belousova_method_2
.pdf1
Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б РАЗО В АН И Ю
В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т
Методы оп тимизации. Часть 2
Практ и ку м
По с пеци ально с т и
010501 (010200) – П ри кладная мат емат и ка и и нф о рмат и ка
В о ро неж 2005
2
У т верждено нау чно -мет о ди чес ки м с о вет о м ф аку льт ет а П М М о т 14.06.2005, про т о ко л № 6.
Со с т ави т ели : Бело у с о ва Е.П .
К о с т ру б И.Д.
П ракт и ку м по дго т о влен на каф едре нели нейных ко лебани йф аку льт ет а П М М В о ро нежс ко го го с у дарс т венно го у ни верс и т ет а. Реко менду ет с я для с т у дент о в 3- го ку рс а дневно го о т делени я.
3
П ракт и ку м напи с ан по о дно му и зраздело в ку рс а «М ет о ды о пт и ми заци и » и по с вящен нели нейно му про грамми ро вани ю в задачах, с о держащи х нес ко лько переменных с о грани чени ями и безни х. П редназначен практ и ку м для о ргани заци и ау ди т о рно й, лабо рат о рно йи с амо с т о ят ельно йрабо т ы с т у дент о в.
В каждо м параграф е при во дят с я т ео рет и чес ки е с ведени я, нео бхо ди мые для решени я с ф о рму ли ро ванных задач. П ри во дят с я о бразцы решени я задач, а т акже задани я для с амо с т о ят ельно йрабо т ы.
4
П РЕ Д В АРИ Т Е Л Ь Н Ы Е С В Е Д Е Н И Я
|
Рас с мо т ри м ф у нкци ю n |
переменных |
1 |
|
|
n ) , xзаданну,..., |
ю fx(на неко т о ро м |
|
||||||||||||||||||||
мно жес т ве |
про с т ранс т ва |
Rn . Извес т но , |
чт о |
ес ли |
|
f (x) |
ди ф ф еренци ру ема в |
|
||||||||||||||||||||
т о чке |
1 |
n ), тxо в,...эт,о йMт x(о чке с у щес т ву ют |
час т ные про и зво дные |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
1 |
|
n ) |
x |
,..., |
|
|
fx( |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
n |
,..., |
|
1 ,i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и нао бо ро т , ес ли ф у кнци я |
|
1 |
|
|
|
n ) иxмеет,..., |
часfx(т ные |
про и зво дные по |
вс ем |
|
||||||||||||||||||
аргу мент ам |
в неко т о ро й о крес т но с т и |
т о чки |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
n ) , xпри,...чем, всx,еMэтx(и |
|
||||||||||||||||||||
час т ные про и зво дные непрерывны в с амо й т о чке |
M0 , т о |
у казанная ф у нкци я |
|
|||||||||||||||||||||||||
ди ф ф еренци ру ема в т о чке M0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Г о во рят , чт о ф у нкци я |
|
f (x) |
|
и меет |
в |
т о чке |
|
M0 ло кальный макс и му м ( |
|
||||||||||||||||||
ло кальныйми ни му м), ес ли найдет с я т акая δ-о крес т но с т ь т о чки |
M0 , в пределах |
|
||||||||||||||||||||||||||
ко т о ро й значени е |
0 ) |
являетfM( |
с я |
наи бо льши м |
(наи меньши м) с реди |
вс ех |
|
|||||||||||||||||||||
значени й f (x) эт о йф у нкци и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ес ли |
ф у нкци я |
|
|
|
n ) оxбладает,..., |
|
вfx(т о чке |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
т,...ными, |
x,M x( |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
n ) часx |
||||||||||||||||||
про и зво дными перво го по рядка по |
|
вс ем переменным |
|
1 |
xx |
,и...,и меет |
в эт о й |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
т о чке |
ло кальный экс т рему м, |
|
т о |
вс е |
час т ные |
про и зво дные перво го по рядка |
|
|||||||||||||||||||||
о бращают с я в т о чке M0 |
в ну ль, т .е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂f |
|
|
= , |
|
∂f |
|
(M = |
|
|
∂f |
|
|
|
(M= . 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
) |
,..., |
|
0 |
) |
0 |
) (M |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
∂x2 |
0 |
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т о чки , в ко т о рых о бращают с я в ну ль вс е час т ные про и зво дные перво го по рядка ф у нкци и f (x) , называют с я с т аци о нарными т о чками эт о йф у нкци и .
МИ Н И МИ ЗАЦИ Я Ф У Н К ЦИ И N П Е РЕ МЕ Н Н Ы Х В ЗАД АЧЕ Б Е З О Г РАН И ЧЕ Н И Й .
К Л АС С И ЧЕ С К И Й МЕ Т О Д
|
П у с т ь ес т ь задача |
I(u) → inf, |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
u Rn . |
|
|
|
(2) |
П у с т ь u* являет с я т о чко йло кально го |
ми ни му ма ф у нкци и I : R n → R и ф у нкци я |
|||||
I(u) являет с я ди ф ф еренци ру емо йв эт о йт о чке, т .е. |
с у щес т ву ет |
I ′(u* ) , т о гда |
||||
′ |
* = 0 , где) Iu(0 – ну лево йвект о р и з Rn . |
|
|
|
||
|
Для ф о рмули ро вки |
до с т ат о чно го у с ло ви я |
безу с ло вно го |
экс т рему ма |
||
введем по нят и е вт о ро й про и зво дно й ф у нкци и n переменных. П |
у с т ь ес т ь т о чка |
|||||
u0 |
и з про с т ранс т ва Rn . |
Задади м |
неко т о ро е при ращени е |
h. |
Т о гда, ес ли |
|
при ращени е значени йф у нкци и мо жно запи с ат ь в ви де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
+ h ),- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)w+ñh 0 |
|
|
x(á ñ0+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u( I |
|
) |
|
u(I |
|
|
u(I ), h, |
h, h) A(3)u 0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
á = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где квадрат ные с ко бки о бо значают |
|
с калярно е про и зведени е вект о ро в, |
0 )-Au( |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с и ммет ри чная мат ри ца по рядка n, w |
0 |
|
) h,удо(uвлет во ряет |
|
ус ло ви ю |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
0 |
|
|
) h, |
|
(u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
т о ф у нкци я I(u) являет с я дважды ди ф ф еренци ру емо й в т о чке u0 . О бо значи м |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вт о ру ю про и зво дну ю через ′′ |
|
|
|
0 ) .Iu(Ес ли |
про и зво дная с у щес т ву ет , т о |
элемент ы |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ее выпи с ывают с я с леду ющи м о бразо м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
¶2 |
|
|
0 |
) |
|
u(I¶2 |
|
0 |
) |
|
u(I |
¶2 |
|
0 |
) |
ö u(I |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
¶u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
¶u ¶u |
2 |
|
|
¶u ¶u |
n |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¢¢ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
÷ |
... |
|
|
... |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 ) =Iu( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(I ¶2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
¶2 |
|
|
0 |
) |
|
|
|
|
0 |
) |
u(I |
¶2 |
|
0 |
) |
÷ u(I |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u |
|
|
|
|
|
|
|
¶u |
|
|
|
|
|
|
|
¶u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
n |
¶u |
1 |
|
|
|
n |
¶u |
2 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Т еорем а : ес ли |
т о чка u* R n |
являет с я с т аци о нарно йт о чко йф у нкци и |
I(u) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и в эт о й т о чке с у щес т ву ет |
вт о рая про и зво дная |
|
′′ |
* ) ,Iu(т о для т о го |
чт о бы |
u* |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
была |
т о чко й ло кально го |
ми ни му ма |
ф у нкци и |
|
I(u) |
|
|
|
до лжно |
выпо лнят ьс я |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенс т во |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
³ |
|
. 0 |
|
) Iu( |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
||||||||||
|
|
′′ |
* ) Iявляетu( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ес ли ж е |
