Электродинамика 9
.pdfЛекция
Магнитное поле (продолжение)
Закон Электромагнитной индукции. Энергия магнитного поля.
1. Механическая работа при перемещении проводников с током в магнитном поле
Так как на провод с током в магнитном поле действуют Рис.1 силы, то при его перемещении совершается работа.
Пусть прямолинейный проводник перемещается по рельсам, по которым течет ток, из положения 1 в 2: (рис.1)
Перемещение dx, его длина l, поле BG , перпендикулярно плоскости рамки.
Сила Ампера
FG = IG×BG F = IB
при перемещении совершает работу
dA = IlBdx = IBdS ,
где dS =ldx - площадь перемещения проводника.
Если индукция BG направлена под углом к перемещению, то работу совершает лишь сила, направленная вдоль перемещения.
а работа перпендикулярной к перемещению составляющей силы F равна нулю. Таким образом, имеем
|
Fx=IlBn , dA=IBn ldx = IBn dS, |
гдеBn - нормальная компонента BG . |
|
Рис. 2 |
При вращательном движении (Рис. 2): |
ds/dl=dα , dS=dl l dα ,
l - расстояние элемента dl до оси вращения,
dσ– дуга,
получаем аналогичное выражение для работы
F=IdlBn,
dA=I dl Bn ldα= IBndS
1
Элементарная работа, совершаемая при произвольном движении проводника с током в магнитном поле равна:
dA=IBndS (1)
Вспомним, что величина dФ=BndS – это магнитный поток.
Магнитный поток (поток магнитной индукции) равен полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность
GG
Φ= ∫BdS = ∫BndS
S S
Элементарная работа, совершаемая силами магнитного поля при изменении магнитного потока, равна dA=IdФ, а полная работа при изменении магнитного потока от величины Ф1
до Ф2:
Φ2
A = ∫ IdΦ = I (Φ2 −Φ1 ) (2)
Φ1
2. Электромагнитная индукция
|
Электрический ток создает вокруг себя магнитное поле. |
|
Существует обратное явление: |
|
магнитное поле вызывает появление электрического тока. |
|
Это явление было открыто Фарадеем в 1831 г. и названо |
|
электромагнитной индукцией. |
|
Эксперимент: |
|
Ток в соленоиде, соединенном с гальванометром, возникает в |
|
случае: |
|
а) перемещения относительно него другого соленоида с током; |
|
б) изменения силы тока во втором соленоиде |
|
в) перемещения относительно первого соленоида постоянного |
|
магнита |
|
Гипотеза Фарадея - теоретическое объяснение электромагнитной |
|
индукции |
|
- с помощью магнита в замкнутой цепи индуцируется |
|
электрический ток, |
|
- при пересечении проводником (либо его частью) линий |
|
магнитной индукции, в нем возникает индукционный ток. |
Рис. 3 |
Рассмотрим изменение магнитного поля Н вдоль контура L, |
|
охватывающего прямолинейный ток: |
|
, |
|
т.к. cosα dl/R=dϕ , cosα dl = ds - дуга |
2
Циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна охватываемому им току
- магнитное поле - вихревое, порождается электрическими движущимися зарядами, его силовые линии всегда замкнуты, магнитных зарядов нет.
Изучая явление электромагнитной индукции, Ленц в 1833 г. установил, что индукционный
ток всегда направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызывающей этот ток.
При вдвигании магнита в соленоид индукционный ток выталкивает магнит.
Рис.4
Закон Ленца вытекает из закона сохранения энергии: индукционные токи совершают работу, т.е. возникают силы, противоположные движению.
Поэтому движения магнита должна быть совершена дополнительная работа внешних сил.
Возникновение индукционного тока показывает, что в проводнике при электромагнитной индукции появляется электродвижущая сила.
Э.Д.С. индукции появляется, когда меняется число силовых линий магнитного поля, проходящих через контур. Но полное число силовых линий магнитного поля, проходящих через какую-либо поверхность есть магнитный поток.
Таким образом, причина появления э.д.с. электромагнитной индукции есть изменение
магнитного потока.
На рисунке. 5 проиллюстрировано правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени.
В этом примере
∆Φ∆t > 0, εинд < 0 .
Индукционный ток Iинд течет навстречу выбранному положительному направлению обхода контура
Рис. 5. Иллюстрация правила Ленца.
3
Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что εинд и ∆Φ∆t всегда имеют противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея).
Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения
энергии.
Напомним: Магнитный поток Φ через площадь S контура
Рис. 6. Магнитный поток черезGзамкнутый контур. Направление нормалиG n и выбранное
положительное направление l обхода контура связаны правилом правого буравчика.
