Funk_metoda_part_2

6.Нехай f лiнiйний функцiонал, визначений на лiнiйному нормованому просторi X, причому для будь-яко¨ послiдов-

íîñòi xn X òàêî¨, ùî xn → 0, êîëè n → ∞, множина

{f(xn)}∞n=1 обмежена. Доведiть, що функцiонал f обмеже- íèé.

7.Нехай лiнiйний функцiонал f, визначений на дiйсному лiнiйному нормованому просторi X, ¹ необмеженим. Довести, що

âбудь-якому околi нуля вiн прийма¹ всi дiйснi значення.

8.Довести, що лiнiйний функцiонал f в лiнiйному нормованому просторi X неперервний тодi i тiльки тодi, коли його ядро kerf = {x X|f(x) = 0} замкнено в X.

9.Нехай X лiнiйний нормований простiр, f X , f 6≡0. Довести, що X = kerf M, äå M одновимiрний пiдпростiр.

10.Довести, що якщо два неперервнi лiнiйнi функцiонали визначенi на одному i тому ж лiнiйному просторi i ¨х ядра збiгаються, то вони пропорцiйнi.

11.Довести, що неперервний лiнiйний функцiонал f(x) = x(0)

âпросторi C[−1;1] не зобража¹ться у виглядi

Z 1

f(x) = x(t)g(t)dt,

−1

äå g(t) неперервна на [−1; 1] функцiя. Знайдiть таку функцiю g(t) з обмеженою варiацi¹ю на [−1; 1], ùî

Z 1

f(x) = x(t)dg(t).

−1

12. Для будь-яко¨ функцi¨ x(t) C[−1;1] покладемо

f(x) = Z 1 tnx(t)dt + 1 (x(−1) + x(1)) , n N.

−1 2

(a) Доведiть, що f обмежений лiнiйний функцiонал на C[−1;1] i знайдiть його норму.

11

(b) Знайдiть таку функцiю g(t) з обмеженою варiацi¹ю на

[−1; 1], ùî

Z 1

f(x) = x(t)dg(t).

−1

2Продовження функцiоналiв, теорема Хана - Банаха

2.1Основнi означення

Означення1. Нехай X дiйсний лiнiйний простiр i L деякий його лiнiйний пiдпростiр. Розглянемо деякий функцiонал f0, визначений на пiдпросторi L. Лiнiйний функцiонал f, визначений на всьому просторi X, назива¹ться продовженням функцiоналу f0, ÿêùî f(x) = f0(x) äëÿ áóäü-ÿêèõ x L.

Теорема 1 (Хана - Банаха). Нехай

го лiнiйного нормованого простору X i f0 лiнiйний обмежений функцiонал, визначений на L. Тодi iсну¹ визначений на всьому

X лiнiйний обмежений функцiонал f такий, що ||f0|| = ||f|| i äëÿ будь-якого x L.

Наслiдок. Нехай x0 X, x0 6= 0. Тодi iсну¹ такий функцiонал

f, ùî ||f|| = 1 i f(x0) = ||x0||.

Приклад 1. В просторi R2

L = {x = (x1, x2) R2 : 2x1 − x2 = 0}

визначено лiнiйний функцiонал f(x) = x1. Доведiть, що iсну¹ ¹дине продовження f на весь простiр R2 зi збереженням норми.

Знайдiть це продовження.

Розв'язок. Нехай x L = {x = (x1, x2) R2 : 2x1 − x2 = 0}. Знайдемо ||x||:

p p √

||x|| = (x1)2 + (x2)2 = (x1)2 + (2x1)2 = |x1| 5, x L.

Òîäi äëÿ x L

1

|f(x)| = |x1| = √ ||x||.

5

12

Îòæå, ||f|| = 1

√

5 .

Як вiдомо, будь-який обмежений лiнiйний функцiонал g íà R2 ма¹ вигляд

g(x) = ax1 + bx2, x = (x1, x2) R2, a, b R,

√

при цьому ||g|| = a2 + b2.

