ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Из условия (8.11) можно сформулировать три вида задач при расчетах на прочность балок, работающих в условиях изгиба:

1.Проверка прочности − задана схема балки, ее поперечное сечение и действующая нагрузка, а также известен материал балки. Строится эпюра M x , по которой находят Mmax . Вычисляют Wx и по (8.11) выполняют проверку прочности балки.

2.Определение максимально допустимой нагрузки − заданы размеры балки, характер нагрузки и материал балки. Строится эпюра M x и определяется Mmax от параметра внешней нагрузки. Вычисляется

момент сопротивления Wx . Используя условие прочности (8.11) находят наибольший параметр нагрузки M x ≤Wx R.

3.Конструирование балки – определение размеров ее поперечного се-

чения. Строится эпюра M x , по которой находят Mmax . Из условия прочности (8.11) находят Wx ≥ M x R и подбираются размеры поперечного сечения балки.

8.2КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Поперечным изгибом называют такой случай деформации балки, при котором в ее поперечных сечениях возникают изгибающий момент M x и по-

перечная сила Qy . Отсюда можно сделать вывод, что при поперечном изгибе в произвольной точке K возникают не только нормальные σz , но и касательные напряжения τzy (рис. 8.4).

Рисунок 8.4 − Деформации элемента балки при поперечном изгибе

В соответствии с законом парности касательных напряжений в продольных сечениях бруса действуют напряжения τуz . Эти касательные напря-

жения вызывают сдвиги отдельных волокон балки относительно друг друга.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Вследствие сдвигов гипотеза плоских сечений нарушается и плоские до деформации сечения получают некоторое искривление.

Экспериментальные и теоретические исследования показали, что при соотношении h / l <<1 (где h − высота поперечного сечения, l − длина балки) эти искривления заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений считается условно справедливой. Поэтому для расчета нормальных напряжений σz применяют формулу (8.9), полученную для случая чистого изгиба.

Выделим бесконечно малый участок балки длиной dz (рис. 8.4), где поперечная сила Qy = const . Разрежем элемент дополнительным сечением, па-

раллельным плоскости zOx (рис. 8.5). Рассмотрим равновесие его нижней части. К левому сечению элемента приложен изгибающий момент M x , а к

правому сечению − момент M x + d M x . Следовательно, нормальные напря-

жения в правом сечении получают приращение dσ . Величина этого приращения может быть определена по формуле (8.9)

dσ = dM x y1 , J x

где y1 − координата произвольной точки K , принадлежащей нижней отсе-

ченной части элемента.

Очевидно, что равнодействующая нормальных напряжений в правом сечении больше, чем в левом сечении. Приращение растягивающей силы равно

Здесь интегрирование производится по площади отсеченной части сечения Acut , которая заштрихована на рис. 8.5.

Интеграл в выражении (8.12) представляет собой статический момент отсеченной части сечения относительно оси Ох

Чтобы равновесие нижней части элемента выполнялось, необходимо приложить к элементу дополнительную силу dТ , удерживающую нижнюю отсеченную часть от смещения вдоль оси Oz . Эта сила связана с действием

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

касательных напряжений τyz , возникающих в горизонтальном сечении. Для

большинства поперечных сечений делается допущение, что касательные напряжения τyz равномерно распределены по ширине горизонтального сечения.

где b(y) − ширина поперечного сечения в точке, где определяются касатель-

y

y

Рисунок 8.5 − Усилия и напряжения в элементе балки при поперечном изгибе

В соответствии с законом парности касательных напряжений обозначим τzy =τуz =τ . Тогда

Как следует из дифференциального уравнения равновесия (3.3)

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Впервые эту формулу для определения касательных напряжений получил русский инженер Д.И. Журавский (1821 – 1892), поэтому ее называют

формулой Журавского.

Проверка прочности балки по касательным напряжениям выполняется в сечениях, где возникает максимальная по модулю поперечная сила Qmax

где Rs − расчетное сопротивление материала.

Знак касательных напряжений соответствует знаку поперечной силы Qy в расчетном сечении балки.

8.3 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯ ПО ВЫСОТЕ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ

Рассмотрим распределение касательных напряжений для двух типов поперечных сечений.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Статический момент заштрихованной отсеченной части сечения равен

Из выражения (8.17) следует, что касательные напряжения по высоте поперечного сечения изменяются по квадратной параболе. Максимальная величина касательных напряжений возникает на оси Ох (у = 0) и равны

Касательные напряжения в крайних точках сечения (у = ± h/2) равны нулю.

Двутавровое сечение. Особенностью такого сечения является резкое изменение ширины поперечного сечения в месте перехода полки в стенку. Заменим реальное двутавровое сечение приближенным, составленным из трех прямоугольников (рис. 8.7).

