Основной закон теплопроводности

Закон распространения тепла путем теплопроводности впервые был установлен в 1882 г. Фурье. Согласно этому закону количество передаваемого тепла Q (в ккал) выражается уравнением

Таблица 1

При решении задачи использовать таблицы 1-4 приложений

Последняя цифра шифра	tв, C	10, м/с	Предпоследняя цифра шифра	tвозд, C	d1, мм	d2, мм
0	120	2,5	0	18	150	170
1	130	3,62,7	1	16	140	160
2	140	3,8	2	14	130	150
3	150	3,8	3	12	120	140
4	160	1,9	4	10	110	130
5	170	2,1	5	8	100	120
6	180	2,3	6	6	90	110
7	200	4,2	7	4	80	100
8	210	4,3	8	2	70	90
9	220	4,4	9	0	60	80

Задача 2

Теплопередача в бурящейся скважине при установившемся режиме

Определить коэффициент теплопередачи К_е и тепловой поток q_е при направлении от горной породы П, имеющей температуру t_П1 к нисходящему потоку жидкости с температурой t_Ж1. (см.схему на рисунке 4.) Режим стационарный. Трубы в скважине расположены концентрично. Данные для решения выбрать из таблицы 2.

где  - коэффициент теплопроводности в ккал1м*ч*⁰С; F—пло­щадь в м³;  - толщина слоя в м; t_с1 и t_c2 - температуры на поверх­ности стенки соответственно со стороны входа и выхода теплового потока в °С; - время в ч.

Из выражения видно, что коэффициент теплопроводности  представляет собой множитель пропорциональности и характери­зует способность вещества проводить тепло. Этот коэффициент выражает то количество тепла в килокалориях, которое проходит в течение 1 ч через стенку толщиной 1 м и площадью 1 м² при раз­ности температур на поверхностях 1 ⁰С.

Рисунок 2 - Распределение температуры при прохождении тепла через плоскую стенку

Каждое вещество имеет опреде­ленный коэффициент теплопроводно­сти, который находится из опытов.

Если от изменения температуры t_c1 - t_c2=t на расстоянии и пе­рейти к температурному градиенту по толщине слоя, направленному нормально к поверхности стенки

Здесь знак минус указывает на то, что с увеличением толщины стенки температура убывает.

Очень часто необходимые расчеты ведутся по отношению не ко всему количеству тепла Q, а по отношению к тепловому потоку, отнесенному к

если же Q будет отнесена к единице поверхности, то

Так как здесь могут быть приняты и внутренняя (F = F₁, d = d₁,) и внешняя (F = F₂, d_i = d₂) поверхности, то значения удельных тепловых потоков q_F1 и q_F2 будут различны. Связь между q_l, ,q_F , q_F2 может быть определена из соотношения

В практике бурения может встретиться и более сложный случай передачи тепла через цилиндрическую стенку, когда последняя со­стоит из нескольких слоев. Например, передача тепла через техническую колонну, которая после цементирования покрывается кольцом це­ментного камня определенной толщины.

Контрольная работа Задача 1

Через колонну насосно-компрессорных (НКТ) труб в пласт со скоростью ω нагнетается вода с температурой t_в. Межтрубное пространство заполнено осушенным воздухом, имеющим температуру t_воз.

Определить: коэффициенты теплоотдачи ₁ и ₂ соответственно от воды к стенке трубы в горизонтальном участке колонны НКТ и от стенки трубы к воздуху, если внутренний диаметр колонны НКТ d₁, а внешний d₂, коэффициент теплопроводности материала НКТ коэффициент теплопередачи К и тепловой потокq_е, отнесенные к одному метру длины горизонтального участка колонны НКТ.

Указание: для упрощения задачи считать межтрубное пространство неограниченным; для определения ₂ принять в первом приближении температуру наружной поверхности НКТ равной температуре воды t₂=t_в.

Данные для решения задачи выбрать из таблицы 1. Учесть, что коэффициент теплоотдачи от внешней стенки трубы ₂ складывается из конвективной составляющей теплового потока и лучистой составляющей, т.е. ₂=_к+_л.

