Предложенные Бернулли, Эйлером, а затем и Фурье методы разложения функций в ряды,

долгое время не связывались с какими-либо физическими процессами. Лишь в двадцатых годах прошлого была установлена прямая связь между спектральным разложением и поведением колебательных систем. Естественно, не обойтись без спектральных представлений и тем, кто хочет осознанно работать при помощи компьютерных программ со звуком.

Классический спектр

Начнем с разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Всякая периодическая функция может быть представлена в виде разложения в ряд по тригонометрическим функциям

(1)

Таким образом, периодическая функция s(t) представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть не что иное, как синусоидальное колебание с амплитудой ck и начальной фазой k.

Совокупность коэффициентов ck называется амплитудным спектром сигнала, а k - фазовым спектром.

Частоты всех синусоидальных колебаний, из которых составляется периодическая функция s(t), кратны основной частоте F = 1/T. Отдельные составляющие называются гармониками. Колебание с частотой F называется первой гармоникой (k = 1), с частотой 2F - второй гармоникой (k = 2) и т. д.

Ряд Фурье дает разложение периодической функции по тригонометрическим функциям. Это разложение можно применить и к непериодической функции, которую рассматривают как предельный случай периодической функции при неограниченном возрастании периода.

Если T®, то F ®df, а 2pk/T®w(параметр - круговая текущая частота). Опуская подробности всех математических преобразований, которые необходимо выполнить при таком предельном переходе, сразу приведу итоговые формулы - основные соотношения теории спектров. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную функцию времени s(t) и комплексную функцию частоты G(w):

(2)

(3)

Формула (2) называется интегралом Фурье в комплексной форме. В данном случае предполагается, что эта функция непериодическая, поэтому она может быть представлена только суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с бесконечно малыми амплитудами.

Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенные дискретные значения, тогда как интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой синусоид и косинусоид с непрерывной последовательностью частот. Иногда говорят, что в составе непериодического сигнала есть колебания всех частот. В случае непериодического сигнала говорить об амплитудах отдельных спектральных составляющих нет смысла, т. к. это бесконечно малые величины. На самом деле параметр G(w) выражает не непосредственно амплитуду, а так называемую спектральную плотность. Обычно эту деталь опускают и называют G(w) комплексным спектром непериодической функции, а абсолютное значение этой величины - просто спектром.

В специальной литературе можно найти теоремы, позволяющие облегчить спектральные преобразования сигналов, а также соотношения и графики, описывающие спектры сигналов различной формы.

Текущий спектр

Каноническое определение спектра основывается на преобразовании Фурье, причем интегрирование по времени выполняется в бесконечных пределах и спектр зависит только от частоты. Однако бесконечная длительность какого-либо процесса - это абстракция, не имеющая ничего общего с реальностью.

Если анализируемая функция - отображение некоторого реального физического процесса, то сведения о функции G(w) можно получить лишь в результате наблюдений и, соответственно, при вычислении спектра можно выполнить интегрирование лишь в пределах от момента начала анализа до текущего момента времени t.

Текущий спектр определяется как результат преобразования Фурье, но с переменным верхним пределом интегрирования (текущее время), поэтому является функцией не только частоты, но и времени.

В основу этих рассуждений было положено понятие периодической функции. На самом деле периодическая функция - лишь весьма полезная математическая абстракция, поскольку всякий природный процесс имеет начало и конец.

Реальный циклический процесс принято называть периодическим, если он длится достаточно долго. Мерилом длительности служит число "периодов", которое должно быть на много больше единицы. Периодичность процесса проявляется лишь с течением времени, когда прорисовываются его характерные черты. Текущий спектр и отражает это развитие процесса.

Спектр процесса (за короткий отрезок времени) однороден, так как короткий отрезок процесса - это просто короткий одиночный импульс. Если в дальнейшем происходит периодическое повторение некоторого цикла явления, то в текущем спектре начинают формироваться максимумы на основной частоте и ее гармониках. Эти пики становятся все более острыми и высокими, а значение спектральной плотности в интервалах между максимумами убывает и при t сплошной текущий спектр вырождается в линейчатый спектр периодического процесса.

Конечно, и при достаточно большой (не обязательно бесконечной) длительности процесса пики делаются настолько узкими, что их можно трактовать как линии.

Таким образом, периодический процесс - это предел, к которому может стремиться с течением времени реальный повторяющийся процесс. Аналогично и спектр (в его классическом определении) такого процесса есть предел, к которому стремится текущий спектр при увеличении времени интегрирования до бесконечности.

Проиллюстрируем сказанное примером текущего спектра синусоидального колебания.

При интегрировании в бесконечных пределах спектр синусоиды представляет собой единственную линию на частоте, равной частоте этой синусоиды (рис. 1).

Рис. 1. Спектр синусоидального сигнала при интегрировании на интервале, стремящемся к бесконечности

Но как на практике измеряется текущий спектр, например, той же синусоиды? Мы включаем анализатор спектра, а спустя какое-то время выключаем его. Получается, что измеряется не спектр бесконечного синусоидального колебания, а спектр его более или менее протяженного отрезка. Это значит, что фактически исследуется спектр прямоугольного импульса с синусоидальным заполнением. Вот почему даже для синусоидального колебания при уменьшении времени интегрирования спектральная линия расширяется, появляются боковые лепестки спектральной функции, ее нули все более удаляются друг от друга (рис. 2). Ведь именно так и должен вести себя спектр прямоугольного импульса при уменьшении его длительности.

Рис. 2. Спектр прямоугольного импульса конечной длительности с синусоидальным заполнением

Таким образом, текущий спектр в большей степени отражает свойства сигналов, проявляющиеся в реальных условиях их генерирования и обработки, нежели спектр, полученный на бесконечном временном интервале.

Мгновенный спектр

Текущий спектр - только мостик от частотного к временному описанию процесса. Представьте себе, что вы анализируете текущий спектр от начала до конца музыкального произведения, не слыша его. Вполне возможно, вы получите такой график спектральной функции, что в среднем за время анализа спектр будет выглядеть относительно широким, исходя из чего придете к следующему выводу:

произведение исполняется одновременно на нескольких инструментах. В тембре звучания одних инструментов преобладают низкочастотные, других - средне- и высокочастотные составляющие.

Потом вы выводите сигнал на акустическую систему и… оказывается, что это запись дуэта мужчины и женщины в сопровождении фортепиано. На самом деле тембр звука периодически меняется. Пока звучит баритон, в нем преобладают бархатные низкочастотные составляющие, а когда диалог продолжает сопрано, кажется, что звенит колокольчик. Но все эти нюансы оказались усреднены, сглажены, завуалированы в ходе спектрального анализа.

Для чего же нужны тогда все эти измерения спектра, если они не дают достоверной картины реального развития тембра музыкального произведения? На основе такого анализа трудно построить детальную стратегию последующей обработки фонограммы. Все дело в том, что не только спектр, вычисленный на бесконечном временном интервале, но и текущий спектр - слишком грубый инструмент в случаях анализа нестационарного процесса. Для того чтобы сблизить частотное и временное представления сигнала, было введено понятие мгновенный спектр. Мгновенный спектр - это спектр отрезка процесса длительностью T, непосредственно предшествующего данному моменту времени t.

В этом определении мы имеем дело со скользящим интегрированием: интервал интегрирования имеет постоянную длину, но перемещается по оси времени, хотя относительно текущего времени расположен неизменно.