ЛЕКЦИЯ 2 Плоскость
.pdfЛекция 2. Плоскость
Вопросы:
1.Способы задания плоскости на чертеже
2.Характерные положения плоскости относительно плоскостей проекций
3.Прямая и точка в плоскости
4.Главные линии в плоскости
1 Способы задания плоскости на чертеже
На эпюре плоскость может быть задана проекциями геометрических элементов, определяющих ее (рис. 18):
1)проекциями трех точек (A, В, С), не лежащих на одной прямой;
2)проекциями прямой ( EF ) и точки (D) вне ее;
3)проекциями двух пересекающихся прямых (m, n ) ;
4 проекциями двух параллельных прямых (k, l);
Кроме того, проекциями любой плоской фигуры — треугольника, квадрата, круга и т. д. Из рисунка 18 видно, что от одного способа задания плоскости путем несложных построений можно перейти к другому. Так, например, соединив точки А и В прямой линией, перейдем к способу задания плоскости проекциями прямой и точки вне её и т.д.
Рисунок 18
Более наглядно на эпюре плоскость может быть задана следами.
Следы плоскости - это прямые, по которым эта плоскость пересекается с плоскостями проекций.
На рис. 19 изображена некоторая плоскость Р в системе π2, π1, π3. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по прямым, обозначенным на чертеже Pπ2, Рπ1 и Pπ3. Э ти п рям ы е н а з ы в а ю т следа ми
п ло ско ст и Р :
Pπ2 = Р ∩ π2 — фронтальный след плоскости Р; Рπ1 = Р ∩ π1 — горизонтальный след плоскости Р; Pπ3 = Р ∩ π3 — профильный след плоскости Р.
Точки Рх, Ру, Рz — точки пересечения следов плоскости с осями называют точками схода следов.
На рис. 20 дан эпюр плоскости Р в системе π2, π1, π3.
Рисунок 19 |
Рисунок 20 |
2 Характерные положения плоскости относительно плоскостей проекций
Различают частные и общие случаи расположения плоскости относительно плоскостей проекций:
1. Плоскость общего положения - это плоскость, не перпен-
дикулярная ни к одной из плоскостей проекций (рис.19,20). Плоскость общего положения пересекает каждую из осей проекций. Следы плоскостей общего положения никогда не перпендикулярны к осям проекций.
2. Плоскости частного положения – это плоскости, перпенди-
кулярные к одной либо к двум плоскостям проекций.
Плоскости, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций называют проецирующими плоскостями.
Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций (параллельные третьей) называют плоскостями уровня.
В таблице 2 приведены различные случаи положения плоскости относительно плоскостей проекций и указано положение следов плоскости.
Таблица 2
Положе- |
Наглядное |
|
Эпюр плоскости |
|
ние |
изображение |
|
|
|
|
Заданной следами |
Заданной плоской |
||
плоскости |
|
|
||
|
|
|
фигурой |
|
|
|
|
|
|
Перпенди- |
Горизонтально-проецирующая плоскость |
|||
кулярна |
|
|
|
|
плоскости |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Pπ2 Pπ3 ОZ; горизонтальный след Рπ1 располагается произвольно. |
|||
|
|
|||
Перпенди- |
Фронтально-проецирующая плоскость |
|||
кулярна |
|
|
|
|
плоскости |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Pπ1 Pπ3 ОY; фронтальный след Рπ2 располагается произвольно. |
|||
|
|
|||
Парал- |
Профильно-проецирующая плоскость |
|||
лельна |
|
|
|
|
плоскости |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Pπ1 Pπ2 ОХ; |
профильный след Pπ3 располагается произвольно |
||
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 2
Положе- |
|
Наглядное |
|
Эпюр плоскости |
||
ние |
|
изображение |
|
|
|
|
Заданной следами |
|
Заданной плоской |
||||
плоскости |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
фигурой |
|
|
|
|
|
|
|
|
Параллельна |
|
Горизонтальная плоскость |
|
|||
плоскости |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pπ2 ОХ ; Pπ3 ОY; горизонтальный след Pπ1 отсутствует. |
||||
|
|
|
|
|||
Параллельна |
|
Фронтальная плоскость |
|
|||
плоскости |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pπ1 ОХ ; Pπ3 ОZ; |
фронтальный след Pπ2 отсутствует. |
|||
|
|
|
|
|||
Параллельна |
|
Профильная плоскость |
|
|||
плоскости |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pπ1 ОY ; Pπ2 ОZ; |
профильный след Pπ3 отсутствует. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 Прямая и точка в плоскости
|
Прямая |
принадлежит |
плоскости, |
|||
если |
она |
проходит |
через |
две |
точки, |
|
принадлежащие |
данной |
плоскости, |
или |
|||
через одну точку и параллельна какой-либо |
||||||
прямой, находящейся в этой плоскости или |
||||||
ей параллельной. |
|
|
|
|||
Для |
|
построения |
прямой, |
|||
принадлежащей плоскости, например, |
||||||
плоскости |
треугольника АВС, |
достаточно |
||||
(рис. |
21) |
взять на сторонах треугольника |
две точки – точка А (вершина треугольника) |
|
|
и точка D на стороне ВС. Прямая АD лежит |
Рисунок 21 |
|
в плоскости треугольника АВС. |
||
|
Задача.