Закон Фарадея: Э.Д.С. электромагнитной индукции равна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром:
εинд = − ddtΦ
Знак "-" в этой формуле соответствует правилу Ленца.
Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий контур с током, в том числе, когда это изменение потока вызвано изменением тока в самом контуре.
При всяком изменении силы тока в каком-либо контуре в нем возникает ЭДС индукции, которая вызывает дополнительный ток в контуре. Это явление называется самоиндукцией.
Направление тока самоиндукции подчиняется правилу Ленца.
Напряженность магнитного поля пропорциональна силе тока в катушке. Поэтому и магнитный поток, пронизывающий катушку, будет пропорционален току:Ф=LI.
Коэффициент L называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.
Единица магнитного потока [Вебер] = [1В*1с] - магнитный поток, при убывании которого до нуля за 1с в контуре возникает э.д.с. 1В.
Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.
1.Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле.
4
Возникновение ЭДС индукции объясняется |
Рис. 7. Возникновение ЭДС индукции в |
действием силы Лоренца на свободные |
движущемся проводнике. Указана |
заряды в движущихся проводниках. Сила |
составляющая силы Лоренца, действующей |
Лоренца играет в этом случае роль сторонней |
на свободный электрон. |
силы. |
|
Рассмотрим в качестве примера |
|
возникновение ЭДС индукции в |
|
прямоугольном контуре, помещенном в |
|
однородное магнитное поле BG |
|
перпендикулярное плоскости контура. Пусть |
|
одна из сторон контура длиной l скользит со |
|
скоростью vGпо двум другим сторонам |
|
(рис. 7). |
|
На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростьюv зарядов, направлена вдоль проводника. Эта составляющая указана на рис. 7. Она играет роль сторонней силы. Ее
модуль равен FЛ = eυB
Работа силы FЛ на пути l равна A = FЛ · l = eυBl.
По определению ЭДС εинд = Ae = eBl .
В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для инд можно придать привычный вид. За времы ∆t площадь контура изменяется на ∆S = lυ∆t. Изменение магнитного потока за это время равно ∆Φ = Blυ∆t. Следовательно,
|
ε |
инд |
|
= |
|
∆Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
ε |
|
|
и |
|
∆Φ |
|
, нужно выбрать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для |
|
того, чтобы установить знак в формуле, связывающей |
|
инд |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
согласованные между собой по правилу правого буравчика направление нормали n и
положительное направление обхода контура l , как это сделано на рис. 7. Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.
Если сопротивление всей цепи равно R, то по ней будет протекать индукционный ток, равный Iинд = инд/R. За время ∆t на сопротивлении R выделится джоулево тепло
∆Q = RIинд2 ∆t = (vBlR )2 ∆t .
Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая
ответственна за появление силы Ампера FA . Для случая, изображенного на рис. 7, модуль силы Ампера равен FA = IBl. Сила Ампера направлена навстречу движения проводника;
5
поэтому она совершает отрицательную механическую работу. За время ∆t эта работа Aмех
равна |
A = −Fv∆t = −IBlv∆t = − |
(vBl )2 |
∆t . |
|
|||
|
мех |
R |
|
|
|
|
Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.
Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.
2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным. Его называют вихревым электрическим полем. Представление о вихревом электрическом поле было введено в
физику великим английским физиком Дж. Максвеллом (1861 г.).
Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея.
Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.
3. Самоиндукция
При всяком изменении силы тока в контуре, в нем возникает э.д.с. индукции, вызывающее дополнительный индукционный ток.
Это явление самоиндукции, а токи называются токами самоиндукции.
При замыкании ключа лампочка не сразу зажигается, а постепенно, при размыкании - гаснет также постепенно. Таким образом, магнитное поле обладает энергией.
Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии.
Если включить |
электрическую |
лампу |
|
||
параллельно |
катушке |
с |
большой |
|
|
индуктивностью в |
электрическую цепь |
|
|||
постоянного тока, то при размыкании ключа |
Рис. 8. Магнитная энергия катушки. При |
||||
наблюдается |
кратковременная |
вспышка |
размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает |
||
лампы (рис. 8). |
|
|
|
|
|
6
Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.
Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла.
По закону Био-Савара величина магнитной индукции В пропорциональна току I в катушке, поэтому и магнитный поток, пронизывающий катушку, пропорционален току.
|
Φ = LI |
где L - коэффициент самоиндукции или индуктивность контура. |
|
Размерность L |
[Гн]=[Вб/A] |
L=Ф, если I=1
Для э.д.с. индукции получаем выражение
ε= −L dIdt
-э.д.с. индукции пропорциональна скорости изменения тока.
