Лекции по метрологии. Часть 3

11

результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, вычисляют (без учета знака) по формуле

~

(P) t q S(A),

где tq - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P=1-q и числу степеней свободы fэф, вычисляемому по формуле:

i 1

где ni - число измерений при определении ai-го аргумента.

2.5. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют следующим образом.

2.5.1. Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы границами i , то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения (P) (без учета знака) при вероятности P вычисляют по формуле:

ной вероятности P=0,95 поправочный коэффициент k принимают равным 1,1. При доверительной вероятности P=0,99 поправочный коэффициент принимают равным 1,45, если число суммируемых составляющих m>4. Если же число составляющих m 4, то поправочный коэффициент k 1,4; более точное значение k можно найти с помощью графика зависимости (рис. A1) в соответствии с требованиями Приложения A

k=f(m, l),

где m - число суммируемых составляющих; l - параметр, зависящий от соотношения границ составляющих. На графике кривая 1 дает зависимость k от l при m=2, кривая 2 - при m=3, кривая 3 - при m=4, кривая 4 - при m=5. Для нахождения k границы составляющих i располагают в

определяют значения k1 =f(l1, m) и k2 =f(l2, m); в качестве поправочного коэффициента принимают наибольшее из k1 и k2.

12

ПРИМЕЧАНИЕ 1. Пренебрежимо малые составляющие ( 1 и 2 )

~

(P) / S(A) 8 , то за погрешность результата косвенного измерения принимают неисключенную систематическую составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.5.

~

2.6.2. Если (P) / S(A) 0,8 , за погрешность результата косвенного измерения принимают случайную составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.4.

~

2.6.3. Если 0,8< (P) / S(A) <8, то доверительную границу результа-

где K - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и от от-

~

ношения (P) / S(A) . Значения коэффициента K в зависимости от отно-

~

шения (P) / S(A) для вероятностей P=0,95; P=0,99 определяют из табл.

B1.

Таблица B1 Зависимость коэффициента К от значения доверительной вероятности

13

ПРИМЕЧАНИЕ. Погрешность, возникающая при использовании формулы (B3) для суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей не превышает 12 %.

3. Косвенные измерения при нелинейной зависимости.

3.1. Для косвенных измерении при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации.

ПРИМЕЧАНИЕ. Метод линеаризации - нахождение результата измерения и оценивание его погрешностей, основанные на соотношении

A f a1,a 2 ,...ai ,...a m

где f(a1, a2,... ai, ... am) - нелинейная функциональная зависимость измеряемой величины A от измеряемых аргументов ai ; f / a i - первая про-

~

где S(a i ) - оценка среднего квадратического отклонения случайных по-

грешностей результата измерения ai-го аргумента. Отклонения ai при этом должны быть взяты из возможных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R.

3.4. Результат измерения A вычисляют по формуле:

14

3.5. Оценку среднего квадратического отклонения случайной по-

~

грешности результата косвенного измерения S(A) вычисляют по формуле:

3.6. Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения при условии, что распределение погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, вычисляют в соответствии с п. 2.4, подставляя вместо коэффициентов b1, b1, ... bi, ... bm первые производные

f / a1 , f / a 2 ,... f / a i ,... f / a m , соответственно.

3.7. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют в соответствии с п. 2.5, подставляя вместо коэффициентов b1, b2, ... bi, ... bm первые производные

f / a1 , f / a 2 ,... f / a i ,... f / a m , соответственно.

3.8. Погрешность результата косвенного измерения вычисляют в соответствии с п. 2.6.

4. Метод приведения.

ПРИМЕЧАНИЕ. Метод приведения (приведение результатов косвенных измерений к ряду прямых измерений) - получение ряда отдельных значений измеряемой величины путем подстановки отдельных значений аргументов в формулу, выражающую зависимость косвенно измеряемой величины от аргументов.

4.1.При неизвестных распределениях погрешностей измерений аргументов и при наличии корреляции между ними для определения результата косвенного измерения и его погрешности используют метод приведения, который предполагает наличие ряда отдельных значений измеряемых аргументов, полученных в результате многократных измерений.

4.2.Метод основан на приведении ряда отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду прямых измерений. Получаемые сочетания отдельных результатов измерений аргументов подставляют в формулу (B1) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины

A:A1, A2, ... Aj, ... An.

~

4~.3. Результатn косвенного измерения A вычисляют по формуле:

A A j / n

j 1

где n - число отдельных значений измеряемой величины; Aj - j-е отдельное значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки j-го сочетания согласованных результатов измерений.