с я по ло жи т ельно о пределенно ймат ри цей, т .е. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
* |
|
> |
|
, 0 |
|
) Iu( |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
||||||||
т о u* |
- т о чка ло кально го ми ни му ма ф у нкци и |
|
I(u). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Кри т |
ери й С и львест |
ра : для т о го, чт о б ы с и ммет ри чная мат ри ца |
′′ |
* ) Iu( |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
была |
по ло жи т ельно |
|
о пределенно й нео бхо ди мо |
и |
до с т ат о чно , |
чт о бы вс е |
ее |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
главные ми но ры были по ло жи т ельны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ес ли |
т о чка u* |
|
- |
т о чка ми ни му ма ф у нкци и |
|
I(u) |
|
и |
с у щес т ву ет |
I ′′(u* ) , |
т о |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
выпо лняют с я у с ло ви я |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
необх оди м ост |
ь: |
* = |
|
|
|
|
|
|
* |
³ |
, 0 |
|
) |
u( I, 0 |
) Iu( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
дост |
а т |
очност |
|
ь: |
|
ес ли |
|
|
в неко т о ро й |
|
|
|
т о чке |
u* |
|
|
выпо лнены |
у с ло ви я: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
* |
= |
′′ |
* |
> 0 , т)о u(u*I,- т0о чк) аu(Iми ни му ма ф у нкци и |
I(u) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
П ример1. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю |
|
|
|
|
|
|
|
2 → inf+. |
− u |
+u2= |
|
−u |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u u |
u ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 1 |
|
|
|||||||||||
П о с чи т аем |
первые про и зво дные по |
каждо й переменно й и при равняем |
и х к |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ну лю |
|
|
|
|
|
∂I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0∂I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= =, |
2- u 2u |
2 |
= 0+. 1u +u2= - |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изс и с т емы у равнени й |
|
|
|
|
|
|
|
|
-= 0 - 2 |
u |
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 +-2 +u4 2u |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
найдем с т аци о нарну ю т о чку . О на б удет |
и мет ь ви д |
|
* = |
)u. Со0, 1(с т ави м мат ри цу |
|
||||||||||||||||||||||||||
и звт о рых про и зво дных: |
¶2 |
|
|
|
|
|
|
¶2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
¶2 |
|
|
) u(I |
|
) |
u(I |
|
|
|
|
) |
u(I |
|
|
¶2 |
|
|
) u(I |
|
|
||||||||
|
|
|
|
¶u2 |
= 2, |
|
|
= -1, |
|
|
|
|
|
= -1, |
|
|
¶u2 |
= 2. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
¶u ¶u |
2 |
|
¶u |
2 |
¶u |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
П о кри т ери ю |
Си львес т ра |
о на |
|
б удет |
|
по ло жи т ельно |
о пределена, т ак как |
|
|||||||||||||||||||||||
по с ледо ват ельные главные ми но ры эт о ймат ри цы с о о т вет с т венно |
равны |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
2 = |
|
. 3 |
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т аки м о бразо м, т о чка u* являет с я т о чко йми ни му ма ф у нкци и |
I(u) и |
значени е в |
|
||||||||||||||||||||||||||||
эт о й т о чке равно |
|
|
I(u) = −1. |
|
О с т ает с я |
про вери т ь, |
како й ми ни му м |
реали зу ет |
|
||||||||||||||||||||||
т о чка u* - |
ло кальный и ли |
гло бальный. Для эт о го |
рас с мо т ри м |
про и зво льно е |
|
||||||||||||||||||||||||||
при ращени е в т о чке u* , т .е. введем в рас с мо т рени е но ву ю т о чку u по |
прави лу |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
1 |
* |
|
|
|
|
|
+ = |
2 |
) +h, =h 1(+ ) h |
u, h u u( |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
и по с чи т аем в нейзначени е целево йф у нкци и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
h |
2 |
= h h+ h -1 |
+ h- =) h +1( |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
||||||
h |
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 1( h |
2 |
|
( |
|
|
2 |
* |
|
W+, |
) |
=u(I ) |
) |
|
+ |
|
- |
- + |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Ω - неко т о рая по ло жи т ельная вели чи на. О т с юда с леду ет , чт о |
|
u* |
- эт о т о чка |
|
|||||||||||||||||||||||||||
гло бально го |
ми ни му ма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П ример2. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 →= |
.+− inf− |
u6 |
u4 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|||||||
П о с чи т аем час т ные про и зво дные перво го |
по рядка и при равняем и х кнулю |
|
||||||||||||||
|
∂ |
) u(I |
|
|
|
|
∂ |
) u(I |
2u 2 |
|
= .+0 =6− 2u |
|
|
|||
|
∂u1 |
|
1 = = ,−0 |
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст аци о нарная т о чка и меет |
ви д |
1 = |
2 = |
|
. 3Значениu u, 2 е ф у нкци и в |
эт о й т о чке |
||||||||||
равно |
* = . 5В ычи) u(Iс ли м значени я вт о рых про и зво дных ф у нкци и |
I(u) в т о чке |
||||||||||||||
по до зри т ельно йна экс т рему м. П о лу чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
¶2 |
) u(I |
¶2 |
) |
u(I |
¶2 ) |
u(I |
|
¶2 |
) u(I |
|
|
|||
|
|
¶u12 |
= 2, |
|
|
= |
|
= |
0, |
¶22 |
= -2. |
|
|
|||
|
|
|
¶u1¶u2 |
¶u2¶u1 |
|
|
||||||||||
Г лавный ми но р вт о ро го |
по рядка |
|
2 = −4. О т с юда с леду ет , чт о т о чка * = |
u)3, |
не являет с я т о чко йми ни му ма. П о дт верди м эт о . В ведем в рас с мо т рени е другу ю
т о чку |
|
= + 1 + 2 ) |
иhпо 3,с чиhuт аем2( |
в нейзначени е ми ни ми зи ру емо йф у нкци и . |
|||||
|
|||||||||
О но равно |
|
|
|
|
12 − 222 + . 5 h= |
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
1 |
2 |
1 |
u u ) u(I
2(
h + ) h+(3 6
7
П о ло жи м |
2 |
h= |
h2. |
Т о гда |
|
|
|
2 |
< +* ) =. u(I− Ес5 ли h3 h |
2 |
)=uh1 , т о |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
> |
+ |
* |
) . u(IhО=т с юда5+ = с леду- ет , чт о |
|
* |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1( |
) |
u(I |
1 |
5 |
|
) |
h 1 |
|
u |
|
- не |
являет с я |
||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то чко йло кально го ми ни му ма.
Пример3. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю
4 |
4 |
|
2 |
→ . + inf −= +) u u( |
u u ) u(I |
1 |
2 |
1 |
2 |
П о с чи т аем час т ные про и зво дные целево й ф у нкци и |
и |
|
при равняем и х к ну лю. |
|||||||||||||||||
П о лу чи м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
) u(I |
3 |
|
|
2 = |
|
|
∂ |
+=) |
) u(I |
− |
3 |
|
|
|
2 = . 0 +=) u − u( 2 |
||||
∂u1 |
|
1 |
1 |
, 0 |
|
u |
2u( 2 41u |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Н айдем о т с юда кри т и чес ки е т о чки . Их б удет т ри и о ни и меют |
с леду ющи йви д: |
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
13 |
= − − ). 1 , 1 ( |
|
u ), ,11( |
u ),u 0, 0( |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
В ычи с ли м в эт и х т о чках вт о рые час т ные про и зво дные и с о с т ави м в каждо й и з |
||||||||||||||||||||
ни х мат ри цу Я ко би : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2 |
) u(I |
2 |
¶2 |
) u(I |
|
|
¶2 |
|
|
) u(I |
|
|
¶2 |
) u(I |
2 |
|
||||
¶u12 |
= |
1 - |
; |
2 |
u |
12= |
|
|
|
|
|
= -2; |
¶u22 |
|
= |
2 - . 2 |
u 12 |
|||
¶u |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
¶u1¶u2 |
|
2¶u1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
П о с чи т аем значени е |
мат ри цы |
Я ко би в |
каждо й и з найденных т о чек. |
О ни |
||||||||||||||||
с о о т вет с т венно равны |
|
|
|
æ- 2 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A |
= |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
) 0,(0 |
ç |
|
- 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
è- 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у ко т о ро йпервыйглавныйми но р о т ри цат ельныйи равный-2, а вт о ро йглавный |
|
|||||||||||||||||
ми но р – ну лево й. Рас с мо т ри м по ведени е целево йф у нкци и |
в о крес т но с т и |
т о чки |
|
|||||||||||||||
(0,0). |
В о зьмем две други е т о чки |
u = (h,−h) , |
|
u = (h,h) |
и |
по с чи т аем |
в ни х |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значени я ф у нкци и . О ни равны |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
2 4 |
2 |
< 0 |
2 |
4 |
h( =h2 |
−h4 |
|||
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
) u(I |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(I, 0 |
|
|
|
|
. −) 2 |
|
|||||||
О т с юда с леду ет , чт о т о чка (0,0) не являет с я т о чко йэкс т рему ма. М ат ри ца Я ко би |
|
|||||||||||||||||
в т о чке (1,1) и меет ви д |
|
|
æ |
- 2 |
ö |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= ç |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
),1(1 |
ç |
-10 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
è- 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О ба |
по с ледо ват ельных главных |
|
ми но ра |
по ло жи т ельны. Следо ват ельно , |
|
|||||||||||||
и с с леду емая т о чка являет с я т о чко й экс т рему ма. |
В ычи с ли м |
мат ри цу Я ко би в |
|
|||||||||||||||
по с леднейт о чке. О на равна |
|
|
|
|
- 2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
|
|
æ |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
− |
= ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 1( , 1ç |
- 2 |
10 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
О чеви дно , чт о т о чки (1,1) и (-1,-1) |
являют с я т о чками |
ло кально го |
ми ни му ма. |
|
||||||||||||||
П о с чи т аем в ни х значени е целево йф у нкци и . О но |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
4u
=h2=
* |
2 |
− =. 2 )−= 2(+ 1 1 ) u(I |
|
8
За да ни я для са м ост оят ельной ра бот ы
Н айт и вс е значени я парамет ра k, при ко т о рых т о чка (1,0) являет с я т о чко й экс т рему ма для ф ункци и
3 |
u |
2 |
2 |
a − 3 |
- e u k ) u(I |
+ |
u+ bu 2- |
+-kcu+ |
|
|
|
1 |
|
u ln+=( a k |
1 |
||||||
|
|
|
a |
|
|
2 |
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при у с ло ви ях: а) а=-2, |
|
b=2, с =8; б ) а=3/2, b=-1/2, c=-3/2. |
|
|
|
|
|
|
ЗАД АЧА Н А У С Л О В Н Ы Й Э К С Т РЕ МУ М Ф У Н К ЦИ И |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Н Е С К О Л Ь К И ХП Е РЕ МЕ Н Н Ы Х. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
МЕ Т О Д МН О Ж |
И Т Е Л Е Й Л АГ РАН Ж А |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
П редпо ло жи м, |
чт о |
по с т авлена задача о б |
о т ыс кани и |
ми ни му ма ф у нкци и |
|
|
|||||||||||||||||||
I(u) при |
у с ло ви и , чт о |
|
u при ни мает значени я в неко т о ро м мно жес т ве |
U Ì Rn , |
|
|
|||||||||||||||||||
т .е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(u) → inf, |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u Î U Ì Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|||
Здес ь мно жес т во |
U мо жет |
задават ьс я разли чными с по с о бами . Н апри мер, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
n |
i |
|
|
= |
|
= }, s |
,...=, |
Î1 i, 0 |
) u( |
g|(8)UR |
u |
|
||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
|
|
n i |
i |
.s |
,..., |
1 |
i |
), |
u |
|
,..., |
u( g |
)gu( |
|
|
|
|
|
||||
Для решени я задачи (6)-(8) надо выпи с ат ь ф у нкци ю Л агранжа |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
+ ). |
u(l g= |
l) lu(I l |
|
)(9)u, |
,..., |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ål |
|
||||||||
Т еорем а : пу с т ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i |
i |
0 |
n |
0 |
1 |
|
|
|
|||||||
u* |
- |
т о чка ло кально го |
ми ни му ма в задаче (6)-(8) |
и в |
|
|
|||||||||||||||||||
о крес т но с т и |
эт о й т о чки |
ф у нкци и |
I(u) и |
|
i |
= |
s являют,..., 1с яi непрерывно),gu( |
|
|
||||||||||||||||
ди ф ф еренци ру емыми , т о гда и меют |
мес т о |
с леду ющи е с о о т но шени я: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) |
с у щес т ву ет |
набо р ко нс т ант |
*0 , |
*1,...,l*slт акиl х, чт о |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
¹| 0 ,| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å l*i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) l*0 |
¢ |
|
+ |
¢i |
|
l*i |
= 0 , |
) |
u( |
g |
) |
Iu( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
* |
å |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
l*0 ¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
для |
|
т о го , |
|
чт о бы |
|
до с т ат о чно , |
чт о бы |
вект о ры |
|
|
|||||||||||||
′ |
|
* |
′ |
|
* |
|
|
′ |
* ) |
былиu( gли нейно),..., |
незавиu( |
gс и),мыg u(. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1u |
|
2u |
|
|
s u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
С П О С О Б РЕ Ш |
|
Е Н И Я ЗАД АЧИ Н А У С Л О В Н Ы Й |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э К С Т РЕ МУ М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
П о |
и с хо дно йзадаче (6)-(8) нео бхо ди мо выпи с ат ь ф у нкци ю Л агранжа. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
В ыпи с ат ь с и с т ему у равнени й. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
ì¶L |
|
=l0 |
l)(u, |
, |
|
ï |
¶u |
0 |
|||
|
. |
|
(10) |
||
í |
¶L |
|
|
||
ï |
¶u |
0 |
=l0 |
l)(u, |
, |
î |
|
|
|
|
3. |
Рас с мо т рев |
о т дельно |
два |
с лу чая: |
λ*0 = 1(ес ли задача |
на |
ми ни му м), |
||
|
*0 λ−1=(ес ли задача на макс и му м) и |
λ*0 = 0 , найт и вс е |
с т аци о нарные |
||||||
|
т о чки задачи (6)-(8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
П ро ведя |
до по лни т ельные |
и с с ледо вани я, |
у с т ано ви т ь, |
каки е |
и з |
|||
|
с т аци о нарных т о чек |
являют с я т о чками |
ло кально го |
ми ни му ма |
и |
||||
|
ло кально го |
макс и му ма для задачи (6)-(8) и ли до казат ь, чт о |
решени я нет . |
Для задачс о грани чени ями т и па равенс т в, мо жно не о бращат ь вни мани е на т и п экс т рему ма и , у беди вши с ь, чт о l0 ¹ 0 , по лагат ь l0 равным любо й
ко нс т ант е.
