![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
2. (5)
Решив
совместно уравнение (3) и (5), выразим
усилия Nи
через F:
Из второго уравнения
выразим N:
Подставим это выражение в первое уравнение системы
.
Выполним преобразования
Тогда
Определим напряжения в стержнях и сравним с допустимыми:
< [
]
= 160МПа;
<[
]
= 160МПа.
Значит стержни проходят на прочность.
Задача 2. Расчет системы с учетом неточности изготовления стержней
Первый стержень
шарнирно – стержневой системы изготовлен
короче проектного размера на величину
= 2 мм. Площади поперечного сечения
стальных стержней равныА1
= 0,8·10–3
м2,
А2
= 1,2·10–3
м2,
Е
= 2·105
МПа.
Пример решения.
В шарнирно
– стержневой системе (рисунок 4) стержень
2 выполнен короче проектной длины на
величину
м
(
по сравнению с длиной стержня весьма
мало). В связи с этим после монтажа в
стержнях возникли начальные (монтажные)
напряжения. Требуется определить эти
напряжения и сравнить с допустимыми.
Рисунок 4 – Схема с монтажной погрешностью
Данные для расчета:
в =
3 м;
А =
10-3
м2;
;
Е =
,[
]
= 160МПа.
Решение
Направление
внутренних усилий в стержнях
и
выбираем из условия, что после сборки
системы стержня 1 сжимается, а стержень
2 растягивается. Значит усилие
направлено вдоль стержня к брусу, а
усилие
– от бруса (рисунок
5).
Рисунок 5 – Система в деформированном виде
Приведем уравнение равновесия бруса ВАС.
(1)
В данное уравнение входят два неизвестных усилия. Следовательно, рассматриваемая шарнирно – стержневая система один раз статически неопределима.
Для составления
дополнительного уравнения рассмотрим
систему в деформированном виде (рисунок
5). После монтажа системы брус АВС
повернется в положение В1АС1
, т.е. точка
С
переместится в положение С1,
а точка В
в положение В1.
Восстановив из точки В1
перпендикуляр на первоначальное
направление стержня 2, получим точку D.
Следовательно, деформация стержня 2 ()
выражается его удлинением на величину
отрезкаВ0D.
Отрезок СС1
представляет укорочение (деформацию
)
стержня 1.
Для установления
зависимости между величинами
и
рассмотрим подобие треугольниковАВВ1
и АСС1.,
из которого следует:
,
где СС1
=;ВВ1
=
.
Тогда
или
.
Следовательно, уравнение совместности деформаций имеет вид:
(2)
На основании закона Гука
;
.
Подставляя эти выражения в уравнение (2) и , зная, что
,
,
,
получаем:
.
Отсюда
.
Подставив это выражение в уравнение (1), получим:
.
Отсюда
.
Тогда
.
Определим напряжение в стержнях:
< [
]
= 160МПа;
< [
]
= 160МПа.
Значит стержни по условию прочности проходят.
Задача 3. Расчет системы с учетом перепада температур
Первый стержень
выполнен из стали с модулем упругости
первого рода Ес
= 2·105
МПа
и коэффициентом линейного расширения
с
= 125·10–7
град–1,
второй из меди с Ем
= 105
МПа
и
м
= 160·10–7
град–1.
Площади поперечного сечения стержней
Ас
= 1,2·10–3
м2,
Ам
= 1,5·10–3
м2.
Система после сборки получила положительный
перепад температуры
t
= 500
С.
Пример решения.
В шарнирно – стержневой системе (рисунок
6) первый стержень стальной с площадь
поперечного сечения Ас
= 10-3 м2,
второй медный с площадью поперечного
сечения
.Система
после сборки получила положительный
перепад температуры
.
Необходимо определить температурные
напряжения в стержнях, возникшие в
результате изменения температуры
элементов системы и сравнить с допустимыми.
Рисунок 6 – Исходная схема
Данные для расчета:
;
;
;
;
[
]с
= 210 МПа;
[]v
= 110 МПа..
