Funk_metoda_part_2

Якщо вважати функцiю x(t) знайденою, то iнтеграли

¹ деякими сталими. Тобто, при даному фiксованому λ 6= 0 функцiю x(t) доцiльно шукати у виглядi

x(t) = α sin t + β cos t, α, β R.

Пiсля пiдстановки ¨¨ в рiвняння Ax = λx, ìà¹ìî

λα sin t + λβ cos t = βπ sin t + απ cos t, t [−π; π].

Функцi¨ sin t i cos t ¹ лiнiйно незалежними в просторi C[−π;π], òîìó

λα − πβ = 0, πα − λβ = 0.

Ця система ма¹ нетривiальний розв'язок тодi i лише тодi, коли визначник = −λ2 + π2 = 0. Çâiäêè λ1 = −π, λ2 = π. ßêùî

λ = λ1 = −π, òî α = −β i власному значенню λ1 = −π вiдповiда¹ функцiя

x(t) = α (sin t − cos t) .

У випадку λ = λ2 = π власному значенню вiдповiда¹ власна функцiя

x(t) = α (sin t + cos t) .

Лишилося розглянути випадок λ = 0. В цьому випадку треба знайти нетривiальну функцiю x(t), яка б задовольняла рiвнянню

Тобто власними функцiями, що вiдповiдають власному значенню λ = λ3 = 0, будуть усi неперервнi функцi¨, якi ортогональнi

функцiям sin t òà cos t. Як вiдомо, такими функцiям ¹

x(t) = sin nt, x(t) = cos nt, n = 0, 2, 3, ... .

41

Приклад 2. Знайдiть власнi значення i власнi вектори опера-

òîðà A : L2[0;1] → L2[0;1],

Z 1

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,

0

Ax(t) = λx(t),

äëÿ x(t) L2[0;1], x(t) 6≡0. Враховуючи конкретний вигляд оператора A, приходимо до рiвняння

s(1 − t)x(s)ds + t(1 − s)x(s)ds = λx(t).

Злiва в рiвняннi сто¨ть диференцiйована функцiя, отже функцiя x(t) ма¹ похiдну. Продиференцю¹мо рiвнiсть

s(1 − t)x(s)ds + t(1 − s)x(s)ds = λx(t).

Ìà¹ìî

Z t Z 1

(−s)x(s)ds + t(1 − t)x(t) + (1 − s)x(s)ds − t(1 − t)x(t) =

0 t

= λx0(t).

Лiва частина останньо¨ рiвностi також ма¹ похiдну, а тому iсну¹

x00(t) i

λx00(t) = −x(t).

Звiдси виплива¹, що λ = 0 не ¹ власним значенням оператора A. Розв'язуючи для довiльних λ 6= 0 диференцiальне рiвняння

λx00(t) + x(t) = 0

42

i враховуючи, що

отрима¹мо власнi функцi¨ та вiдповiднi ¨м власнi значення:

9.2Вправи

1.Нехай A : X → X лiнiйний оператор, для якого iсну¹ опе-

ратор A−1. Доведiть, що цi оператори мають однi й тi ж власнi вектори.

2.Нехай A : X → X лiнiйний оператор i A2 ма¹ власний вектор. Доведiть, що A теж ма¹ власний вектор.

3.В дiйсному лiнiйному просторi C[−π;π] знайдiть власнi зна- чення i власнi вектори оператора:

(a) Ax(t) = x(−t);

Zπ

(b)Ax(t) = cos(s + t)x(s)ds.

−π

4. В дiйсному лiнiйному просторi C[0;π] знайдiть власнi зна-

чення i власнi вектори оператора Ax(t) = d2x

dt2 з областью

визначення DA, ÿêùî

5. Знайдiть власнi значення i власнi функцi¨ оператора зсуву Ax(t) = x(t + 1), що дi¹ в просторi C(−∞, ∞).

6.Доведiть, що оператор i його резольвента комутують.

7.Нехай лiнiйний оператор A : X → X. Чи може оператор Rλ(A) бути цiлком неперервним?

43

8.В просторi C[0;1] розглянемо оператор Ax(t) = tx(t). Доведiть, що σ(A) = [0; 1] i жодна точка спектру не ¹ власним значенням оператора A.

9.В просторi C[0;1] розглянемо оператор Ax(t) = x(0) + tx(1). Знайдiть спектр σ(A), спектральний радiус r(A) i резольвенту Rλ(A).

10.В просторi C[0;1] розглянемо оператор

Z t

Ax(t) = x(s)ds.

0

Знайдiть спектр оператора σ(A) i резольвенту Rλ(A). 11. Знайдiть спектр оператора A : L2[0;1] → L2[0;1]

Ax(t) = a(t)x(t), a(t) L∞[0;1].

12.Нехай оператори A òà B належать простору L(X), äå X банахiв простiр i AB = BA. Доведiть, що r(AB) ≤ r(A)r(B).

13.Нехай M - ненульовий пiдпростiр гiльбертового простору H. Знайдiть спектр оператора P ортогонального проектування на M.

14.Доведiть, що оператор A : L2[0;1] → L2[0;1], Ax(t) = tx(t) ¹ самоспряженим, i знайдiть його спектр.

15.Розглянемо оператор A : L2[0;1] → L2[0;1],

Z 1

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,

Доведiть, що A цiлком неперервний самоспряжений оператор. Знайдiть власнi значення i власнi вектори оператора

A.

16.Доведiть, що власнi вектори самоспряженого оператора, якi вiдповiдають рiзним значенням, ¹ ортогональними.

44

Список лiтератури

1.Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. К.: Выща шк., 1990.

2.Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

3.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

4.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977

5.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

6.Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.М.: Гостехиздат, 1957.

7.Ðèññ Ô., Секефальви-надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

8.Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

9.Садовничий В.А. Теория операторов. М.: èçä-âî Ìîñê. óíòà, 1986.

10.Антоневич А.Б., Князьев П.Н., Радыно Я.В., Задачи и упражнения по функциональному анализу. - Минск.: Вышэйш. шк., 1978.

11.Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969.

12.Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Методы решения задач по функциональному анализу. К.: Выща шк., 1990

45

13.Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.

14.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.

46

Склали: Вартанян Григорiй Михайлович, Неча¹в Анатолiй Петрович, Малаксiано Микола Олександрович, Леончик вген Юрiйович

МЕТОДИЧНI ВКАЗIВКИ ДО КУРСУ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО АНАЛIЗУ

Функцiонали. Оператори.

Для студентiв факультету математики

47