Таким чином, склада¹мо систему рiвнянь:

Iтак, шуканий функцiонал ма¹ вигляд

2.2Вправи

1.В просторi R2 на пiдпросторi

L = {x = (x1, x2) R2 : x1 + 3x2 = 0}

визначено лiнiйний функцiонал f(x) = 2x1. Доведiть, що iс- ну¹ ¹дине продовження f на весь простiр R2 зi збереженням норми. Знайдiть це продовження.

2. В просторi R3 на пiдпросторi

L = {x = (x1, x2, x3) R3 : x1 − 2x2 + x3 = 0}

визначено лiнiйний функцiонал f(x) = x3. Доведiть, що iс- ну¹ ¹дине продовження f на весь простiр R3 зi збереженням норми. Знайдiть це продовження.

13

3. В просторi R3 на пiдпросторi

L = {x = (x1, x2, x3) R3 : x1 − x2 = 0}

визначено лiнiйний функцiонал f(x) = x1 −x3. Доведiть, що iсну¹ ¹дине продовження f на весь простiр R3 зi збережен- ням норми. Знайдiть це продовження.

4.Нехай x0(t) C[0;1]. Розглянемо в просторi C[0;1] одновимiрний пiдпростiр L = {λx0(t)}, äå λ R. Визначимо в L функцiонал f ðiâíiñòþ f(x) = λ, ÿêùî x(t) = λx0(t). Доведiть, що ||f|| = 1. Чи однозначно продовжу¹ться цей функцiонал зi збереженням норми на весь простiр C[0;1], ÿêùî:

a)x0(t) = t; b) x0(t) = 1 − 2t?

5.Нехай X лiнiйний нормований простiр, x X. Довести,

ùî

6.Довести, що якщо лiнiйний нормований простiр X íåñêií- ченновимiрний, то простiр X також нескiнченновимiрний.

3Обмеженi лiнiйнi оператори

3.1Основнi означення

Означення 1. Нехай X è Y нормованi простори над по-

лем дiйсних (комплексних) чисел. Вiдображення A : X → Y назива¹ться лiнiйним оператором, якщо для будь-яких елементiв

x1, x2 X и будь-яких дiйсних (комплексних) чисел α è β викону¹ться рiвнiсть

A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2.

Означення 2. Оператор A назива¹ться неперервним в точцi x0 X, якщо для будь-якого околу V (y0) точки y0 = Ax0 iñíó¹ такий окiл U(x0) точки x0, ùî y = Ax V (y0) ÿê òiëüêè x U(x0)

14

Як вiдомо, якщо лiнiйний оператор неперервний в якiсь однiй точцi, то вiн ¹ неперервним в кожнiй точцi областi визначення.

Означення 3. Лiнiйний оператор A : X → Y назива¹ться

обмеженим, якщо iсну¹ число C таке, що для будь-якого x X викону¹ться нерiвнiсть

||Ax||Y ≤ C||x||X .

Означення 4. Найменша з констант C, для яко¨ викону¹ться нерiвнiсть

||Ax||Y ≤ C||x||X , x X,

назива¹ться нормою оператора A i познача¹ться ||A||.

Як вiдомо, лiнiйний оператор ¹ неперервним тодi i лише тодi, коли вiн обмежений.

Нехай L (X, Y ) множина лiнiйних обмежених операторiв, визначених на лiнiйному нормованому просторi X iз значеннями в лiнiйному нормованому просторi Y . Якщо покласти

(A + B) x = Ax + Bx, (λA) x = λ (Ax) ,

то множина L (X, Y ) перетворю¹ться на лiнiйний нормований

простiр. Якщо X = Y , то цю множину позначають коротко L(X).

Приклад 1. Оператор

Z t

Ax(t) = x(s)ds + x(t)

0

15

Z t Z 1

≤ |x(s)|ds + |x(t)| ≤ |x(s)|ds + |x(t)| ≤

0 0

Це означа¹, що оператор A обмежений i ||A|| ≤ 2. З iншого боку, для x0(t) ≡ 1 ìà¹ìî

Îòæå, ||A|| = 2.

3.2Вправи

1.Якi з наступних операторiв ¹ лiнiйними i неперервними?