Коэффициенты линейного расширения
;
;
Решение
Для определения
направлений внутренних усилий, возникающих
в стержнях, в первую очередь, необходимо
оценить значения коэффициентов
термического расширения
для стали и меди. Стержень, для которого
этот коэффициент окажется больше, имеет
большее деформационное воздействие на
систему.
Вычислим значения этих коэффициентов для рассматриваемой системы
град–1;
.
Так как
,
следовательно, стальной стержень как
бы, «пережимает» медного стержня.
При нагреве за
счет удлинения стержней брус из положения
ВАС
повернется в положение В1АС1
(рисунок 7).
При этом абсолютные деформации стержней
составят величины
и
.
Рисунок 7 – К расчету температурных напряжений
Однако, если рассмотреть деформации стержней в отдельности друг от друга, то выясняются следующие особенности.
Точка С стального
стержня при нагреве, если бы ему не
препятствовал медный стержень,
переместилась бы в точку
.
То есть температурная деформация
составила бы величину
.
При отсутствии стального стержня медный
стержень удлинился бы на величину
(точкаВ
переместилась бы в точку
)
Поскольку, как отмечалось выше,
деформационное воздействие стального
стержня на систему больше, чем медного,
то последний дополнительно удлиняется
на величину силовой деформации
.
А деформациястального
стержня за счет сопротивления медного
уменьшится на величину
.
Тогда
,
.
Таким образом, стальной стержень оказывается сжатым за счет силового сопротивления медного стержня (усилие NC направляем к брусу), а медный стержень за счет дополнительного воздействия со стороны стального стержня растягивается (усилие NM направляем от бруса).
Уравнение равновесия системы при этом имеет вид:
(1)
По аналогии с
предыдущими задачами при двух неизвестных
продольных силах
и
имеется одно уравнение равновесия,
следовательно, система один раз статически
неопределима.
Дополнительное
деформационное уравнение получим из
соотношения треугольников
и
:
,
где
;
.
Тогда
или
.
(2)
Исходя из закона Гука и закономерности температурного расширения, запишем:
;
;
;
,
где
;
Подставив эти зависимости в уравнение (2) получаем:
или
.
Подставляем числовые значения
.
Откуда
.
(3)
Решая совместно уравнения (1) и (3), получаем
.
Тогда
.
Вычислим напряжения в стержнях:
< [
]с
= 210 МПа;
< [
]м
= 110 МПа.
Значит стержни проходят по условию прочности.
Контрольные вопросы к РГР №1
Что такое абсолютная и относительная деформации?
Что такое напряжение?
Виды напряжений?
Закон Гука?
Что такое жесткость поперечного сечения?
Что характеризует величина Е?
В чем заключается метод сечений?
Вид деформаций в стержнях?
Какое напряжение действует в поперечном сечении стержня?
Как определить степень статической неопределимости системы?
Условие прочности при растяжении (сжатии)?
С какой целью используется коэффициент термического расширения?
По какому правилу выбирается направление внутреннего усилия в стержне?
РГР №2 – Геометрические характеристики плоских сечений
Задание. Для заданного сечения (рисунок 8) и номера варианта профилей (таблица 2) определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.
Методические указания. Если в таблице 2 поставлена буква Б при том или ином профиле, то нужно брать больший профиль из помещенных в таблице, при букве М – меньший профиль.
При расчете все необходимые геометрические и другие данные профилей следует брать из таблиц сортамента прокатной стали [1, 2, 3, 4].
В сечении, состоящем из двух фигур, центр тяжести всего сечения находится на отрезке, соединяющем центры тяжести этих фигур (ближе к большей).
Рисунок 8 – Профили поперечных сечений
Рисунок 8 – Профили поперечных сечений
(продолжение)
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения – один Jmax, другой Jmin и называются главными моментами инерции.
Если есть хотя бы одна ось симметрии фигуры, то эта ось и перпендикулярная к ней центральная ось являются главными центральными и, соответственно, центробежный момент инерции такой фигуры равен нулю.
