33)Погрешность интерполированных процессов

Погрешность интерполирования можно свести к погрешности того же порядка, которая принята в исходных данных, определяющих узлы интерполирования. Для этого необходимо процесс интерполирования вести с оценкой погрешности. Методы оценки погрешности для интерполирования с помощью степенных полиномов разработан достаточно хорошо. Процесс интерполирования весьма однообразен: при каждом вычислении все операции повторяются в строго установленном порядке - процесс имеет стройный алгоритм. Процесс интерполирования нужно вести под контролем, путем оценки возможной погрешности. 

34)Интерполирование мн-н Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x_i различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

l_j(x) обладают следующими свойствами:

• являются многочленами степени n

• l_j(x_j) = 1

• l_j(x_i) = 0 при

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j.

35)Конечные разности

Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. 

.

Величина h называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах x_i:

 .

Составим разности значений функции:

,

,

.............................................................

.

Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

Аналогично составляются разности порядка k:

.

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. 

.

36)Основная теорема алгебры

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение   (*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры . Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z  =  z ₀. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен ( z  =  z ₀ ), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n -ной степени имеет ровно n , вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

37)1-Й и 2-й интерпол. Мн-н Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_{i + 1} − x_i = h = const, то есть x_i = x₀ + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона. Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

где  — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

1-ая интерполяционная формула Ньютона

где , а выражения вида Δ^ky_i — конечные разности.

2-ая интерполяционная формула Ньютона

где