единице площади F и единице времени , т. е. по отно­шению к удельному тепловому потоку q. В этом случае

Как видно из этого выражения, для определения удельного теплового потока необходимо знать коэффициент теплопровод­ности материала, через который передается тепло, а также темпера­турный градиент. Для нахождения этого градиента нужно знать распределение температур, что в общем случае возможно лишь в результате решения дифференциального уравнения теплопровод­ности.

Известна следующая простая схема вывода этого уравнения, основанная на том, что согласно закону сохранения энергии изме­нение теплосодержания любого элемента объема в теле за любой промежуток времени равно сумме количеств тепла, подведенного путем теплопроводности и возникшего в результате внутренних источников тепла, т. е.

где -количество тепла, затраченного на увели­чение теплосодержания тела в объемеdV за время d; Q₂ =²t dV d - количество тепла, подведенное к объему dV за время d путем теплопроводности; Q₃=q_VdVd- количество тепла, возникшее в объеме dV за время d. Здесь q_V (в ккал/м³ *r) -произ­водительность внутренних источников тепла.

Подставив эти значения в соотношение и преобразовав его, получим

где а - коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры; вм² /ч; - оператор Лапласа, представляющий собой символ, при помощи которого обозначают сумму вторых производных (в данном случае темпера­туры) по координатным осям.

Выражение является уравнением теплопроводности Фурье в дифференциальной форме. Способы его решения для различных случаев разнообразны.

Подставляя найденные величины в уравнение Фурье, найдем, что количество тепла, проходящее в единицу времени через выделенный слой, будет равно

Разделив переменные и проинтегрировав его, найдем

где с - постоянная интегрирования, которая находится из гранич­ных условий, согласно которым t=t_c1 при r=r₁, t=t_c2 при r=r₂ .

Поэтому

Подставив найденное значение с, получим

или, подставив вместо t и r соответствующие им значения t_c1 и r₁ найдем, что

Из полученного уравнения следует, что количество тепла, пере­данное через однородную стенку цилиндрической трубы в течение 1 ч, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности , длине l, температурному напору (t_c1- t_c2) и обратно пропорцио­нально натуральному логарифму отношения наружного радиуса r₂ внутреннему r₁.

Уравнение остается справедливым и для случая, если тепло­вой поток будет направлен в обратном направлении, т. е. при условии, если t_c1< t_c2.

Поэтому для более общего случая целесообразнее записать

Из этого уравнения следует, что внутри однородной цилиндриче­ской стенки температура изменяется по логарифмической кривой.

Величина Q может быть отнесена либо к единице длины, либо к единице поверхности, в результате чего будут получены различные размерности.

Так, если Q отнести к единице длины трубы l, то расчетная фор­мула примет вид:

Если процесс передачи тепла происходит только в одном напра­влении, например в направлении оси x то уравнение упрощается и принимает вид:

Если при этом процесс установившийся, т. е. , то

Если внутри объема не выделяется тепло, т. е. q_V = 0, то урав­нение упрощается:

или в цилиндрической системе координат при условии, что тепловое поле обладает осевой симметрией:

При наличии установившегося теплового режима, когда выражения и принимают вид:

и

Таким образом, если температура исследуемого пространства не изменяется во времени, то уравнение теплопроводности автома­тически переходит в уравнение Лапласа.

Решить уравнение Фурье в условиях неустановившегося режима очень трудно и возможно лишь в самых простых случаях.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

Рассмотрим теплопро­водность однородной цилиндрической стенки.

Для этого примем, что колонна труб (бу­рильная или обсадная) имеет по всей длине l одинаковые наружный d₁ и внутренний d₂ диаметры и выполнена из материала, коэф­фициент теплопроводности которого равен  и постоянен для всех ее точек. Далее примем, что внутренние источники тепла в колонне от­сутствуют, температура изменяется только в радиальном направлении и поддерживается постоянной и равной t_c1 на внутренней по­верхности трубы и t_c2 - на ее наружной поверхности; при этом t_c1> t_c2.

Рисунок 3 - Распределение температуры в однородной цилиндрической стенке

Выделим внутри стенки колонны кольцевой слой с внутренним радиусом r толщиной dr. Тогда внутренняя поверхность этого слоя по всей длине колонны будет

а температурный градиент