Таблица 2 – Номера вариантов и виды профилей
№ варианта |
Вид профиля | ||||||
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
75×50×8 |
63×40×6 |
63×63×6 |
12 |
10 |
8 |
5 |
2 |
90×56×8 |
75×50×6 |
70×70×8 |
14 |
12 |
10 |
6,5 |
3 |
100×63×8 |
80×50×6 |
75×75×8 |
16 |
14 |
12 |
8 |
4 |
110×70×8 |
90×56×6 |
80×80×8 |
18 |
16 |
14 |
10 |
5 |
125×80×8 |
100×63×6 |
90×90×8 |
18а |
18 |
14а |
12 |
6 |
141×90×8 |
110×70×7 |
100×100×8 |
20 |
18а |
16 |
14 |
7 |
90×56×8 |
75×50×6 |
70×70×8 |
12 |
10 |
8 |
5 |
8 |
75×50×8 |
63×40×6 |
63×63×6 |
14 |
12 |
10 |
6,5 |
9 |
100×63×8 |
80×50×6 |
75×75×8 |
14 |
12 |
10 |
6,5 |
10 |
110×70×8 |
90×56×6 |
80×80×8 |
16 |
14 |
12 |
8 |
Центробежные моменты инерции уголков приведены в соответствующих стандартах [3, 4]. Их значения являются положительными в том случае, если зев уголка с его центром тяжести располагается во втором или четвертом квадранте координатных осей, проведенных по боковым граням уголка. Отрицательное значение центробежный момент инерции принимает в первом и третьем квадрантах.
Пример решения. Для поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнополочного уголка (рисунок 9) определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.
Рисунок 9 – Поперечное сечение
Данные для расчета:
Фигура 1 – швеллер № 20 ГОСТ 8240-97 (рисунок 10):
hмм; А
см
;
вмм; z
см;
J
см4;
J
см
.
Фигура 2 – уголок
8080
8
ГОСТ 8509–93
вмм;
А
см
;
zсм;
J
J
;
Jсм
.
Рисунок 10 – Геометрические размеры сечений
Решение
1.
Определим положение центра тяжести
сложного сечения (рисунок
9). Разобьем сложное сечение на составляющие
фигуры 1 и
2. За вспомогательные оси сечения выберем
систему координат Z
Y2.
Это удобно, так как в системе этих осей
координаты центров тяжести элементарных
фигур не будут принимать отрицательных
значений. Найдем координаты центра
тяжести сложного сечения по формулам:
;
y
,
где
,
–суммарные
статические моменты инерции эле-
ментарных фигур относительно вспомогатель-
ных
осей Z
Y2.
z
cм;
см;
В этом случае согласно рисунка 5:
z
см; z
=0;
=
0; у
cм.
Полученные
координаты центра тяжести сечения
отложим от вспомогательных осей Z1
Y2
и через найденную точку проведем
центральные оси Zс
Yс
параллельно осям ZY
.
2. Найдем величины осевых и центробежных моментов инерции сечения относительно центральных осей Zс Yс. Для этого используем формулы перехода от центральных осей к параллельным:
;
;
,
(1)
где
,
осевые
и центробежные моменты
инерции элементарных фигур от-
носительно центральных осей
всей сложной фигуры;
,
–
осевые моменты инерции этих же фигур
относи-
тельно собственных центральных осей. Эти ве-
личины найдены по таблицам сортамента прокат-
ных профилей;
координаты
центров тяжести швеллера и уголка от-
носительно центральных осей всего сечения;
–центробежные
моменты инерции швеллера и уголка
относительно собственных центральных осей.
Как видно из рисунка 9,
см;
см;
см;
см.
Поскольку оси ZY
являются главными осями сечения швеллера,
то
.
Для определения
знака
уголка пользуемся правилом: если зев
уголка с его центром тяжести располагается
в 1 или 3 квадрантах координатных осей,
центробежный момент инерции принимается
отрицательным, если в 2 или 4 квадрантах
– положительным. В нашем случае зев
уголка расположен в 3 квадранте, значит
J
см
.
Подставив численные значения в формулы (1), получим: