3.Содержание дисциплины

№ раздела дисциплины

Наименование раздела дисциплины

Лекции

Практические (Семинарские) занятия

Лабораторные работы

Семестр 1

1

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

*

*

2

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

*

*

3

Интегральное исчисление функции одной переменной.

*

*

4

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

*

*

5

Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

*

*

Семестр 2

6

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

*

*

7

Числовые и функциональные ряды.

*

*

8

Теория вероятностей, математическая статистика.

*

*

9

Основы численных методов.

*

*

№ раздела дисциплины

Раздел, подраздел, содержание

Количество часов

дневная форма обучения

заочная форма обучения

1

2

3

4

Семестр I

36 ч

1. Линейная алгебра и аналитическая

геометрия.

10 ч

1

1.1. Матрицы и определители. Матрицы и действия над ними. Определители. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица и ее нахождение.

Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

2

1

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Крамера. Метод Гаусса. Матричная запись. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Фундаментальная система решений.

2

1

1.3.Векторная алгебра. Геометрические вектора и действия над ними. Декартов базис. Координаты вектора. Проекция вектора на направленную ось. Скалярное произведение векторов. Основные свойства. Векторное и смешанное произведение векторов. Их основные свойства. Геометрический смысл векторного и смешанного произведения векторов.

2

1

1.4. Аналитическая геометрия на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола: канонические уравнения, эксцентриситет, директрисы и касательные.

2

1

1.5.Аналитическая геометрия. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Поверхности второго порядка. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конус и цилиндр второго порядка: канонические уравнения и простейшие свойства.

2

1

2

3

4

2.Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

8 ч

2

2.1. Предел функции. Функция. Область ее оп­ределения и значений. График функции. Сложные и об­ратные функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Свойства предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы функции. Замечательные пределы. Эквивалентные функции. Непрерывная функция. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

2

2

2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Таблица производных.

Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правила Лопиталя.

4

2

2.3. Формула Тейлора и исследование функции. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия монотонности функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

2

1

2

3

4

3. Интегральное исчисление функции одной переменной.

10 ч

3

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

2

3

3.2. Методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических выражений.

4

3

3.3. Определенный интеграл. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры через определенный интеграл. Вычисление объема тел. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.

4

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

4 ч

4

4.1. Частные производные. Частные производные. Дифференциал и его свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению и градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

2

4

4.2. Экстремум функции нескольких переменных. Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

2

5. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

4 ч

5

5.1. Кратные интегралы. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратных интегралах. Понятие об n-кратном интеграле.

2

5

5.2. Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Их свойства и вычисление через определенные. Формула Грина. Поверхностные интегралы, свойства и вычисление через двойные интегралы.

2

Семестр II

18 ч

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

6 ч

6

6.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения и понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2

6

6.2. Уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижения порядка. Метод вариации постоянных. Построение фундаментальной системы для уравнения второго порядка по известному частному решению. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Уравнения с правой частью специального вида. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

4

7. Числовые и функциональные ряды.

4 ч

7

7.1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда и его сумма. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами.

Признаки сходимости.

Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признак Лейбница.

2

7

7.2.Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. Ряды Фурье по ортогональным системам. Тригонометрические ряды Фурье. Лемма Римана. Сходимость рядов Фурье. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.

2

8. Теория вероятностей и математическая статистика.

6 ч

8

8.1. Вероятности случайных событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Вероятность. Классическая вероятностная схема. Элементы комбинаторики. Методы вычисления вероятностей. Условная вероятность. Независимые случайные события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.

2

8

8.2. Случайные величины. Случайные дискретные величины. Функция распределения и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной дискретной величины. Распределение Бернулли и Пуассона. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность вероятности случайной величины. Их свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерное распределение. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

2

8

8.3. Математическая статистика. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия.

Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные. Погрешность оценки. Принцип максимального правдоподобия. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии, их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки. Определение параметров нелинейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов непосредственно и с помощью линеаризующих замен переменных. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий.

2

9. Основы численных методов.

2 ч

9

9.1. Основы численных методов. Решение инженерных задач с применением компьютеров. Вычислительный эксперимент. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Приближение функций методом наименьших квадратов. Методы приближенного нахождение корней функции. Нахождение корней функций методом деления отрезка пополам, методом простых итераций, методом хорд и касательных.

Методы приближенного вычисления интегралов. Формулы трапеций, прямоугольников и Симпсона. Квадратурные формулы Гаусса.

Методы приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальная задача. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Решение краевых задач методом прогонки.

2