно неза­висимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному распределению.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε >0 сколь угодно малое число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство