Упражнение 6. Разложение выражений на правильные дроби.

Используется команда Символика – Переменная – Разложить на элементарные дроби.

Исходное выражение Результат операции

(x-a)·(x-b)·(x-c) x³+(-a-b-c)·x²+[a·b-(-a-b)·c]·x-a·b·с

(x-a)⁴ x⁴-4·a·x³+6·a²·x²-4·a³·x+a⁴

(x-a-b)² x²+(-2·a-2·b)·x+(-a-b)²

-+-

+ +

Упражнение 7. Матричные операции.

Команды Символика – Матрица предназначены для проведения в символьном виде трех наиболее распространенных матричных операций: транспонирование матриц, создание обратных матриц, вычисление определителя матриц. Эти команды в подменю Матрица меню Символика обозначены: Переместить (транспонировать), Инверсировать (обратить), Детерминант (определитель).

Транспонирование матрицы – это перестановка строк и столбцов. Подлежащая транспонированию матрица должна быть выделена.

Обращение матрицы – это создание такой матрицы А^-1, которая при умножении на исходную матрицу А дает единичную матрицу. Обращение допустимо только для квадратных матриц.

Транспонирование матрицы

Исходное выражение Результат операции

Обращение матрицы

Исходное выражение Результат операции

·

Вычисление детерминанта матрицы

Исходное выражение Результат операции

a·d-b·c

-14

Упражнение 8. Интегральные преобразования Фурье.

Преобразования Фурье лежат в основе спектрального анализа и синтеза сигналов.

Прямое преобразование Фурье позволяет получить в аналитическом виде функцию частоты F(ω), если задана временная функция f(t) по формуле:

F(ω) = .

Обратное преобразование Фурье задается следующей формулой:

f(t) = .

Для прямого преобразования Фурье используется команда Трансформация – Фурье меню Символика. Для обратного преобразования Фурье используется команда Трансформация – Инверсная Фурье (обратное преобразование Фурье) меню Символика.

Для выполнения команд преобразования Фурье следует записать исходное выражение и выделить в нем переменную, относительно которой будет проводиться преобразование.

Исходное выражение Результат операции

a·t (прямое преобразование Фурье) 2·1i·π·a·Dirac(1,ω)

2·1i·π·a·Dirac(1,ω) (обратное преобразование) a·t

t + 2 (прямое преобразование Фурье) 2·i·π·Dirac(1,ω)+4·π·Dirac(ω)

2·i·π·Dirac(1,ω)+4·π·Dirac(ω) (обратное преобразование) t+2

Упражнение 9. Интегральные преобразования Лапласа.

Интегральные преобразования Лапласа применяются для решения линейных дифференциальных уравнений. В этих преобразованиях используется оператор Лапласа, который обозначается s = iω ( иногда р). Оператор Лапласа позволяет переходить от уравнений с комплексными величинами к уравнениям с действительными величинами. Для выполнения этих преобразований служат команды Трансформация – Лапласа и Трансформация – Инверсная Лапласа меню Символика.

Прямое преобразование Лапласа позволяет по известной временной функции f(t) найти передаточную функцию F(s) по формуле:

F(s) = .

Обратное преобразование Лапласа позволяет по передаточной функции F(s) найти временную функцию f(t) по формуле:

f(t) =

Выражение F(s) должно иметь особенности слева от линии Re(s) = s.

Исходное выражение Результат операции

1 - exp(-(прямое преобразование)

(обратное преобразование)

Результат обратного преобразования не всегда приводит к первоначальному результату.

1 - t (прямое преобразование)

(обратное преобразование) 1 - t