primer_reshenia-tipovika
.pdfПример решения типового расчета
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x 3y 4z 9;2x y 2z 5;6x 7 y 2z 1.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 2;0 , |
||
|
Разложить вектор d по базису трех векторов |
a |
, b |
и c , если |
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1; 9; 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b 3; 4;1 , c |
2;5;1 , d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по векторам |
. Требуется найти: |
|||||||
|
Дано разложение векторов a |
и b |
p и q |
||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||
a |
и b ; |
||||||||||||||||||
2) косинус угла между векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 p q |
, b |
3 p q , |
p |
|
4 , |
q |
3 , |
p^ q |
3 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
|
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 3; 2;2 ; B 1; 3;1 ; C 2;0;4 ; D 6; 4;6 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
x 2 y z 3 0;
: 2x y 2z 6 0. : 3x y 3 0.
№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости .
M 1;0;1 , : 2x 4y 3 0 .
№ 7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 6;2 ; B 8;10 ; C 8;4 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F 0;2 и прямой y 6 .
39
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 26
№ 1.
1)Запишем систему уравнений в матричном виде:
1 |
3 |
4 |
x |
|
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
y |
|
5 |
|
|
|
6 7 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z |
|
|
Найдем сначала главный определитель системы:
|
3 |
4 |
|
|
|
1 |
|
||
|
2 |
1 |
2 |
2 36 56 24 14 12 44 . |
|
6 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Так как главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для нахождения решения по правилу Крамера найдем вспомогательные определители:
|
|
|
9 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
5 |
1 |
|
2 |
|
|
18 6 140 4 126 30 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
2 |
5 |
|
2 |
|
|
10 108 8 120 2 36 44 ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
2 |
|
1 |
|
5 |
|
1 90 126 54 35 6 132 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
6 |
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
x |
0 |
|
0 ; |
y |
y |
|
44 |
1; |
z |
|
|
z |
|
132 |
3 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
44 |
|
|
44 |
|
44 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: x 0 ; |
y 1; |
z 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:
40
1 |
3 |
4 |
|
x |
|
|
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
1 |
2 |
|
, |
Х y |
, |
B |
5 |
. |
|
|
6 7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
Так как определитель матрицы A отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу A 1 . Решение системы найдем по формуле: Х A 1B .
Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице A . Она находится следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A 1 |
|
|
|
|
|
A21 |
|
|
|
|
A22 |
A23 , где Aij |
─ соответствующие алгебраические |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A31 |
|
|
|
|
A32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
дополнения матрицы A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 14 12 ; |
|
|
|
|
A |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
(7 18) 11 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
(4 12) 16 ; |
|
|
A |
|
|
3 |
4 |
|
6 4 2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
14 6 20 ; |
|
|
|
|
A |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
(2 8) 10 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
(6 28) 22 ; |
|
|
|
A |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 6 7 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A |
1 |
|
|
|
|
2 24 22 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
22 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A 1 |
|
1 |
|
|
16 |
|
22 10 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
11 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
2 |
|
9 |
|
|
108 110 2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
A 1 B |
|
|
|
|
|
16 |
22 |
10 |
|
|
5 |
|
|
|
144 110 |
10 |
|
|
|
44 |
|
|
1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
20 |
11 |
7 |
|
|
44 |
|
180 55 |
7 |
|
44 |
|
132 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Х y |
, |
|
|
Х |
1 |
, значит, |
|
x 0 , |
y 1, |
|
z 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: x 0 ; |
|
|
y 1; |
z 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
3) Решим систему методом Гаусса. Первое уравнение системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым, а для получения третьего - умножим первое на 6 и сложим с третьим:
x 3y 4z 9;2x y 2z 5;6x 7 y 2z 1.
x 3y 4z 9;
7 y 10z 23;11y 22z 55.
x 3y 4z 9;
7 y 10z 23;y 2z 5.
x 3y 4z 9;
y 2z 5;
7 y 10z 23.
Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на 7 и сложим с третьим:
x 3y 4z 9; |
x 3y 4z 9; |
|
x 3y 4z 9; |
|
|
|
|
|
|
y 2z 5; |
y 2z 5; |
y 1; |
||
|
|
|
|
|
4z 12. |
|
z 3. |
|
z 3. |
Ответ: x 0 ; |
y 1; |
z 3 . |
|
|
x 0;
y 1;z 3.
№ 2.
