Дегтяренко Свойства дефектов и их ансамблей, радиационная 2011
.pdf
dm = -~P p при=x = ±iN I= dm = ~P p при=y = ±iO K=
где= δm определяется как отклонение от его равновесного значения= при отсутствии внешней нагрузкиW= dm = m - mM K=
=
=
РисKOKNNK= Направленный= диффузионный перенос вакансий= под действием внешней нагрузки=
=
=
=
=
=
=
На рисKOKNN=стрелками указано направление стационарных поJ токов вакансийI=которые возникнут в объеме кристалла под действиJ ем неоднородных по внешней поверхности граничных условийK= Направленное движение вакансий приведет к томуI= что материал с= боковых поверхностей= x = ± iN кристалла будет перенесен на поJ
верхности= y = ± iO I=вследствие чего произойдет распухание образца=
вдоль вертикальной оси и сжатие в поперечном направленииK=Не реJ шая задачи о распределении потоков вакансий точноI= произведем= оценку величин этих потоков и вызываемой ими скорости деформаJ цииK= Нормальный компонент скорости смещения какой-либо J по верхности кристалла по порядку величины есть=
VN=
=
s ~ ~P j ~ |
C a dm |
|
C a æ |
~P p ö |
X |
|
|
|
|
||||
M |
|
|
~ |
M |
ç |
|
÷ |
i ~ i |
~ i |
y |
K==============EOKRRF= |
||
|
|
|
|
||||||||||
n |
kq i |
|
i |
kq |
|
x |
|
|
|||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|||||
Скорость относительного изменения линейных размеров телаI= характеризующую установившееся течение кристаллаI= можно полуJ читьI=разделив=sn на размер образца=iW=
|
|
C |
a æ p~P ö |
|||
e&yy = -e&xx |
~ |
|
M |
ç |
|
÷ K=============================EOKRSF= |
|
O |
kq |
||||
|
|
i |
è |
ø |
||
·
e
T
=
=
РисK=OKNOK=Температурная зависимость скорости течения кристалла=
=
В этом выражении скорость течения кристалла линейно завиJ сит от напряженийK= Необходимо отметить характерную для диффуJ зионного течения кристалла обратную зависимость скорости дефорJ мации кристалла от квадрата размера кристаллического образца=EiOFK= Вид указанной зависимости от линейного размера позволяет сделать= вывод о томI=что чем меньше размер кристаллита темI=соответственJ ноI=выше его ползучестьK=
Температурной зависимости скорости течения кристалла= (рисKOKNOF=определяется коэффициентом диффузииW=
e&(q ) ~N L q ×exp (- bms 
kq )I=====================EOKRTF===============
VO=
=
где= bms =–=энергия миграции вакансииK=
Таким образомI= нами был рассмотрен диффузионный мехаJ низм течения монокристаллов и на качественном уровне получено= выражение для скорости необратимого изменения линейных размеJ ров образцаK==
O.9. Кинетика пор в кристалле
Ранее была дана классификация типов дефектов кристаллиJ ческой решетки в зависимости от их размерностиW=точечныеI=линейJ ные и плоские дефектыK=Существует еще один=–=объемные дефектыK= Представителем этого типа дефектов являются порыK =Поры в криJ сталле можно рассматривать как конденсат вакансийK= Как и другие= дефектыI =поры в кристалле могут рождаться и расти I =и наоборотI = растворяться и исчезатьK=
Исследуем процесс роста одиночной поры в большомI= но= ограниченном теле=EрисKOKNPFK=Поскольку поверхность поры является= внутренней граничной поверхностью кристаллаI= то на этой поверхJ ности= pN должно выполнятся граничное условие для химического= потенциалаW==
ms = ms + ~Ps I===========================EOKR8F=
p N M n
здесь= s n =–=напряжения вблизи поверхностиK=
=
=
РисKOKNPK=Геометрия задачи пор=
=
=
=
=
=
=
=
VP=
=
Пусть пора имеет форму сферыI=а кристалл будем считать изоJ тропнымK=Для пустой поры нормальное напряжение обусловливается= лапласовым давлениемW=
|
Og |
|
sn = |
|
I===================================EOKRVF= |
|
||
|
R |
|
где=o=–=радиус порыX=g=–=коэффициент поверхностного натяжения на= любой свободной поверхности кристаллаK= В этом случае граничное= условие на поверхности поры можно записать какW=
|
|
|
dm |
|
p |
= |
~ |
P Og |
K==================================EOKSMF= |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим теперь внешнюю удаленную границу кристаллаK= |
|||||||||||||||||
ПредположимI= что в кристалле |
поддерживается пересыщение |
пара= |
|||||||||||||||
мономеров= –= вакансийK= В |
этом |
случае |
граничное условие |
будет= |
|||||||||||||
иметь видW= |
|
¶mM (C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dm(N ) |
|
|
= |
dC = kq |
dC |
K======================EOKSNF= |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
pO |
|
|
|
¶C |
|
|
|
|
|
|
C |
M |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если также образец находится в условиях гидростатического сжатия= под давлением=pI=то для внешней поверхности получимW=
|
|
|
dC |
|
dm |
|
= kq |
|
- p~P K==============================EOKSOF= |
|
||||
|
|
¥ |
CM |
|
|
||||
|
|
|
||
ЗдесьI= поскольку размеры кристалла по сравнению с порой великиI= внешняя поверхность кристалла была формально отнесена на бескоJ нечностьK=Можно считатьI=что внутренняя часть кристалла находится= в квазистационарном состоянииK=Тогда для химического потенциала= должно выполняться уравнение= Dm = M с указанными выше граничJ ными условиямиK=Для скорости изменения радиуса порыI=совпадаюJ щей со скоростью нормального смещения ее поверхностиI= можно= записатьW=
dR |
= s = -~P j |
n |
= |
CM a |
|
¶m |
|
|
|
K==================EOKSPF= |
|
|
|||||||||
dt |
n |
|
kq |
|
¶n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
В принципе задача поставлена и может рассматриваться обычJ ными методами уравнений математической физики для эллиптичеJ ских уравненийK =Однако эту задачу можно решить по аналогии с =
VQ=
=
электростатикойK= Эквивалентной задачей является расчет плотности= заряда на сферическом проводнике в изотропном диэлектрике = по известному его потенциалу относительно бесконечностиW=
Dj = M I== n = C (jM - j¥ )I== C = R I== n = QpROh I=
где= n= –= полный заряд на проводникеI= C= –= электрическая емкость= проводникаI= φM= –= потенциал проводникаI= φ∞= –= потенциал на бескоJ нечностиI=h =–=поверхностная плотность зарядаK==
Для сферически симметричного конденсатора по теореме= Гаусса можно получитьW=
|
¶j |
N ¶j |
||||
Qph = - |
|
I=т.еK= =h = - |
|
|
|
K= |
|
|
|
||||
|
¶n |
Qp ¶n |
||||
Для нашей задачи в случае отсутствия источника вакансий= внутри кристаллаI=имеемW=
Dm = M.=
Тогда= m играет роль электрического потенциала в задаче о = сферическом конденсатореK=Далее=
|
¶m |
= |
dR |
|
kq |
® |
- |
1 |
|
¶m |
= - |
|
1 |
|
dR |
|
kq |
,= |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
¶n dt CM a |
|
|
|
4p ¶n |
|
4p dt CM a |
||||||||||||||||
т.еK= величинаI= эквивалентная поверхностной |
плотности зарядов= hI= |
||||||||||||||||||||||
естьW= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" h" = - |
|
1 |
|
dR |
|
kq |
.= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4p dt CM a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда по аналогии с электростатической задачей полный заряд= “n≤= равен=
|
æ N dR kq ö |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
"n " = -QpRO |
ç |
|
|
|
|
|
÷ = R (m |
|
sN |
- m |
|
¥ I= |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
è |
Qp dt CMa ø |
|
|
|
|
|||||||
получаемW=
-RO |
dR kq |
æ |
~P |
Og |
|
dC |
+ p~P |
ö |
|
|
|||
|
|
|
= R ç |
|
- kq |
|
÷. |
= |
|||||
dt CM a |
R |
CM |
|||||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
========= |
|||||||
Уравнение для скорости роста порW=
VR=
=
|
|
|
|
dR |
|
C |
M |
a æ R* |
p~P |
dC ö |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
ç |
|
|
+ |
|
- |
|
÷ I===================EOKSQF= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
R |
è |
|
R |
kq |
CM ø |
|
||||||||
где= R* º |
Og~P |
= –= величинаI= характеризуемая |
отношением поверхJ |
||||||||||||||||||
kq |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ностной энергииI= приходящейся на один атомI= к его тепловой энерJ |
|||||||||||||||||||||
гииK= Проанализируем полученное |
выражение с |
физической точки= |
|||||||||||||||||||
зренияK= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
NK= Введем величину |
критического давления |