П ример1. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю
при о грани чени и |
|
|
|
= |
1 + |
|
|
2 → inf |
|
u3 |
u4 |
) u(I |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
12 + |
|
22 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
.u1 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Со с т ави м ф у нкци ю Л агранжа. В |
данно м с лу чае о на и меет |
ви д |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 − )1. + |
u |
λ +u( |
2 |
)+ u3 λu4(= |
)λ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
01 |
1 |
|
||
П о с чи т аем час т ные |
про и зво дные о т |
эт о й |
ф у нкци и |
по |
с о о т вет с т ву ющи м |
|
|
||||||||||||||||
переменным: |
|
∂L |
|
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= λ +4; |
|
|
|
λ +=3. λu 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂u1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∂u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Со с т ави м с и с т ему ви да (10), при пи с ав в нее о грани чени е и зу с ло ви я задачи |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ì |
l |
+ |
|
|
l |
1 |
= 0 4 |
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ï |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 =1 0 3λu + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
í |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ï |
2 |
+ |
|
|
|
2 |
= |
. u1 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П редпо ло жи м с начала, чт о λ0 = 0. Изс и с т емы с разу с леду ет , чт о |
λ1 = 0 . Э т о |
|
|
||||||||||||||||||||
нас не у с т раи вает . |
П о эт о му |
б у дем |
с чи т ат ь, |
|
чт о |
|
l0 =1. |
Т о гда |
с и с т ема |
|
|
||||||||||||
при о брет ает ви д |
|
|
|
|
+ |
l1 |
1 = 0 |
4u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
2 = 0+ |
.l3u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
í |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ï |
2 |
+ |
|
2 |
=u1 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
î |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т с юда |
u1 = - |
|
2 |
|
|
, u2 = - |
3 |
|
. П о дс т авляя и х в т рет ье уравнени е с и с т емы, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2l1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
нахо ди м |
мно жи т ель Л агранжа и з у равнени я |
|
|
|
+ |
|
=1. |
О н |
при ни мает |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
4l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
два значени я |
|
|
1 |
|
|
l± = . |
|
Ес ли |
|
|
1 |
l- |
= |
, |
|
т о |
|
|
|
т о чка |
|
по до зри т ельная |
на |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
экс т рему м и меет |
|
ви д |
uˆ 1* = |
|
,uˆ *2 = |
|
. Значени е ф у нкци и |
в эт о й т о чке равно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I(uˆ |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~* |
|
|
|
|
~* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
)=5. Ес ли |
|
l1 = |
|
|
, т о |
u1 |
|
|
|
|
,u2 |
|
- |
= |
.Значени= - е ф у нкци и |
в эт о й т о чке |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
I(~* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
равно |
|
= − . 5Расu с)мо т ри м |
по ведени е ф у нкци и |
|
I(u) |
вбли зи |
т о чки |
uˆ *. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
П у с т ь u |
( |
4 |
|
|
h |
|
, |
|
3 |
|
|
+ h= ) при+ надлежи т |
|
мно жес т ву U. П |
о дс т ави м ее в наше |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
о грани чени е |
( |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
( |
3 |
h ) 2 |
|
|
2 = |
. 1+hО+т)с юда+ |
|
|
легко |
|
|
|
замет и т ь, |
чт о |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
) |
|
|
h3 |
|
|
|
h4(2 |
+ +2 ). |
|
|
-Пh=о дс(hт ави м |
|
|
т о чку |
|
|
u |
|
в |
целеву ю |
ф у нкци ю. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
П о лу чи м |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Iuˆ |
* |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
5h£) (Iuˆ |
* |
+)). |
h (h- |
= |
+ |
|||||||||||
|
|
|
|
( |
4 |
|
|
) u(I |
|
|
|
|
|
|
|
( |
3h ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
h3 |
|
|
h4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следо ват ельно , т о чка uˆ * до с т авляет наи бо льшее значени е ф у нкци и . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
П ример2. М и ни ми зи ро ват ь ф у нкци ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
→= inf,+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
) u(I |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при о грани чени и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
2 = |
. 1 |
|
|
|
u4 |
|
3u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Со с т ави м ф у нкци ю Л агранжа для по с т авленно йзадачи . О на и меет |
|
ви д |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
|
2 |
|
01 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
− ). |
1 |
1+ |
u4 λ +u3( |
+ ) |
u λ =u( |
λ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ч ас т ные про и зво дные с о о т вет с т венно |
|
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
;+ =32 l u |
|
|
|
|
|
|
|
l |
. + =42 l u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Со с т ави м с и с т ему у равнени йдля нахо ждени я с т аци о нарных т о чеки |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
парамет ро в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì l |
|
|
+ |
l |
|
= 0 |
|
|
|
32 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=l0l. |
|
+ 42 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
1 + |
|
2 =1 |
|
|
u4 |
|
|
|
3u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ес ли |
λ0 = 0 , т о |
|
о чеви дно |
|
|
чт о |
λ1 = 0 . Э т о |
решени е нас |
не у с т раи вает . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
П |
о эт о му б у дем по лагат ь λ0 =1. В эт о м с лучае с и с т ема при о брет ает |
ви д |
|
|