ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Окончательно получаем

Уравнения (3.1) – (3.6), полученные выше, называются дифференци-

альными уравнениями равновесия прямого бруса.

Будем считать, что функции внутренних силовых факторов Nz(z), Qх(z), Qy(z), Mx(z), Mу(z) и Mz(z) в пределах выделенного элемента dz бруса с прямолинейной осью (рис. 3.9) являются полностью дифференцируемыми и интегрируемыми. Умножим левую и правую части ранее полученного дифференциального уравнения (3.1) на dz

Возьмем определенный интеграл в границах от а до b отдельно от левой и правой части уравнения (3.7). Здесь а и b являются координатами точек, ограничивающих рассматриваемый грузовой участок:

a

Отсюда можно сделать следующий вывод: приращение продольной си-

лы Nz в пределах грузового участка равно равнодействующей осевой распределенной нагрузки qz на этом же грузовом участке. Знак «минус» пока-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

зывает, что распределенная нагрузка qz , действующая в положительном направлении оси Oz, вызывает отрицательное приращение силы Nz .

Рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия бруса для плоскости zOy (3.2) и (3.3). После выполнения преобразований получаем

Следовательно, приращение поперечной силы Qy в пределах грузового участка равно равнодействующей поперечной распределенной нагрузки qу на том

же грузовом участке. Знак «минус» указывает на то, что распределенная нагрузка, действующая в положительном направлении оси Oy, создает отрицательное приращение продольной силы Qy .

Рассмотрим частный случай, когда интенсивность распределенного изгибающего момента mx на рассматриваемом участке равна нулю:

Приращение изгибающего момента Мх в пределах грузового участка равно площади эпюры поперечных сил Qу на том же грузовом участке. При пере-

мещении сечения слева направо знак приращения момента Мх соответствует знаку суммарной площади эпюры Qу . В общем случае, когда интенсивность

же грузовом участке. Знак «минус» указывает на то, что распределенная нагрузка, действующая в положительном направлении оси Oх, создает отрицательное приращение поперечной силы Qх .

Рассмотрим частный случай, когда интенсивность распределенного изгибающего момента mу на рассматриваемом участке равна нулю:

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Приращение изгибающего момента Му в пределах грузового участка равно площади эпюры поперечных сил Qх на том же грузовом участке. При перемещении сечения слева направо знак приращения момента Му соответствует знаку суммарной площади эпюры поперечных сил Qх . В общем слу-

равно равнодействующему крутящему моменту от действия распределенных крутящих моментов mz на том же грузовом участке. Знак «минус»

указывает на то, что распределенный крутящий момент, приложенный в положительном направлении, создает отрицательное приращение крутящего момента M z .

3.7 ПРАВИЛА КОНТРОЛЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

На основании анализа ранее построенных эпюр внутренних силовых факторов (рис. 3.9), дифференциальных и интегральных уравнений равновесия бруса с прямолинейной осью можно записать следующие правила контроля эпюр ВСФ:

−в сечении, где к брусу приложена сосредоточенная осевая сила, на

эпюре продольных сил Nz имеется скачок (разрыв), равный по величине приложенной силе;

−в сечении, где к брусу приложена сосредоточенная сила, действующая в вертикальной или горизонтальной плоскостях, на эпюре попе-

речных сил Qy или Qх соответственно имеется скачок (разрыв), равный по величине приложенной силе;

−в сечении, где к брусу приложена сосредоточенная сила, действующая в вертикальной или горизонтальной плоскостях, на эпюре

изгибающих моментов Mx или Mу соответственно имеется излом, направленный в сторону действия силы;

−в сечении, где к брусу приложен сосредоточенный изгибающий момент, действующий в вертикальной или горизонтальной плоскостях,

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

на эпюре изгибающих моментов Mx или Mу соответственно имеется скачок (разрыв), равный действующему моменту;

−в сечении, где к брусу приложен сосредоточенный изгибающий момент, действующий в вертикальной или горизонтальной плоскостях,

на эпюре поперечных сил Qy или Qх соответственно скачков или раз-

рывов не наблюдается;

−на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные по-

перечные нагрузки, действующие в вертикальной (qу) или горизонтальной плоскостях (qх), эпюры поперечных сил Qy или Qх соответ-

ственно изменяются по линейному закону. Величина приращения поперечной силы на указанном участке равна равнодействующей приложенной поперечной нагрузки qу или qх.