Рисунок 8.7 − Касательные напряжения в двутавровом сечении балки

Проведем сечение параллельное оси Ох в точке перехода полки в стенку (точка 2). Статический момент площади верхней отсеченной части равен

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Подставляя полученное выражение в формулу (8.15), записываем следующие выражения для касательных напряжений в точке 2:

В числителе обоих выражений имеем одинаковые значения, но знаменатели будут различны. Ввиду того, что b1 >> b2 , то τ2′ >>τ2 .

При определении касательных напряжений в полке двутавра следует иметь ввиду, что в каждой ее точке возникают два касательных напряжения τzx и τzy . Касательные напряжения в полке τzy могут определяться по форму-

ле (8.16) лишь приближенно, так как допущение о равномерном распределении касательных напряжений по ширине сечения не оправдывается. Однако, эти напряжения малы и практически не влияют на прочность сечения.

Рассмотрим сечение, проведенное в пределах стенки двутаврового сечения. Статический момент площади верхней отсеченной части сечения может быть найден как сумма статических моментов двух заштрихованных площадей A1 и A2 :

Sxcut = A1 yc1 + A2 yc2 .

Эпюра касательных напряжений τzy в пределах стенки изменяется по

закону квадратной параболы. Максимальное значение касательных напряжений возникает в точках, принадлежащих нейтральному слою (рис. 8.7).

Рассмотрим горизонтальные касательные напряжения τzx . Если пред-

положить, что по толщине полки эти напряжения распределены равномерно, то для их определения можно воспользоваться формулой (8.15). При этом статический момент вычисляется как произведение площади полки до рассматриваемого волокна на расстояние до центра тяжести этой площади до нейтральной оси Sx′1 = A1′ y1′. Эпюры напряжений τzx показаны на рис. 8.7.

8.4 АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Как уже говорилось ранее, при поперечном изгибе в сечении балки возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Следовательно, в произвольной точке балки имеет место плоское напряженное состояние. В этом случае положение главных площадок и значения главных напряжений определяются по формулам (5.29) и (5.32). Введем следующие обозначения

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

σ =σz , τ =τzy . Учитывая, что продольные волокна балки не давят друг на друга, то σy = 0 . В результате получаем

Нормальные и касательные напряжения при изгибе определяются по выражениям (8.9) и (8.15)

Рисунок 8.8 − Анализ напряженного состояния в изгибаемой балке

Исследуем напряженное состояние в точках балки прямоугольного поперечного сечения, изменяя координату у (рис. 8.8). Будем считать, что поперечная сила Qy и изгибающий момент M x положительны, тогда искомые

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

По полученным значениям можно построить эпюры распределения нормальных, касательных и главных напряжений по высоте поперечного сечения балки. Эти эпюры представлены на рис. 8.8.

Далее рассмотрим траектории главных напряжений при изгибе. Как известно, так называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения, возникающего в исследуемой точке тела. Траектории главных напряжений зависят от типа нагрузки и способа опирания балки.

q

σ1σ3

Рисунок 8.9 − Траектории главных напряжений в изгибаемых балках

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

На рис. 8.9 показаны траектории главных напряжений, построенные для двух балок прямоугольного поперечного сечения (двухопорной и консольной). Траектории главных растягивающих напряжений σ1 показаны

сплошными линиями, а траектории главных сжимающих напряжений σ3 − пунктирными. По траекториям σ1 можно судить о том, где и в каком направ-

лении могут появиться трещины, если материал балки плохо работает на растяжение. При армировании изгибаемых железобетонных элементов арматуру целесообразно располагать в зонах и по направлению действия главных растягивающих напряжений. Однако это требование часто вступает в противоречие с принятой технологией изготовления железобетонных конструкций.

8.5 БАЛКИ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Обычно подбор сечения балки производят по наиболее напряженному сечению, в котором возникает экстремальное значение изгибающего момента. Следовательно, в остальных сечениях балки, где изгибающие моменты меньше, размеры поперечного сечения можно было бы уменьшить. Возникает задача о выборе рационального закона изменения размеров сечения балки. Если наибольшие нормальные напряжения во всех поперечных сечениях по-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

По условию задачи эта величина является постоянной для каждого поперечного сечения балки. Запишем выражение для нормальных напряжений в произвольном сечении, находящемся на расстоянии z от конца консоли

Рассмотрим аналогичную задачу, когда постоянной является высота прямоугольного сечения, а его ширина изменяется по некоторому закону. Размеры поперечного сечения в защемлении h и b0 .

Изгибающий момент в произвольном сечении балки равен и максимальный момент в защемлении балки определены ранее. Найдем выражение