4.4. Оценку среднего квадратического отклонения случайных погрешностей результата косвенного измерения вычисляют по формуле:

15

j 1

4.5.Доверительные границы случайной погрешности для результата косвенного измерения вычисляют (без учета знака) в соответствии

с[10].

4.6.Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения при линейной зависимости вычисляют в соответствии с п. 2.5, при нелинейной зависимости - в соответствии с п. 3.7.

4.7.Доверительные границы погрешности результата косвенного измерения вычисляют в соответствии с п. 2.6.

5. Формы представления результата измерения.

5.1.Форма представления результата измерения должна соответствовать ГОСТ 8.011-72.

5.2.Если предполагают исследование и сопоставление результатов измерений или анализ погрешностей, то результат измерения и его погрешность представляют в виде

~~

A, S(A), n, f ýô , (P) ,

где n - число измерений того аргумента, при измерении которого выполнено минимальное число измерений.

5.3. Если границы погрешности результата измерения симметричны, то результат измерения и его погрешность представляют в виде

~

A (P) .

16

Приложение C

Измерения прямые однократные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.

Настоящие правила распространяются на нормативно техническую документацию, регламентирующую требования к выполнению прямых однократных измерений, и устанавливают методы оценивания погрешностей результатов измерений при условии, что составляющие погрешности результата измерения известны, случайные погрешности составляющих распределены нормально, а неисключенные систематические погрешности, представленные заданными границами , распределены равномерно.

ПРИМЕЧАНИЕ. Границы неисключенной систематической погрешности измерений - границы интервала, найденные нестатистическими методами, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность измерения.

Погрешность измерения задается границами в том случае, когда сведения о вероятности нахождения ее в этих границах отсутствуют.

1. Общие положения.

~

1.1. За результат однократного измерения A принимают значение величины, полученное при отдельном измерении.

1.2. Составляющие погрешности результата измерения должны быть известны до проведения измерения.

Предполагается, что известные систематические погрешности исключены.

1.3. Условия проведения однократных измерений.

1.3.1.Производственная необходимость (разрушение образца, невозможность повторения измерения, экономическая целесообразность

ит.д.).

1.3.2.Возможность пренебрежения случайными погрешностями.

ПРИМЕЧАНИЕ. Случайные погрешности считают пренебрежимо малыми по сравнению с неисключенными систематическими, если

~

/ S(A) 8 ,

где - граница неисключенных систематических погрешностей результата изме-

~

рения; S(A) - среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения.

1.3.3. Случайные погрешности существенны, но доверительная граница погрешности результата измерения не превышает допускаемой погрешности измерения.

1.4. До измерения производят априорное оценивание погрешности результата измерения, используя предварительные данные об измеряемой величине, условиях измерения и источниках погрешностей

17

измерения (составляющих погрешности измерения). Если априорная оценка превышает допускаемую погрешность результата измерения, то выбирают более точное средство измерения или изменяют методику измерения.

1.5.Для определения доверительных границ погрешности результата измерения принимают вероятность, равную 0,95. В особых случаях, например, при измерениях, которые нельзя повторить, допускается указывать доверительные границы для более высоких вероятностей.

1.6.При вычислениях следует пользоваться правилами округления в соответствии с СТ СЭВ 543-77. Погрешность результата измерения должна быть представлена не более чем двумя значащими цифрами.

2. Составляющие погрешности результата измерения.

2.1.Составляющими погрешности результата однократного измерения являются погрешности: средств измерения; метода; оператора.

2.2.Погрешности средств измерений, метода и оператора могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей.

2.3.Неисключенные систематические погрешности могут быть выражены одним из способов:

границами ;

доверительными границами (P) .

2.4.Случайные погрешности могут быть выражены одним из

способов:

средним квадратическим отклонением S; доверительными границами (P) .

2.5.Погрешность средств измерения определяют по метрологическим характеристикам, которые указаны в нормативно-технической документации, и в соответствии с РД 50-453-84.

2.6.Погрешности метода и оператора должны быть определены в нормативно-техническом документе на конкретную методику выполнения измерений.

3. Оценивание неисключенной систематической погрешности результата измерения.

3.1.Если неисключенная систематическая погрешность имеет место только у одной из составляющих (погрешности или средства измерения, или метода, или оператора), то неисключенную систематическую погрешность результата выражают границами этой погрешности.

3.2. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют следующим образом.

