- •Классическое определение вероятности события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Формулы Бернулли и Пуассона
- •Закон распределения вероятностей
- •Математическое ожидание и дисперсия
- •Геометрическая вероятность
- •Непрерывные случайные величины Функция распределения вероятностей, и плотность вероятности
- •Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а, b], если ее плотность вероятности имеет вид
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются выражениями
,
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1;6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0;4]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.
Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, чго случайная величина X — время ожидания автобуса — распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание) и среднее квадратичное отклонение случайной величины.
Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин — случайная величина X — распределена равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.
Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид
где a — математическое ожидание;
— среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится по формуле
, где Ф(x)= — функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений x можно найти в справочниках.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 5, дисперсия равна 9. Написать выражение для плотности вероятности.
Найти M(4X – 3) D(4X – 3), если плотность случайной величины X имеет вид:
Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
Случайная величина нормально распределена. Известно, что MX=-2, DX=1 Найти:
а) плотность вероятности случайной величины и ее значения в точках x=-1, x=0, x=2
б) вероятности P(-2<X<0), P(X>1)
Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р — 0,9972 попадет случайная величина.
Случайная величинах распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.
Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятносгью 0,98.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины — количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов,— равно 1кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее чное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
Уровень воды в реке – это нормально распределенная случайная величина со средним значением 2,5 м и стандартным отклонением 20 см. Оценить вероятность того, что в наудачу выбранный день:
а) уровень превысит 3 м; б) окажется в пределах от 2,2 м до 2,8 м.
Суточное потребление электроэнергии в населенном пункте является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2000 кВт/ч и дисперсией 20000. Найти вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в населенном пункте будет от 1500 до 2500 кВт/ч
Месячная прибыль компании Мобильные телефоны Средиземья (МТС) является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 1 000 в валюте Средиземья и дисперсией 250 000. Чему равна вероятность того, что прибыль компании окажется: а) в пределах от 500 до 2 000?; б) более 1 250? Построить график плотности данного нормального распределения и указать на графике область, соответствующую вероятности из пункта а)
Доход фирмы за месяц представляется нормально распределенной случайной величиной со средним значением 3 млн. долл. и средним квадратическим отклонением 0.5 млн. долл. . Найдите вероятность того, что в данном месяце доход фирмы будет более 4 млн. долл. Напишите формулу плотности распределения этой случайной величины, нарисуйте ее график и покажите на нем вычисленную вероятность.