Построить недостающую (фронтальную К2) проекцию точки К, принадлежащей плоскости Р, заданной треугольником АВС (рис. 22).
Решение:
1. Через две точки плоскости Р(АВС) (вершину А1 и заданную горизонтальную проекцию К1 точки К) проводим прямую m
(m1 ϵ Р1);
2.Строим фронтальную проекцию m2 ϵ Р2 прямой m;
3.Определяем фронтальную проекцию К2 ϵ
m2 точки К. |
Рисунок |
22 |
Таким образом, если в заданной плоскости необходимо построить |
||
точку, надо построить в этой плоскости |
прямую, а на ней |
— точку. |
Построение точки и прямой в плоскости, заданной следами аналогичны.
Чтобы построить проекции прямой, расположенной в плоскости Р (рис. 23), на горизонтальном следе Рπ1 отметим точку М (M1 ϵ Pπ1, а M2 ϵ Ox). Вторую точку N возьмем на фронтальном следе плоскости Pπ2 (N2 ϵ Pπ2, а N1 ϵ Ox). Прямая МN будет принадлежать плоскости, т.к. она проходит через две точки, принадлежащие плоскости. Точка А ϵ МN А ϵ Р.
Рисунок 23
4 Главные линии плоскости
К главным линиям плоскости относятся горизонталь (h), фронталь
(f) и линии наибольшего уклона плоскости.
Горизонталь плоскости (h) - прямая, лежащая в данной плоскости и
параллельная плоскости проекций π 1 ( п . 1 . т а бл . 3 ) . |
|
||
Фронталь плоскости (f) - |
прямая, лежащая в данной плоскости и |
||
параллельная плоскости проекций π 2 ( п . 2 . т а бл . 3 ) . |
|
||
Л и н ия на иболь ше го |
накло на |
– п р я ма я , |
ле ж а щ а я в |
п ло с ко с ти и с о с т а вля ющ а я |
н а и б ол ьш и й угол с |
п ло с ко с тью |
|
п р о е к ц и й . |
|
|
|
Линию, составляющую |
наибольший |
угол с |
горизонтальной |
плоскостью называют линией наибольшего ската плоскости (п.3 табл.3).
Таблица – 3
Наименование |
Наглядное изображение |
Эпюр |
|
|
|
1. Горизонталь h π 1
Фронтальная проекция горизонтали h2 O X ; Горизонтальная проекция горизонтали h1 Pπ1
2. Фронталь f π 2
Горизонтальная проекция фронтали f 1 O X ; Фронтальная проекция горизонтали f 2 Pπ2
Продолжение таблицы 3
Наименование |
Наглядное изображение |
Эпюр |
|
|
|
3. Линия наибольшего ската
МА – линия наибольшего ската плоскости Р; М1А1┴ Pπ1 ; М1А1┴ h1
Примеры: |
|
|
|
|
|
Пример 1. |
Построение |
горизонтали |
плоскости, |
заданной |
|
треугольником |
|
|
|
|
|
|
|
Построение горизонтали плоскости |
|||
|
|
треугольника АВС (рис. 24) начинаем с ее |
|||
|
|
фронтальной |
проекции, |
которую |
|
|
|
проводим через фронтальную проекцию |
|||
|
|
А2 |
точки А параллельно оси х. |
||
|
|
Фронтальная |
проекция |
горизонтали |
|
|
|
пересечет фронтальную проекцию В2С2 |
|||
|
|
стороны ВС в точке D2. Горизонтальная |
|||
|
|
проекция D1 |
этой точки будет лежать на |
||
|
|
В1С1. |
Горизонтальную |
проекцию |
|
|
|
горизонтали |
проводим |
через |
|
Рисунок 24 |
горизонтальные проекции А1 |
и D1 точек А |
|||
и D. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Построение фронтали |
плоскости, |
заданной |
|||
треугольником |
|
|
|
|
|
Построение |
фронтали |
плоскости треугольника АВС |
(рис. 25) |
начинаем с ее горизонтальной проекции, которую проводим через гори-
зонтальную проекцию проекцию А1 точки А параллельно оси х. Горизонтальная проекция фронтали пересечет горизонтальную проекцию В1С1 стороны ВС в точке D1. Фронтальная проекция D2 этой точки будет лежать на В2С2. Фронтальную проекцию фронтали проводим через фронтальные проекции А2 и D2 точек А и D.
Рисунок 25
Пример 3. Построение линии наибольшего ската в плоскости, заданной треугольником
Построение линии наибольшего ската треугольника АВС (рис.26) начинаем с проведения горизонтали плоскости h. Затем в плоскости π1 из
точки В1 |
опускаем перпендикуляр на |
||
линию |
h1, |
получаем B1K1– |
|
горизонтальную |
проекцию |
линии |
|
наибольшего |
ската. |
Затем |
достраиваем фронтальную проекцию линии наибольшего ската.
Рисунок 26