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
и |
|
, то есть |
|
|
|
Найдем разложение вектора d |
a |
, b |
c |
|||||||
|
|
|
|
, где |
, , - неизвестные |
величины, для нахождения этих |
||||||
d |
a |
b |
c |
величин составим систему уравнений:
|
|
|
|
3 2 ; 2 4 5 ; , из условия |
|
d |
a |
b |
c |
||
|
|
|
|
|
3 2 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 5 9; |
|
5. |
|
|
||
|
d 1; 9; 5 .
Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:
3 2 1;
|
|
|
2 4 5 9; |
||
|
5. |
|
|
||
|
|
3 2 1; |
|
|
|
2 7; |
|
||
|
|
|
|
5. |
|
3 2 1;5;
2 7.
Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:
42
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1; |
|
|
1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d a |
|
2b |
|
3c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
d |
a |
2b |
3c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2 p q |
, b |
|
3 p |
q |
, |
|
p |
|
|
|
4 , |
q |
|
3 |
, p^ q |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) Одна из диагоналей параллелограмма равна |
|
|
|
|
|
, другая ─ |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a b |
|
|
a b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
b |
2 p q |
3p q |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
b |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
b |
2 p q |
3p |
|
q |
5 p 2q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
b |
|
|
5 p |
2q |
|
5 p |
2q |
|
|
5 p |
2q |
|
|
25 p 2 |
|
|
|
p |
|
|
|
q |
|
|
3 |
4q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
25 16 20 4 3 |
|
4 9 |
|
|
|
|
|
200 120 36 |
|
356 |
|
2 |
89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
4 ; |
|
|
|
|
|
89 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
b |
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Найдем косинус угла между векторами a |
и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
2 p q 3 p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 p 2 5 pq q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos a^ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
2 p q |
|
|
3 p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
2 p q |
|
|
3 p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 16 5 4 3 |
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 p |
2 5 pq |
q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 p 2 |
4 pq |
q 2 |
|
|
|
|
9 p 2 |
6 pq |
q 2 |
|
|
|
|
4 |
16 4 4 3 |
|
|
9 |
|
|
9 16 6 4 3 |
|
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96 30 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
|
|
|
|
|
|
|
135 |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
64 24 9 |
|
|
144 36 9 |
|
|
|
|
97 |
|
189 |
|
|
3 |
|
|
2134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
|
cos a^ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
и b . |
43
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
b |
2 p q |
3 p q |
6 p p 2 p q |
3q |
p q |
q |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 p q 3 p q |
|
|
p q |
|
|
p |
|
q |
sin |
|
4 |
3 |
|
|
6 |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответ: S 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4.
1) Найдем координаты векторов AB и AD ;
AB 2; 1; 1 , AD 3; 2;4
Угол между векторами находится по формуле cos AB^ AD
AB AD 2 3 1 2 1 4 6 2 4 8 .
AB AD . AB AD
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos AB^ AD |
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
||
|
AB |
|
|
|
|
|
4 1 1 |
6 , |
AD |
|
|
|
9 |
4 16 |
29 , |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
29 |
174 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: cos AB^ AD |
8 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
174 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) площадь треугольника ABC вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
ABC |
|
1 |
|
|
AB AC |
|
, |
|
|
|
AC 1;2;2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
AB AC |
2 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
2 2 j |
1 k |
4 1 5 j |
5k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S ABC |
|
|
25 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: S ABC |
5 |
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) Найдем объем пирамиды ABCD : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
mod 30 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
V |
|
AB AC AD |
|
|
mod |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: V 5 .
4) Найдем длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D :
44
|
1 |
|
|
|
|
3V |
|
|
3 5 |
|
|
|
30 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|||
V |
S |
осн h |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 . |
|||||||||||
|
Sосн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
5 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: h 32 .