−на участках, где на брус действуют равномерно распределенные поперечные нагрузки, действующие в вертикальной или горизонталь-

ной плоскостях, эпюры изгибающих моментов Mx или Mу соответст-

венно изменяются по квадратной параболе. Выпуклость эпюры из-

гибающих моментов на указанном участке направлена в сторону действия равномерно распределенной нагрузки qу или qх;

−если в пределах рассматриваемого грузового участка эпюры попе-

речных сил Qy или Qх пересекают нулевую линию, то под нулевой точкой на эпюрах изгибающих моментов Mx или Mу соответственно

имеется локальный экстремум;

−если в пределах некоторого грузового участка эпюра Qy или Qх постоянна и отлична от нуля, то эпюра изгибающих моментов Mx или

Mу соответственно изменятся по линейному закону;

−если в пределах некоторого грузового участка эпюра поперечных сил

Qy или Qх постоянна и равна нулю, то эпюра изгибающих моментов

Mx или Mу соответственно является постоянной;

−на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные изгибающие моменты, действующие в вертикальной или горизонталь-

ной плоскостях, эпюры изгибающих моментов Mx или Mу соответст-

венно изменяются по линейному закону. Величина приращения мо-

мента Mx или Mу на указанном участке равно равнодействующей приложенного распределенного момента тх или ту;

−на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные

продольные нагрузки, эпюра продольных сил Nz изменяется по линейному закону. Величина приращения силы Nz на указанном участке равна равнодействующей приложенной распределенной продольной нагрузки qz;

−на участках, где к брусу приложены равномерно распределенные скручивающие моменты mz, эпюра крутящих моментов Мz изменяет-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

ся по линейному закону. Величина приращения момента Мz на указанном участке равна равнодействующей приложенного распределенного момента тz.

3.8 ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ В ТОЧКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Полученная векторная величина Pν называется средним напряжением на

площадке A. Если уменьшать размеры площадки A, то в пределе получим

полное напряжение в точке тела

Полное напряжение рν также является векторной величиной. Его на-

правление и численное значение зависят от ориентации площадки и положения точки K в пределах сечения тела.

Выберем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпадало с точкой K, а направление оси z совпадало с направлением внешней нормали ν . Тогда оси х и у будут располагаться в плоскости сечения тела. Разложим вектор полного напряжения рν = рz по коор-

динатным осям (рис. 3.11). Проекция полного напряжения на направление

полного напряжения на координатную плоскость хОу. В свою очередь напряжение τz можно представить как геометрическую сумму двух состав-

ляющих τzх и τzу . Следовательно, полное напряжение равно

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

3.10ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И ДЕФОРМАЦИЯХ

Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz. Положение i точки в этой системе координат определяется радиус-

вектором ri (xi , yi ,zi ) (рис. 3.13). Рассмотрим отрезок 1 − 2 принадлежащий твердому телу. Положение каждой точки, ограничивающей указанный отрезок, характеризуется радиус-векторами r1 (x1 , y1 ,z1 ) и r2 (x2 , y2 ,z2 ).

Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек. В деформированном состоянии точки 1 и 2 займут положе-

ние 1' и 2' характеризуемые радиус-векторами r1′(x1′, y1′,z1′) и r2′(x2′ , y2′ ,z2′ ). Вектор Ri = ri′− ri называется вектором перемещений i точки. При

деформации тела точки 1 и 2 получают следующие перемещения R1 = r1′− r1 и R2 = r2′ −r2 . На рис. 3.13 показаны проекции вектора R1 на координатные

оси, которые определяют компоненты u1(х, у, z), v1(х, у, z), w1(х, у, z). Аналогичным образом можно получить перемещения точки 2.

Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации (рис. 3.14). Рассмотрим, например,

точки 1 и 2, находящиеся на достаточно расстоянии. Длина отрезка 1 − 2 в недеформированном состоянии тела обозначим s . После деформдеформации

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Для описания деформаций, связанных с изменением формы тела, рассмотрим точку 1 и две близкие к ней точки 2 и 3, расположенные в недеформированном состоянии в направлении двух взаимно ортогональных векторов s1 и s2 (рис. 3.15). Расстояния между точками обозначим через s1 и s2 соот-

ределяют деформированное состояние в точке.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

4 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ

4.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ В ПРЯМОМ СТЕРЖНЕ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Если на стержень действуют внешние нагрузки, равнодействующая которых находится на оси стержня (осевая сила), то стержень продольно деформируется, т.е. испытывает растяжение или сжатие. Из шести внутренних силовых факторов в поперечном сечении такого стержня возникает только продольная сила Nz . Продольная сила, направленная от сечения, считается

положительной и вызывает растяжение стержня. Если же продольная сила направлена к сечению, то она считается отрицательной и вызывает сжатие.

Опираясь на гипотезу плоских сечений, можно утверждать, что при осевой нагрузке все продольные волокна стержня деформируются одинаково. Следовательно, нормальные напряжения, связанные с этими деформациями, также должны быть одинаковыми и равномерно распределенными по поперечному сечению стержня, т.е. σz = const . Тогда, используя зависимость (3. ),

получаем

сжатые и растянутые стержни. Рассмотрим поперечник многоэтажного промышленного здания (рис. 4.1). На колонну среднего ряда действуют нагрузки от междуэтажных перекрытий и кровли здания. Кроме того, будем учитывать

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

вес единицы длины колонны q = const . Переходим от реальной конструкции

здания (рис. 4.1а) к расчетной схеме колонны (рис. 4.1б). Колонна имеет три грузовых участка.

Используя уравнения равновесия рассматриваемой системы, определяем опорную реакцию колонны

∑z = 0 ; R − F1 − F2 − F3 − q(l1 + l2 + l3 )= 0 ;

R = F1 + F3 + l2 ).+ q(l1+ F2 + l3

Для определения продольных сил проведем нормальные сечения в пределах каждого из участков. Отбрасывая верхние части стержня, записываем уравнения равновесия. При записи уравнений будем полагать, что продольные силы положительны, т.е. направлены от сечения. Продольные усилия равны:

− первый грузовой участок ( 0 ≤ z1 ≤l1 )

∑z = 0 ; R − qz1 + N1 = 0 ; N1 = qz1 − R ;

при z1 = 0 ; N1 = −[F1 + F2 + F3 + q(l1 + l2 + l3 )];

при z1 = l1 ; N1 = −[F1 + F2 + F3 + q(l2 + l3 )],

− второй грузовой участок (l1 ≤ z2 ≤ l2 )

∑z = 0 ; R − qz2 − F1 + N2 = 0 ; N2 = qz2 + F1 − R ; при z2 = l1 ; N2 = −[F2 + F3 + q(l2 + l3 )];

при z2 = l2 ; N2 = −(F2 + F3 + ql3 ),

− третий грузовой участок (l2 ≤ z3 ≤l3 )

∑z = 0 ; R − qz3 − F1 − F2 + N3 = 0 ; N3 = qz3 + F1 + F2 − R ;

при z3 =l2 ; N3 = −(F3 + ql3 );

при z3 =l3 ; N3 = −F3 .

По полученным значениям строим эпюру продольных сил (рис. 4.1в).

4.2ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ. ПОНЯТИЕ

ОКОЭФФИЦИЕНТЕ ПУАССОНА. ЗАКОН ГУКА

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении или сжатии призматических стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные его размеры сокращаются (рис. 4.2). При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются.