умк_Вабищевич_Физика_ч

В этом случае выражение для работы приобретает вид

Из (6) следует, что если сила, действующая на точку, перпендикулярна скорости, то работа такой силы равна нулю. Воспользовавшись

выражениями p = mυ, dp = m dυ, F = dp dt и (6), можно записать

энергия. Выражение (7) носит название теоремы кинетической энергии:

работа силы по перемещению материальной точки равна приращению ее

кинетической энергии.

Все силы в механике принято разделять на консервативные и неконсервативные. Консервативными называются силы, работа которых не

При движении в поле силы тяжести сохраняется величина – полная механическая энергия, которая складывается из кинетической и потенци-

альной энергий (UП = mgh )

41

Консервативными силами являются только центральные силы. Это силы, всегда направленные по радиус-вектору, соединяющему материальную точку и некоторую точку в пространстве, и зависящие только от расстояния до этой точки. Сама эта точка называется центром силы или силовым центром. В качестве примера рассмотрим силу гравитационного взаимодействия

U = −γ mMr .

Для количественной характеристики силового поля в данной точке используют понятия напряженности (силовая характеристика) и потенциала (энергетическая характеристика) поля.

Напряженность поля, определяют как силу, действующую на мате-

риальную точку единичной массы

E = γ M3 r . r

Векторы силы и напряженности совпадают по направлению. Силовые поля можно изобразить с помощью силовых линий – это линии, каса-

тельные к которым в каждой точке пространства совпадают с направлением вектора напряженности (рис. 2.3).

Потенциал поля в данной точке соответствует потенциальной энергии тела единичной массы

ϕ = −G Mr ,

42

или определяется работой поля, затраченной на перемещение тела единичной массы из данной точки на бесконечность.

Геометрическое место точек, обладающих одинаковым потенциалом, называют эквипо-

тенциальной поверхностью (см. рис. 2.3). Сило-

вые линии в данной точке всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Если поле создано несколькими источниками, то суммарная напряженность и потенциал определяются по принципу суперпозиции полей:

Принцип суперпозиции является следствием принципа независимости действия сил: суммарное ускорение, которое приобретает материальная

точка под действие нескольких сил, есть векторная сумма ускорений, которое сообщает материальной точке каждая сила в отдельности.

Силы, не являющиеся центральными, называют неконсервативными силами. К ним, прежде всего, относятся диссипативные силы (преобразующиемеханическуюэнергиювдругиевидыэнергии), например, силатрения.

Итак, работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из некоторого положения в нулевое (которое мы можем выбирать сами), называется потенциальной энергией U системы в этом положении, причем энергия системы U является функцией только ее координат. Необходимо отметить, что выбор нулевого положения произволен.

Обычно выбирается таким образом, чтобы выражение для потенциальной энергии выглядело наиболее просто.

В системе с одними только консервативными силами полная меха-

ническая энергия остается неизменной, поскольку могут происходить

только превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно согласно (8).

Зная силу, как функцию координат F(x, y, z) , потенциальную энер-

гию можно определить интегрированием

2

U1 =U (x, y, z) −U (0) = A12 = ∫Fdr .

1

Знак «минус» обусловлен тем, что направления силы и перемещения

взаимно противоположны.

43

Другая задача – вычисление силы F(x, y, z) по заданной потенциаль-

ной энергии U (x, y, z) , которую можно решить дифференцированием (обратной операцией). Поскольку dU = −(Fxdx + Fydy + Fzdz) , то

величина является вектором, поскольку указывает направление силы, действующей на материальную точку.

Для тела единичной массы из соотношения (10) можно определить связь между напряженностью поля и потенциалом в данной точке

E(x, y, z) = −gradϕ.

Знак «минус» указывает, что направление вектора напряженности совпадает с направлением уменьшения потенциала.

В соответствии с выражением (9) можно определить работу по перемещению материальной точки m из положения 1 в положение 2 как произведение разности потенциалов между этими точками на массу материальной точки:

A12 = m (ϕ1 − ϕ2 ) .

Примеры потенциальной энергии материальной точки в некоторых простейших случаях:

– U = mgh – потенциальная энергия точки в поле силы тяжести (начало отсчета h = 0);

тела), начало отсчета х = 0;

– U = −γ mMr

двух точечных масс m и М. За начало отсчета выбрана бесконечно удаленная материальная точка, взаимодействие с которой точек m и M бесконечно мало.

В общем случае на i-ю материальную точку системы действует внутренняя сила Fik со стороны k-ой точки системы, внешняя консервативная

44

Для замкнутой системы закон сохранения энергии принимает вид

E = Ek +Uвз = const .

Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы остается постоянной.

Если в замкнутой системе кроме консервативных сил действуют еще внутренние неконсервативные силы (силы трения), то полная механическая энергия системы не сохраняется

dE = d(Ek +Uвз) = dAвн, неконс .

Действие сил трения приводит к диссипации части полной механической энергии в другие виды энергии, при этом выполняется более общий закон сохранения (механической и немеханической) энергии.

Важным применением законов сохранения является установление

соотношений между начальными и конечными параметрами движения, т.е. до и после столкновения тел.

Под столкновением понимают процесс взаимодействия, сопровождающийся обменом импульсами и энергиями, в результате чего могут происходить различные процессы (тела могут соединяться в одно; могут возникать новые тела и т.д.).

Различают упругие столкновения, которые происходят без перехода

механической энергии в другой вид энергии (без изменения внутреннего

состояния взаимодействующих тел), и неупругие столкновения, сопровождающиеся преобразованием части механической энергии в другой вид и изменением внутреннего состояния взаимодействующих тел.

Наиболее простым случаем является упругое столкновение двух материальных точек с массами m1 и m2 , движущихся вдоль одной прямой

(так называемый центральный удар двух тел). Обозначим скорости и им-

46

или

υ2/ x = υ1 ;

•если m1 << m2 , то покоящаяся частица (стена) останется на месте,

аналетающая отскочит назад с той же скоростью: υ1/ x ≈ −υ1 ; υ2x/ ≈ 0 ;

•если m1 >> m2 , то налетающая частица продолжит движение с той

же скоростью, а покоящаяся отлетит с удвоенной скоростью υ1/ x ≈ υ1 ;

υ2/ x ≈ 2υ1 .

– Шары движутся навстречу друг другу (рис. 2.5)

– Шары догоняют друг друга (рис. 2.6). Необходимо отметить, что столкновение возможно только в том случае, если υ1 > υ2 . Иначе первый

шар не догонит второй. В этом случае можно применять как выражение (11), так и (12). В последнем случае при этом нужно заменить υ1 на

υ1 = υ1 − υ2 (относительная скорость движения).

Частным случаем неупругого столкновения является абсолютно неупругий удар, после которого частицы m1 и m2 (после удара) образуют

единое целое, движущееся со скоростью υ/ .

47