в соответствии = с |
|||||||||||||||||||
равенством= pk |
= |
kq dC |
K= ВидноI= что когда давление достигает знаJ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
CM |
||||||||||||||||||
~P |
|||||||||||||||||||||
чения больше критического=E p > pk FI==любая пораI=независимо от ее=
радиусаI= начинает уменьшать свои размерыI= “растворяясь≤= в криJ сталлеK=Внешнее давление как бы=“задавливает≤=поруK=При этом проJ исходит уплотнение материала образцаK= Таким образомI= под дейJ ствием диффузионного течения кристаллI= имеющий внутри свободJ ные полостиI=может необратимо изменить свой объемK=
OK=ДалееI=пусть под действием внешнего давления пора раствоJ
ряетсяK= |
Тогда |
в кристалле |
относительное |
пересыщение вакансий= |
||||||||
dC / CM |
также растетK=Когда его величина становится равной= |
|||||||||||
|
|
|
dC |
|
p~P |
R* |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
I= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
CM |
|
kq |
R |
|
) |
|
|||
уменьшение |
размера поры |
|
|
|
( |
dR / dt = M |
K =В этих = |
|||||
|
прекращается= |
|
||||||||||
условиях пора будет находиться в квазистационарном равновесииK= При этом под действием постоянного давления в кристалле возникаJ ет пересыщение вакансийK=
PK= Пусть теперь в кристалле имеется большое число I= пор распределенных в среднем однородно по образцуK= Рассмотрим= модельную ситуациюI= когда все поры имеют одинаковый радиусK= Можно показатьI= что такая система неустойчиваK= ДействительноI= исходя из полученных выше соотношенийI= можно ввести= критический радиус поры=okW=
VS=
=
|
R* |
|
dC |
|
|
p~P |
|
|
|
|
|
|
édC paP ù |
|
|||||||
|
|
º |
|
- |
|
|
,=====или=====Rk º R* / ê |
|
|
- |
|
|
ú. |
= |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Rk |
|
CM |
|
|
kq |
радиус= ok |
|
|
|
ëCM |
|
|
kq û |
==EOKSRF |
||||||
ОтметимI= что критический |
определяется |
|
пересыщением= |
||||||||||||||||||
dC / C I=температурой=q и давлением=pK= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда=================== |
|
R* æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dR |
|
N |
N ö |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= CM a |
|
ç |
|
- |
|
÷ K=======================EOKSSF====== |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
R |
è |
Rk |
R ø |
|
|
|
|
|
||||||
Анализ полученного для скорости роста поры выражения поJ казываетI=что большие поры=Eo=[= okF==растутI==“поглощения≤=ваканJ сийI= а поры маленьких радиусов= Eo= Y= okFI= наоборотI= уменьшаютсяI= “испаряя≤=дефекты со своей поверхности=EрисKOKNQFK=
При наличии в кристалле пор разных размеров возникает =их активное диффузионное взаимодействиеK= Поры получают возможJ ность влиять друг на друга опосредованноI=через среднее пересыщеJ ние вакансийK= В этих процессах происходит рост больших пор = за счет растворения маленьких= Eявление коалесценцииFK= При росте= каждая пора выбирает себе область влиянияK=
=
=
РисK=OKNQK=Качественная картина распределения пор по размерам=
VT=
=
Для того чтобы уменьшить критический радиус=ok==необходиJ мо увеличить пересыщение вакансийK= Этого можно добитьсяI= напримерI=дополнительно облучив образецK=Изменение==критическоJ го радиуса происходит и при изменении температурыI= например за= счет изменения равновесной концентрации вакансийK=
При медленном радиационном облучении в кристалле= возникает решетка порI= обратная к решетке кристаллаI= что= обусловлено длительной коалесценцией пор и другими процессамиK=
=
O.1M. Неустойчивость однородного распределения точечных дефектов x4]
Найдем поле напряженийI= создаваемое в растворе точечных= дефектовK= Сначала запишем дилатациюI= которую дает отдельный= дефектW=
|
|
|
|
(N) |
|
WM |
d × x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ell |
= |
|
|
|
I================================EOKSTF= |
||||
|
RP |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|||
|
N N + s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где= x = |
|
|
|