3.2.1. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами j , доверительную границу

неисключенной систематической погрешности результата однократно-

18

го измерения (P) для вероятности P (без учета знака) вычисляют по формуле

где k - поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих j . При доверитель-

ной вероятности P=0,90 поправочный коэффициент k принимают равным 0,95; при доверительной вероятности P=0,95 k=1,1. При доверительной вероятности P=0,99 поправочный коэффициент принимают равным 1,45, если число суммируемых составляющих m>4. Если же число составляющих равно четырем (m=4), то поправочный коэффициент k 1,4; при m=3 k 1,3; при m=2 k 1,2. Более точное значение k для доверительной вероятности P=0,99 при числе составляющих m 4 в зависимости от соотношения составляющих l определяют по графику зависимости (рис. A1) в соответствии с требованиями Приложения A

k=f(m, l),

где m - число суммируемых составляющих; l - параметр, зависящий от соотношения границ составляющих. На графике кривая 1 дает зависимость k от l при m=2, кривая 2 - при m=3, кривая 3 - при m=4, кривая 4

- при m=5.

ПРИМЕЧАНИЕ. Погрешность, возникающая при использовании формулы (C1) для суммирования неисключенных систематических погрешностей и при нахождении поправочного коэффициента k для доверительной вероятности P=0,99 по графику k=f(m, l), не превышает 5%.

3.2.2. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими доверительными границами j (Pk ) ,

соответствующими вероятностям Pk, и рассчитанными по формуле (C1), доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата однократного измерения (P) для вероятности P вычисляют (без учета знака) по формуле:

n

P k 2j Pk / k 2k

j 1

где j (Pk ) - доверительная граница j-й неисключенной систематической

погрешности, соответствующая доверительной вероятности Pk; kk- поправочный коэффициент, соответствующий доверительной вероятности Pk. Значения коэффициентов k и kk определяют в соответствии с требованиями п. 3.2.1.

4. Оценивание случайной погрешности результата однократного измерения.

4.1. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения вычисляют следующим образом.

19

4.1.1. Если случайные погрешности средств измерения (метода, оператора) представлены средними квадратическими отклонениями Si, приведенными в технической документации, то среднее квадратическое

где n - число составляющих.

Доверительную границу случайной погрешности результата измерения (P) вычисляют по формуле:

Зависимость коэффициента К от значения доверительной вероятности

P0,99 Z0,99 / 2 - до 2,6.

4.1.2.Если случайные погрешности средств измерения (метода, оператора) представлены доверительными границами i (P) , соответ-

ствующими одной и той же вероятности, доверительную границу случайной погрешности результата однократного измерения вычисляют по формуле:

4.1.3. Если случайные погрешности средств измерения (метода, оператора) определяют предварительно экспериментально при ограниченном числе измерений (<30), доверительную границу этой случайной составляющей вычисляют по формуле:

где t - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и числа измерений. В качестве коэффициента t можно использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы той составляющей, оценивание которой произведено при наименьшем числе измерений; Si - оценка среднего квадратического отклонения i-й составляющей (погрешности средств измерения, метода, оператора).

4.1.4. Если случайные погрешности средств измерения (метода, оператора) представлены доверительными границами, соответствую-

20

щими разным вероятностям, сначала определяют среднее квадратическое отклонение результата измерения по формуле

h/ 2

i1

апотом вычисляют доверительные границы случайной погрешности результата измерения по формуле (C2).

ПРИМЕЧАНИЕ. Если доверительные границы случайных погрешностей для некоторых составляющих определены экспериментально, то рассчитанные доверительные границы результата измерения будут несколько завышены.

5. Оценивание погрешности результата измерения.

5.1. Если погрешности метода и оператора пренебрежимо малы по сравнению с погрешностью используемых средств измерения (не превышают 15 % от погрешности средств измерений), то за погрешность результата измерения принимают погрешность используемых средств измерения.

результата измерения доверительные границы случайных погрешностей (см. разд. 4).

~

Если / S(A) 8 , то случайными погрешностями пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения границы неисключенных систематических погрешностей (см. разд. 3).

~

5.3. Если 0,8 / S(A) 8 , то доверительную границу погрешно-

сти результата измерений вычисляют по формуле

P K P P (C3)

Значения коэффициента K для доверительной вероятности 0,95 и 0,99

~

в зависимости от отношения ? S(A) определяют из табл. C2.

Таблица C2 Зависимость коэффициента К от значения доверительной вероятности

ПРИМЕЧАНИЕ 1. Применение формулы (C3) для вычисления погрешности результата (P) сопровождается погрешностью, не превышающей 15 %.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. Допускается применение других методов суммирования случайных и неисключенных систематических составляющих погрешностей результата измерения.

6. Форма представления результата измерения.

6.1. Форма представления результата однократного измерения должна соответствовать МИ 1317-86.