TI_v_EMM_2014

Доказательство. Если Ak и Ar — дублирующие чистые стратегии игрока А, то из определения дублирующих стратегий следует, что k-я и r-я строки матрицы игры равны, а потому каждая из них (нестрого) доминируется другой. Следовательно, одну из них можно удалить.

Рассуждения для дублирующих стратегий игрока В аналогичны.

Решение матричных игр со смешанным расширением методами линейного программирования

Решение матричной игры со смешанным расширением – это определение оптимальных смешанных стратегий, то есть нахождение таких значений вероятностей выбора чистых стратегий для обоих игроков, при которых они достигают наибольшего выигрыша.

Для матричной игры, платѐжная матрица которой показана на рис. 1.1, Vн Vв , определим такие значения вероятностей выбора стратегий для игрока 1 (p1, p2 ,…, pm) и для игрока 2 (q1, q2 ,…, qn), при которых игроки достигали бы своего максимально гарантированного выигрыша.

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то, по условию задачи, его выигрыш не может быть меньше цены игры V. Поэтому данная задача может быть представлена для игроков в виде следующих систем линейных неравенств:

Для первого игрока:

Чтобы определить значение V, разделим обе части каждого из уравнений на V. Величину pi/V обозначим через xi, а qj/V – через yj.

Для игрока 1 получим следующую систему неравенств, из которой найдѐм значение 1/v: Для игрока 1 необходимо найти максимальную цену игры (V). Следовательно, значение 1/V

должно стремиться к минимуму.

Целевая функция задачи будет иметь следующий вид:

51

min Z = min 1/V = min (x1 + x2 + … + xm)

Для игрока 2 получим следующую систему неравенств, из которой найдѐм значение 1/v:

Для игрока 2 необходимо найти минимальную цену игры (V). Следовательно, значение 1/V должно стремиться к максимуму.

Целевая функция задачи будет иметь следующий вид:

max Z = max 1/V = max (y1 + y2 + … + yn)

Все переменные в данных системах линейных неравенств должны быть неотрицательными: xi = pi/V, а yi = qj/V. Значения pi и qj не могут быть отрицательными, так как являются значениями вероятностей выбора стратегий игроков. Поэтому необходимо, чтобы значение цены игры V не было отрицательным. Цена игры вычисляется на основе коэффициентов выигрышей платѐжной матрицы. Поэтому, для того, чтобы гарантировать условие неотрицательности для всех переменных, необходимо, чтобы все коэффициенты матрицы были неотрицательными. Этого можно добиться, прибавив перед началом решения задачи к каждому коэффициенту матрицы число K, соответствующее модулю наименьшего отрицательного коэффициента матрицы. Тогда в ходе решения задачи будет определена не цена игры, а величина V* = V + K.

Для решения задач линейного программирования используется симплекс-метод.

В результате решения определяются значения целевых функций (для обоих игроков эти значения совпадают), а также значения переменных xi и yj .

Величина V* определяется по формуле: V* = 1/z

Значения вероятностей выбора стратегий определяются: для игрока 1: Pi = xiV*: для игрока 2: qi =

yiV*.

Для определения цены игры V из величины V* необходимо вычесть число K.

Тема 4. Лекция 11-13. Игры с природой. (Принятие решений в условиях неопределенности и риска. Теория статистических решений.)

Рассмотрим ситуацию, когда имеются: Игрок А, игрок П (природа). Поведение человека – выбор стратегии из заданного множества. Поведение природы – одно состояние из известного множества. Если множества конечны, то игра задается матрицей A - матрицей выигрыша игрока А при выбранной стратегии игрока А и заданном состоянии природы П. H (Ai, Пj) = aij

Принципы оптимальности:

1)Доминирующие стратегии

2)Удаление доминируемых стратегий.

3)Осторожные стратегии (МГР).

4)Принцип благоприятствования стратегий.

Показателем благоприятствования игрока Пj к выигрышу игрока А называется βj = max aij Риском i-той стратегии игрока А в состоянии Пj называется rij = βj - aij.

А→Ra=║rij║

52

Как привести неопределенность к определенности?

1)Вероятности состояний природы.

2)Относительная вероятность состояний.

3)Экспертная информация о вероятности.

4)Неизвестная вероятность состояния природы (неопределенность).

Пусть заданы вероятности qi состояний природы Пi (i=1,…..n).

Критерий Байеса относительно выигрыша (К1).

Пусть задана игра ис природой

Определение:

n

Показателем эффективности стратегии Аi называется величина ai q j aij

j 1

Стратегия игрока называется максимальной, если показатель эффективности ее максимален. Ai0 –

i 1

Определение:

Показателем эффективности игрока А (в соответствии с К1) называется величина

Определение:

Стратегия P0 игрока А назыается оптимальной на множестве Sa (в соответствии с К1) если

max H(P) H(P0 )

P SA

Теорема.

Если стратегия Аio оптимальна на множестве чистых стратегий Sca (в соответствии с К1), то она оптимальна и на множестве смешанных стратегий Sa (в соответствии с К1).

Доказательство.

H(P) pi ai pi max ai ai0 pi ai0

i

Если верно, что P SA , то => H(P0 ) ai0

53

Т.к. Ai0 SCA SA . H(P0 ) ai0

Критерий Байеса относительно риска (К2). Определение:

Показателем неэффективности Аi (в соответствии с К2) есть величина

Определение:

Риском, при использовании игроком А стратегии P и при Пi называется:

r(P, Пj ) max H(V, Пj ) H(P, Пj )

V SA

Определение:

Показатель эффективности стратегии В игрока А (в соответствии с К2) называется величина:

n

r(P) q j r(P, П j )

j 1

Определение:

Смешанные стратегии P0 игрока А называется оптимальной (в соответствии с К2), если

min r(P) r(P0 )

P SA

Теорема.