Индуктивность L контура зависит от его формы, размеров и свойств окружающей среды.
ПРИМЕРЫ 1) Индуктивность соленоида.
Так как магнитное поле соленоидаB = µ0 (NIl ), (l -длина соленоида, N - число витков), следовательно, магнитный поток через 1 виток равен Φ1 = µ0 (NIl )S , S - площадь витка.
Полный поток Φ = NΦ1 = N µ0 ( |
l )S = µ0 |
N 2 S |
I |
|
l |
||||
|
|
|
Индуктивность соленоида в вакууме L=Ф/I, следовательно
L = µ0 Nl2S
Из этой формулы определим единицу измерения магнитной постоянной µ0
Скорость убывания индукционного тока в контуре по 2 закону Кирхгофа
7
4. Взаимная индукция
Для двух контуров с током существует магнитная связь, т.к. линии магнитной индукции контура 1 пересекают контур 2 и наоборот.
Магнитный поток Ф21 через контур 2, создаваемой контуром 1, пропорционален току I1 в контуре 1.
Ф21=L21I1
И наоборот Ф12=L12I2 - магнитный поток в контуре 1.
Коэффициенты взаимной индукции для контуров равны
L21=L12
Коэффициент взаимной индукции двух однослойных тороидальных катушек, намотанных на один каркас.
Напряженность магнитного поля катушки 1:
.
Поток через катушку 2: Φ1 = B1S = µ0 N1I1S /1 - через 1 виток.
Через все витки катушки 2 магнитный поток Φ21 = N2Φ1 = µ0 N1N2 SI1 /1.
Коэффициент взаимной индукции
L12 = µ0 N1N2 S = L21
Изменение магнитного потока, пронизывающего обе катушки по какой-либо причине, вызывает появление в них Э.Д.С
ε1 = −N1 ddtΦ, ε2 = −N2 ddtΦ
Если изменение потока dФ/dt вызвано, например, изменением тока в катушке 1, то отношение Э.Д.С ε2 в катушке 2 к ε1:
ε2/ε1=N2/N3=k
называется коэффициентом трансформации Э.Д.С.
Такое устройство называется трансформатором.
Схематическое устройство трансформатора. 1 — первичная обмотка, 2 — вторичная
Согласно закону сохранения энергии, мощности токов в обеих обмотках трансформаторов должны быть одинаковыми.
8
ε1I1=ε2I2
т.е.
ε2/ε1=I1/I2=k
Трансформатор повышает (понижает) ток и э.д.с. при изменении э.д.с. в первичной обмотке.
5. Энергия магнитного поля
Магнитное поле порождается током и исчезает вместе с ним. Следовательно, часть энергии тока всегда идет на создание магнитного поля.
Магнитное поле обладает энергией, равной работе, затраченной током на его создание. Электромагнитная индукция обусловлена взаимным превращением энергии электрического тока и магнитного поля.
Пусть в контуре изменяется ток, что сопровождается изменением магнитного потока
dФ=LdI
При изменении потока ток совершает работу
dA=IdФ=LIdI
Полная работа тока по созданию магнитного потока от 0 до Ф (т.е. нарастания тока от 0 до I) равна
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром
= LI 2 Wm 2
(полная работа, необходимая для установления в цепи тока I).
Для увеличения тока в электрической цепи необходима некоторая работа. Эту работу производит источник тока, включенный в цепь.
При уменьшении тока в цепи освобождается некоторая энергия, и источник тока совершает меньшую работу, чем при постоянном токе.
При выключении источника тока такая же работа выполняется токами самоиндукции. То есть данное выражение описывает энергию, запасаемую контуром с током. Эта энергия получила название собственной энергии тока.
Энергия однородного магнитного поля, заключенного в объеме V:
W=µH2V/8π.
9
Плотность энергии:
u=W/V.
Если поле не однородно, то энергия находится с помощью интегрирования по всему объему, занимаемому полем:
Wm =V∫µ8Hπ2 dV
Пример - Энергия магнитного поля в соленоиде:
Напряженность магнитного поля соленоида
H=NI/l → I=Hl/N,
индуктивность соленоида
L = µ0 Nl2S .
Тогда энергия магнитного поля в соленоиде будет равна
,
а плотность энергии магнитного поля равна
.
Индуктивность катушки, намотанной на сердечник
L = µ0 µ Nl2 S
где:
µ0 — магнитная постоянная µ — относительная магнитная проницаемость материала сердечника
s — площадь сечения сердечника
l — длина средней линии сердечника N — число витков
При последовательном соединении катушек общая индуктивность равна сумме индуктивностей всех соединённых катушек
L= ∑Li
i=1
При параллельном соединении катушек общая индуктивность равна
10