5) Составим уравнение плоскости ABC :
|
x 3 |
|
y 2 |
z 2 |
|
x 3 |
y 2 |
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 3 |
3 2 |
1 2 |
0 , |
2 |
1 |
1 |
|
0 , |
|
|
2 3 |
|
0 2 |
4 2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
x 3 2 2 y 2 4 1 z 2 4 1 0 , |
||||||||||
5 y 2 5 z 2 0 , |
|
|
|
|
|
|||||
5y 5z 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
y z 0 . |
|
|
|
|
|
6) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC . Так как точка D принадлежит высоте h и высота h параллельна вектору
нормали |
|
грани |
ABC , то уравнение запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
N 0;1; 1 |
, |
|
x 6 y 4 z 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
x 6 |
|
|
y 4 |
|
z 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7) Найдем угол между ребром AD и плоскостью основания ABC . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 2 1 |
4 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD N |
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||
AD 3; 2;4 , N 0;1; 1 |
, |
|
|
|
|
sin AD^ N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 4 16 |
1 1 |
58 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD |
N |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: AD^ N arcsin |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 5. Координаты точки пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью являются решением следующей системы уравнений:
x 2 y z 3 0; |
|
x 2 y z 3; |
|
|
0; |
|
|
2x y 2z 6 |
2x y 2z 6; |
||
3x y 3 0. |
|
|
3x y 3. |
|
|
|
|
45
Решим эту систему методом Крамера:
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
2 |
|
0 12 2 3 2 0 9 , |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
6 |
|
1 |
2 |
|
|
|
0 12 6 3 6 0 9 , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
2 |
|
6 |
2 |
|
0 18 6 18 6 0 0 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
|
2 |
|
1 |
6 |
|
3 36 6 9 6 12 18 , |
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
x |
9 |
1, |
y |
y |
|
0 |
0 , |
z |
|
z |
|
18 |
2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
Таким образом, точка пересечения прямой с данной плоскостью имеет координаты 1;0; 2 .
Ответ: 1;0; 2
№ 6. Найдем точку P , симметричную точке M относительно плоскости , если
M 1;0;1 , : 2x 4y 3 0 . Составим сначала параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M перпендикулярно данной плоскости. За направляющий вектор можно взять вектор с координатами 1;2;0 :
x t 1, y 2t , z 1.
Далее найдем точку пересечения полученной прямой с данной плоскостью:
2(t 1) 4 2t 3 0 , 2t 8t 2 3 0 , 10t 5 ,
t 0,5 |
|
|
x 0,5 , |
y 1, |
z 1. |
46
Нашли точку M 0 ( 0,5;1;1) , которая является серединой отрезка PM , поэтому
x x x0 M 2 P
1 1 xP
2 2
, |
y0 |
|
yM yP |
, |
z0 |
|
zM zP |
, |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
, |
1 |
0 yP |
, |
1 |
1 zP |
, |
||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
xP 0 , |
yP 2 , |
zP 1 . |
Ответ: P 0;2;1 .
№ 7.
1)Составим уравнение высоты hA , проходящей через точку A
перпендикулярно вектору BC 16; 6 :
16 x 6 6 y 2 0 ;
16x 6y 84 0 ,
8x 3y 42 0 .
Ответ: 8x 3y 42 0 .
2)Составим уравнение стороны BC :
|
x xB |
|
|
|
y yB |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
xC xB |
|
yC yB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
y 10 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 8 |
|
4 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 8 |
|
|
|
y 10 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3x 8y 56 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найдем |
|
точку |
|
пересечения высоты hA и стороны BC , для чего решим |
|||||||||||||||||||||
следующую систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
||
8x 3y 42 0; |
|
|
|
8x 3y 42; |
|
8x 3y 42; |
|
x 6 |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
73 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
||||||
3x 8y 56 0. |
|
|
|
3x 8y 56. |
|
3x 8y 56. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
66 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
;4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
Найдем середину стороны AB : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
xA xB |
, |
|
|
y |
y A yB |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 6 8 1 , |
|
|
|
y |
2 10 |
|
6 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составим уравнение прямой проходящей через точку C 8;4 и точку 1;6 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x1 |
|
|
|
|
|
|
y y1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
C |
x |
|
|
y |
C |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 1 |
|
|
|
y 6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8 1 |
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
y 6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x 9y 52 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Найдем середину стороны AC : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
xA xC |
, |
|
|
|
y2 |
|
|
y A yC |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
6 8 7 |
, |
|
y |
2 4 |
3 . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составим уравнение прямой проходящей через точку B 8;10 |
и точку 7;3 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x2 |
|
|
|
|
y y2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
xB x2 |
|
|
|
|
|
|
|
yB y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 7 |
|
|
|
|
|
y 3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
8 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 7 |
|
|
|
|
y 3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x 15 y 94 0 .
Найдем точку пересечения найденных медиан:
2x 9 y 52 0;7x 15y 94 0.
2x 9 y 52; |
x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7x 15y 94. |
y 5 |
|
. |
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
2; 5 |
1 |
|
Ответ: |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
№ 8. Пусть точка M x, y - точка равноудаленная от точки F 0;2 и прямой y 6 . Найдем расстояние от точки M x, y до точки F 0;2 и до прямой y 6 и приравняем их:
48