(a)A : R2 → R3, A(x) = (x1 + x2, x1 · x2, x1 − x2),

(b)A : R3 → R2, A(x) = (x1 + x2 + x3, x1 − 2x2 + x3),

Z t

(c) A : C[0;1] → C[0;1], Ax(t) = x(ξ)dξ,

0

(d) A : C1[0; 1] → C[0;1], Ax(t) = dxdt (t).

2. В просторi C[−1;1] визначенi оператори

Знайдiть ¨х норми. Знайдiть оператори A2, B2.

16

3.При яких значеннях α оператор Ax(t) = x(tα) ¹ лiнiйним i неперервним в L2[0;1].

4.Знайдiть норми наступних операторiв, дiючих з C[0;1] â C[0;1]:

Z1

(a)Ax(t) = x(s) sin π(t − s)ds;

5.Нехай функцiя K(t, s) неперервна в прямокутнику a ≤ t, s ≤ b. Доведiть, що оператор

Z b

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds

a

ç C[a;b] â C[a;b] ¹ лiнiйним i обмеженим. Оцiнiть його норму.

6.Доведiть, що оператори

Z 1

[A, B] ≡ AB − BA 6= 0.

7.Для яких функцiй a(t) оператор множення Ax(t) = a(t)x(t)

¹ неперервним в C[0;1]? Знайдiть норму оператора A, ÿêùî вiн ¹ неперервним.

8.Для яких функцiй a(t) оператор A множення на функцiю

a(t) ¹ неперервним оператором iз Lp[a;b] â Lq[a;b], 1 < p, q, ∞. Знайдiть норму оператора A, якщо вiн ¹ неперервним.

17

9. В гiльбертовому просторi H оператор ортогонального проектування на пiдпростiр L H äëÿ x = u + v, äå u L,

v L , визнача¹ться рiвнiстю P x = u. Доведiть, що P лiнiйний обмежений оператор. Знайдiть його норму.

10.Довести, що ядро лiнiйного обмеженого оператора A : X → Y ¹ пiдпростором X.

11.Нехай на лiнiйному просторi X визначенi двi еквiвалентнi

норми, A : X → X лiнiйний оператор. Довести, що в обох цих нормах вiн буде одночасно обмеженим чи необмеженим.

12.В просторi l2 розглянемо оператор A, який елементу x =

(x1, x2, . . .) l2 ставить у вiдповiднiсть елемент Ax =

(λ1x1, λ2x2, . . .), äå λk R (k N).

(a)Довести, що при áóäü-ÿêèõ λk оператор A ëiíiéíèé.

(b)Çà ÿêèõ óìîâ íà ïîñëiäîâíiñòü λk область визначення

DA çáiãà¹òüñÿ çi âñiì l2?

(c)Çà ÿêèõ óìîâ íà ïîñëiäîâíiñòü λk оператор A буде обмеженим i яка його норма?

(d)ßêùî A обмежений оператор, то чи завжди iсну¹ x

l2, x 6= 0 òàêå, ùî ||Ax|| = ||A||||x||?

(e)Çà ÿêèõ óìîâ íà ïîñëiäîâíiñòü λk множина Im A буде пiдпростором l2?

13.Доведiть, що оператор A : C[ka;b] → C[a;b], k = 0, 1, ..., n,

k

X

Ax(t) = ϕi(t)x(i)(t),

i=0

äå ϕi(t) C[a;b], i = 0, 1, ..., n ¹ лiнiйним та обмеженим.

14.Доведiть, що в банаховому просторi X для будь-якого оператора A L(X, X) = L(X) визначенi оператори

18

15. Нехай X - банахiв простiр, i оператор A L(X). Доведiть,

∞

ùî ðÿä X Ak çáiãà¹òüñÿ â L(X) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè äëÿ

k=0

деякого k N викону¹ться нерiвнiсть ||Ak|| < 1.

4Поточечна збiжнiсть послiдовностей операторiв та слабка збiжнiсть послiдовностей елементiв

4.1Основнi означення

Теорема 1 (Банаха-Штейнгауза) (Принцип рiвномiрно¨ обмеженостi). Нехай Φ L(X, Y ) деяка сукупнiсть лiнiйних

обмежених операторiв, де X банахiв простiр. Якщо для кожного x X числова множина {||Ax|| : A Φ} обмежена, то множина {||A|| : A Φ} ¹ обмеженою.

Означення 1. Нехай X, Y лiнiйнi нормованi простори. Ка-

жуть, що послiдовнiсть операторiв {Ak}∞k=1 L(X, Y ) поточечно збiга¹ться до оператора A L(X, Y ), ÿêùî limk→1 Akx = Ax äëÿ

будь-якого x X. Iнодi, щоб вiдрiзняти вiд поточечно¨ збiжностi, збiжнiсть по нормi L(X, Y ) називають рiвномiрною.

Означення 2. Кажуть, що послiдовнiсть функцiоналiв fk X слабко збiга¹ться до f X , ÿêùî limk→∞ fk(x) = f(x) äëÿ

будь-якого

Означення 3. Нехай X лiнiйний нормований простiр. Кажуть, що послiдовнiсть елементiв xk X слабко збiга¹ться до елемента x X, ÿêùî limk→∞ f(xk) = f(x) для будь-якого

Теорема 2. Послiдовнiсть Ak L(X, Y ), äå X банахiв простiр, слабко збiга¹ться до A L(X, Y ) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

1.ïîñëiäîâíiñòü ||Ak|| обмежена;

2.Akx → Ax для будь-якого x з деяко¨ множини X0, ëiíiéíi комбiнацi¨ елементiв яко¨ лежать всюди щiльно в X.

Приклад 1. Нехай e1, e2, . . . ортонормований базис гiльбертова простору H. Позначимо Pk оператор ортогонального

19

проектування на пiдпростiр Hk =< e1, e2, . . . , ek >. ×è áóäå ïî-

ñëiäîâíiñòü {Pk}∞k=1 збiгатися рiвномiрно? Чи буде вона збiгатися поточечно?

Ðîçâ'ÿçîê. Ïîñëiäîâíiñòü {Pk}∞k=1 не фундаментальна, тому що для будь-яких натуральних k > n

||Pk − Pn|| ≥ ||(Pk − Pn)ek|| = ||ek|| = 1. ||ek|| ||ek||

Таким чином, наша послiдовнiсть не збiга¹ться рiвномiрно. Доведемо, що послiдовнiсть {Pk}∞k=1 збiга¹ться слабко до оди-

ничного оператора. Легко бачити, що ||Pk|| = 1 для будь-якого k N. Îñêiëüêè e1, e2, . . . - базис в H, то всi лiнiйнi комбiнацi¨ елементiв цi¹¨ послiдовностi лежать всюди щiльно в H. Äëÿ áóäü- ÿêèõ k ≥ n N ì๠ìiñöå Pken = en. Звiдси, для будь-якого фiксованого n ìà¹ìî Pken → en = Ien (k → ∞). Отже, з теореми 2

limk→∞ f(xk) = limk→∞ gk(f). Таким чином, з теореми Банаха-

Штейнгауза виплива¹ обмеженiсть послiдовностi {||gk||}∞k=1, à çíà- чить i послiдовностi {||xk||}∞k=1.

Приклад 3. Нехай H гiльбертiв простiр, xn, x H (n N), xn → x (n → ∞) слабко i ||xn|| → ||x||. Довести, що xn → x (n → ∞).

Розв'язок. Для будь-якого n ìà¹ìî

||xn − x||2 = (xn − x, xn − x) = ||x||2 + ||xn||2 − 2(xn, x).

З умов задачi, ||xn||2 → ||x||2 (n → ∞). За теоремою про за-

гальний вигляд лiнiйного неперервного оператора в гiльбертовому просторi виплива¹ iснування такого функцiоналу f H , ùî

f(y) = (y, x) для будь-якого y H. À îñêiëüêè xn → x слабко, то

(xk, x) = f(xk) → f(x) = ||x||2 (n → ∞).

20