- •§1. Дифференциальные уравнения и их решение
- •7. Линейные уравнения первого порядка
- •2) Найти общее решение .
- •8. Уравнение Бернулли
- •9. Уравнения в полных дифференциалах
- •10. Уравнения вида и
- •11. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •12. Определение типа дифференциального уравнения первого порядка
- •§2. Уравнения высших порядков
- •§3. Линейные дифференциальные уравнения и системы
- •Свойства линейного дифференциального оператора
- •Система из линейно независимых (лнз) на промежуткерешенийдля лодУn-го порядка называется фундаментальной системой решений (фср) этого уравнения.
- •Типовой пример Решить задачу Коши.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных
- •Вопросы промежуточного контроля
- •Типовые задания для контроля знаний и закрепления практических навыков
- •Вариант №2
ГЛАВА ?. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Дифференциальные уравнения и их решение
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Мы будем рассматривать уравнения, где неизвестная функция является функцией одной переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Уравнение вида называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. При этом порядком уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной.
Функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную.
Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной.
Множество всех решений уравнения называется его общим решением, или общим интегралом. Оно имеет вид y=f(x,С) – такой, что любое частное решение получается при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения.
Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция определена в областиD, точка . Требуется найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
(начальное условие часто записывают в форме ).
Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную, то для любой точкив окрестности точкиx0 существует единственное решение задачи Коши.
Для существования решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции ; условие непрерывностиобеспечивает единственность этого решения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к равенству
,
откуда .
Если существуют первообразные ифункцийf (x) и , общее решение данного уравнения имеет вид
4. К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида , гдеa, b, c – постоянные. Для этого вводится новая функция z = ax + by + c. Поскольку
то для z получаем уравнение с разделяющимися переменными:
Типовой пример
Найти общее решение уравнения .
►Разделим переменные:
Обратите внимание на форму записи произвольной постоянной: если вид общего интеграла можно упростить потенцированием, удобно представить произвольную постоянную как логарифм другой произвольной постоянной. Тогда общий интеграл можно записать так: ◄
Типовой пример
Найти общее решение: .
►Преобразуем данное уравнение:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные
Интегрируем обе части неравенства:
Последнее равенство является общим интегралом исходного уравнения. ◄
Типовой пример
Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиюу(4) = 1.
►Пусть Решим уравнение дляz:
При х = 4, у = 1 получаем:
6 – 4 ln 5 = 4 + C, откуда С = 2 – 4 ln 5.
Следовательно, частное решение имеет вид: ◄
Задача об эффективности рекламы. Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени из рекламы получили информациючеловек из общего числапотенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент временичисло знающих о продукции людей равно. Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомленных в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению
.
Здесь – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента:
.
Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:
.
В общее решение входит неопределенная константа . Полагая, получим равенство
,
из которого определим функцию :
.
Здесь . Такого вида функция называется логистической, а её график – логистической кривой. Если теперь учесть, что х(0) = х0, и положить х0 = N/, где > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид
.
Пример
Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк, при условии начисления сложных процентов в год. Пустьобозначает начальную денежную сумму, а– денежную сумму по истечениилет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели
,
где =0, 1, 2, 3,.. Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы
,
где =0, 1/2, 1, 3/2,.. Вообще, если проценты начисляютсяраз в год ипринимает последовательно значения, то
,
то есть . Если обозначить, то предыдущее равенство перепишется так:.
Неограниченно увеличивая (при,), мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:, то есть при непрерывном изменениизакон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. Отметим, что здесь– неизвестная функция,– независимая переменная,– постоянная. Решение данного уравнения имеет вид, или, где черезобозначено.
Учитывая начальное условие , найдем:, следовательно,. Решение имеет вид
.
Однородные уравнения
Рассмотрим еще один класс уравнений, которые путем подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Функция называетсяоднородной измерения (степени) m (mÎR), если . Так, x3 – 3xy2 + +4y3 – однородная функция степени 3; ln x – ln y – однородная функция нулевой степени.
Дифференциальные уравнения , правая часть которых является однородной функцией нулевой степени, называютсяоднородными уравнениями. Если в некоторой области D Ì R2xy функции инепрерывные и однородные с одним измерением, то дифференциальное уравнение первого порядкаявляетсяоднородным дифференциальным уравнением в области D.
Однородное уравнение, которое можно записать в форме
,
может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции . При этоми уравнение дляt примет вид: уравнение с разделяющимися переменными.
6. К однородному уравнению, в свою очередь, можно привести уравнение вида
при условии . При этом производится параллельный перенос в плоскости (х, у) – такой, чтобы начало координат совместилось с точкой (x0; y0) пересечения прямых ax + by + c = 0 и a1x + b1y + c1 = 0. Тогда в
новых координатах уравнение будет выглядеть как
, или – однородное уравнение.
Типовой пример
Найти общий интеграл уравнения .
►Разделим обе части равенства на х:
и сделаем замену . Тогдаобщий интеграл уравнения. ◄
Типовой пример
Найти общее решение:.
►Так как функциии— однородные второго измерения
то данное уравнение – однородное. Сделаем замену: где– новая неизвестная функция.. Тогда,. Далее имеем,.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
, ,.
В последнее выражение вместо подставим значение.
Получим общий интеграл: . Выразив отсюда, найдем общее решение исходного уравнения:. ◄
Типовой пример
Найти общее решение уравнения .
►Решим систему уравнений . Тогда, и в новых переменных (с учетом того, что) получаем уравнение.
Замена приводит к уравнению
После упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде:
. ◄