I=o=–=характерный размер в задаче=Eлибо размер обJ |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
Pp N - s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
разцаI=либо среднее расстояние между дефектамиFK= |
|
|
|||||||||||
Предположим теперьI=что в образце с характерным размером=o= |
|||||||||||||
растворены дефекты с плотностью ρdK Пусть= |
ell |
=–=дилатацияI=обуJ |
|||||||||||
словленная всеми дефектамиK=ТогдаW= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ell = kde(llN) = |
QpRP |
rde(llN) |
= WMrd px |
Qd |
|||||
|
|
|
|
|
P |
|
I=====EOKS8F= |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ph |
|||
здесь=kd=–=полное количество дефектов в образцеK= |
|
|
|||||||||||
Из выражения= EOKS8FI= видноI= что при= WM |
> M получается всеJ |
||||||||||||
стороннее растяжение образцаI=а при= WM < M =–=всестороннее сжатиеK= Далее для тока дефектов имеемW==
V8=
=
r |
|
WM adrd |
Ñ skk (r ) = -adÑrd |
+ WM adrd PhÑ ekk (r ) = |
|
|||
jd = -ad |
Ñrd + |
= |
||||||
|
||||||||
|
|
|
Pkq |
|
|
Pkq |
||
æ |
|
O |
|
ö |
|
|
|
|
- QpWM |
dxrd |
Ñrd . |
|
|
||||
= -ad çN |
÷ |
|
EOKSVF |
|||||
è |
Pkq |
|
ø |
|
|
|||
Критической величиной для развития неустойчивости является=
концентрация== |
|
Pkq |
|
|
r |
G = |
K =============================EOKTMF========== |
||
QpWMOdx |
||||
|
d |
|
Если концентрация дефектов в какой-либо области кристалла=
становится равной величине= rd* I= то поток дефектов в этой области=
меняет свой знакK= Поскольку величина= = потока пропорциональна= концентрации дефектов и ее градиентуI= то с увеличением конценJ трации ρd поток дефектов также увеличиваетсяK= Таким образомI= в= рассматриваемой области кристалла начинается интенсивный рост= числа дефектов за счет притока из других областейK=
Однородное распределение является неустойчивымI= энергетиJ чески более выгодно неоднородное распределение дилатационных= дефектовK=
=
=
РисK= OKNR= Качественный вид изменение во времени конценJ траций дефектов для двух случаев W =меньше и больше критической = концентрации=
VV=
=
Поскольку процессы восходящей диффузии могут приводить к= лавинообразному росту концентрации дефектов в отдельных облаJ стях твердого телаI=то возникающие в этих локальных точках искаJ жения кристаллической структуры могут достигать величин сравниJ мых с межатомными расстояниямиI=и тогда используемая нами теоJ рия упругости становится неприменимойK=В этом случае для детальJ ного исследования процессов в реальных кристаллах необходимо= привлекать методыI= учитывающие дискретную структуру твердых= телI=напримерI=метод молекулярной динамикиK=
Тем не менееI= воспользуемся формулой= EOKTOFI= остающейся=
верной лишь в рамках теории упругостиI= и оценим величину= rd* K=
Возьмем= s = N / P I= тогда для коэффициента κ получим= x = O / Pp K= Для объема дефекта имеем==
WM » M.NwM = M.N(R ×NM-8 )P = N.OR ×NM-OP =см3 K=
ДалееI=положив температуру=qZTTКI=и= d = NMNN дин получимW==
см2
|
|
P ×N.P8 ×NM-NS × TT |
POM ×NM-NS |
|||||
rd* |
= |
|
|
|
» |
|
|
» 8 ×NMOM =см-3 K== |
8 / P ×N.RS ×NM |
-QS |
NN |
Q.O ×NM |
-PR |
||||
|
|
|
×NM |
|
|
|||
В итоге для относительной концентрации имеемW==
Сd* = rd*wM = 8 ×NMOM ×N.OR ×NM-OO = M.N K=
Такие концентрации дефектов в кристалле могут быть получены= в процессах радиационного поврежденияK=
Более точный расчетI =проведенный с помощью метода молеJ кулярной динамики для междоузельных атомовI=которые находятся в= анизотропной структуре графитаI= позволяет дать нижнюю оценку= величине критической концентрации= С d min * » M.MR K=НапомнимI=что в=
графите слияние дефектов происходит под действием дальнодейJ ствующих сил притяженияI= которые возникают между междоузлияJ миI=находящимися между одними и теми же базовыми плоскостями= графитаK= Отталкивание дефектов в разных плоскостях препятствует= росту больших междоузельных кластеровI= способных к формироваJ нию новых упорядоченных графитовых плоскостейK= В результате= взаимодействия сил притяжения и отталкивания в соседних межJ
NMM=
=