Стратегия Аio игрока А, оптимальная (в соответствии с К2) на множестве ScА (множество рисков), будет оптимальной и на SА (множество смешанных стратегий).

Докажем это неравенство в другую сторону.

Итак, min r(p) ri0

≤

Теорема об эквивалентности К1 и К2.

Рассмотрим показатели эффективности стратегий относительно риска:

n

ri qj rij q j ( j aij ) qj j qj aij

ai

54

ri достигает своего минимума если ai достигает своего максимума.

Критерий Лапласса относительно выигрыша/риска. Все состояния природы считаются равновероятными.

Pj n1 , j = 1, ..., n

Далее, все формулировки аналогичны критериям Байеса.

Для лучшей обозримости сведем рассмотренные в этом параграфе критерии в таблице.

Таблица 1.

Критерии относительно выигрышей

По каждому из этих критериев оптимальной является стратегия Ai0 , показатель эффективности которой

Байеса относительно выигрышей и отличаются они друг от друга лишь способом добывания информации о вероятностях состояний природы.

По каждому из этих критериев является стратегия Ai0 показатель

Каждый из этих критериев является критерием Байеса относительно рисков и отличаются они друг от друга только способом получения информации о вероятностях состояний природы.

Таблица 2.

Критерии относительно рисков состояний природы с учетом рисков

55

Наконец, напомним, что критерии 1В, 2В, 3В эквивалентны соответственно критериям 1р,2р,3р. Заканчивая обсуждение способов принятия решения в условиях риска, мы видим, что информация о

вероятностях состояний природы может быть как объективной, так и субъективной. Оптимальные стратегии, определенные на основе субъективной оценки вероятностей состояний природы, в общем случае также оказываются субъективными. Степень субъективности оптимальных решений можно уменьшить, если вероятности состояний природы, назначенные одним экспертом, заменить на средние вероятностей, назначенных различными экспертами независимо друг от друга.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В предыдущей лекции мы рассмотрели подходы к принятию решений в условиях риска, т.е. в условиях, когда мы существенно использовали вероятности состояний природы, добытые тем или иным путем.

Здесь мы обсудим некоторые критерии принятия оптимальных решений в условиях неопределенности, т.е. когда вероятности, с которыми природа может принимать то или иное состояние, неизвестны и отсутствует всякая возможность получения о них какой-либо статистической информации.

Пусть в игре с природой П игрок А обладает m возможными чистыми стратегиями А1...,Аm, а природа П может находится в одном из n состояний П1..., Пn. Пусть (20.1) является матрицей выигрышей игрока А.

Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами

λ1,λ2,λ3,…λn .

Переставим выигрыши аi1,аi2,...,аin при каждой стратегии Ai, (т.е. элементы каждой строки матрицы), расположив их в неубывающем порядке, и обозначим элементы полученной матрицы через bij, а саму матрицу — через B:

Каждая строка Bi матрицы В является перестановкой выигрышей при стратегии Ai, (i = 1,..., m). Не исключена возможность, что для некоторых номеров i и j будет иметь место равенство bij = aij. В силу неравенств (1), в первом столбце матрицы В стоят минимальные выигрыши при каждой стратегии

а в последнем n-м столбце — максимальные выигрыши при каждой стратегии

Пусть числа λ1,λ2,λ3,…λn, удовлетворяют условиям

j 1

Показателем эффективности стратегии Аi по рассматриваемому критерию назовем число

j 1

56

Следовательно, в этом случае, обобщенный критерий Гурвица относительно выигрышей превращается в критерий Байеса относительно выигрышей.

Если коэффициенты j 1n , j 1,..., n , то их можно формально трактовать как вероятности равновероятных состояний природы и из (2.21.5) получим:

совпадает с показателем эффективности стратегии Ai - по критерию Лапласа относительно выигрышей. Значит, обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с равными коэффициентами λ1=…= λn=1/2, превращается в критерий Лапласа относительно выигрышей.

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма).

Критерий Вальда есть частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей со специальными коэффициентами

которые, очевидно, удовлетворяют условиям (4).

Подставляя значения коэффициентов (7) в формулу (5) и учитывая (2), получим показатель эффективности стратегии Аi- по критерию Вальда:

представляющий собой минимальный выигрыш игрока А при применении им стратегии Ai. Оптимальной

Другими словами, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та чистая стратегия, при которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий. Таким образом, оптимальная стратегия по критерию Вальда гарантирует при любых состояниях природы выигрыш, не меньший, чем максимин

W max min aij.

1 i m 1 j n

Из (7) и (6) получаем, что для критерия Вальда показатель пессимизма λр=1 а показатель оптимизма λо=0. Это говорит о том, что критерий Вальца является критерием крайнего пессимизма, ибо ориентирует игрока А на наихудшие для него состояния природы и, следовательно, на крайне осторожное, осмотрительное поведение при выборе стратегий. Хотя арабская пословица и гласит «Кто боится собственной тени, тому нет места под солнцем», тем не менее этот критерий уместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть. Принципом критерия Вальда часто пользуются в обиходе, что подтверждается такими поговорками, как «Семь раз отмерь—один раз отрежь», «Береженного бог бережет», «Лучше синица в руках, чем журавль в небе».

Максимаксный критерий (критерий крайнего оптимизма). Противоположностью критерию Вальда является так называемый максимаксный критерий, представляющий собой также частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей, когда коэффициенты λ1,λ2,…, λn выбираются следующим образом:

Коэффициенты (9) удовлетворяют условиям (4). Если эти коэффициенты подставить в (5) и учесть (3), то получим формулу для показателя эффективности стратегии Ai, по максимаксному критерию:

58