umm_683_ТОЭ_Кр_3
.pdfМинистерство путей сообщения Российской Федерации Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Теоретические основы электротехники»
Т. А. Н и к и т и н а
Р. Я. С у л е й м а н о в
Теоретические основы электротехники
Задание на контрольную работу №3
Екатеринбург
2003
Министерство путей сообщения Российской Федерации Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Теоретические основы электротехники»
Т. А. Н и к и т и н а
Р. Я. С у л е й м а н о в
Теоретические основы электротехники
Задание на контрольную работу №3 с методическими указаниями
для студентов заочного факультета специальностей:
101800 – Электроснабжение железных дорог;
181400 – Электрический транспорт железных дорог; 210700 – Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте
Екатеринбург
2003
3
УДК 621.3 (072) С 89
Задание на контрольную работу по теоретическим основам электротехники предназначено для студентов заочного отделения, изучающих дисциплину в соответствии с учебными планами и программами, содержит две задачи. Первая задача предусматривает расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи с двумя накопителями классическим методом, вторая – операторным. Даны варианты расчетных схем и числовых данных. Приведены методические указания к решению задач.
Авторы: Т. А. Никитина, ст. пр. кафедры ТОЭ, УрГУПС Р. Я. Сулейманов, канд. техн. наук, доцент кафедры ТОЭ, УрГУПС
Рецензент: А. П. Сухогузов, проф., зав. кафедры ТОЭ, УрГУПС
©Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2003
4
Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи
1. Цель работы
Изучение и практическое применение классического и операторного методов расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях.
2.Содержание работы
Вданной контрольной работе студенту необходимо выполнить следующие задания.
Рассчитать переходный процесс классическим методом, определив закон изменения всех токов и напряжения на конденсаторе. Вычислить и построить графики зависимости напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность.
Рассчитать операторным методом либо закон изменения напряжения на конденсаторе, либо тока через индуктивность.
Сравнить результаты.
Исходные данные приведены в табл. 1, а необходимые схемы на рис. 1.
|
|
Исходные данные |
|
Таблица 1 |
||
|
|
|
|
|
||
Номер |
L , |
C , |
R1 , |
R2 , |
E , |
|
строки |
мГн |
мкФ |
Ом |
Ом |
В |
|
1 |
100 |
500 |
60 |
15 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
800 |
400 |
7 |
290 |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
500 |
200 |
6 |
260 |
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
240 |
400 |
80 |
60 |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
300 |
100 |
10 |
490 |
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
160 |
200 |
100 |
100 |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
300 |
300 |
75 |
150 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
300 |
250 |
5 |
15 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
160 |
100 |
40 |
10 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
700 |
70 |
3 |
360 |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5
1 |
R1 |
L |
|
|
|
|
|
|
E |
|
C |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
E |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
L
5
E |
|
R1 |
|
L |
|
C |
R2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
L |
|||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R2 |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
R2 |
|
|
||||||
E |
|
|
R1 |
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
R1 L |
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
|
|
C |
|
|
|
R2 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
R2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
8 |
|
|
|
L |
|
|
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
R2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
R1 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
R2 |
|
|
|
R1 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
C |
|
R2 |
|
R2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. Схемы задания
6
3. Методические указания
Если электрическая цепь длительное время работает без изменений, то в такой цепи – установившиеся токи и напряжения. Эти токи и напряжения в цепи либо постоянные, либо являются периодическими функциями времени (в частности – синусоидальные).
Под коммутацией понимают процесс включения или выключения рубильников цепи, в результате которого подключаются или отключаются какие-либо части цепи или вся цепь в целом.
После коммутации токи и напряжения в цепи, а также энергия магнитных и электрических полей должны измениться, в результате возникает новый установившийся режим. Переход от одного установившегося режима к другому и называется переходным процессом.
Величина энергии не может измениться скачком, поэтому не могут измениться скачком и величины, её определяющие.
W |
= |
CUC2 |
= |
q2 |
; W |
M |
= LiL2 |
=ψ 2 |
|
|
|||||||
Э |
2 |
|
2C |
|
2 |
2L |
||
|
|
|
|
Изложенное позволяет сформулировать два основных закона коммутации.
1.В ветви с индуктивностью ток и потокосцепление в первый момент после коммутации сохраняют те же значения, которые они имели до коммутации и начинают изменяться с этих значений.
2.В ветви с ёмкостью напряжение на ней и заряд в первый момент после коммутации сохраняют те же значения, которые они имели до коммутации, и начинают изменяться с этих значений.
Все неупомянутые в этих положениях величины в общем случае могут
вмомент коммутации изменить свою величину скачком.
При расчёте переходных процессов считается, что коммутация происходит в момент времени t =0 . Тогда можно записать:
iL (0−) =iL (0+); uC (0−) = uC (0+); ψ(0−) =ψ(0+); q(0−) = q(0+).
Здесь t = (0−) – последний момент времени до коммутации; t = (0+) – первый момент времени после коммутации.
Определённые значения iL (0+) и называются основными
или независимыми начальными условиями. Все остальные – неосновные начальные условия.
7
Классический метод расчёта переходных процессов
Классический метод состоит в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений цепи, составленных по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы.
Рассмотрим пример расчёта (рис. 2). До коммутации ток через
индуктивность |
iL (0−) = |
E |
, |
напряжение на конденсаторе uC (0−) =0. Это |
|
R |
|||||
|
|
|
|
основные начальные условия.
Составим уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы, для мгновенных значений.
L |
|
|
iL |
|
|
E |
iC |
|
iR |
C |
|
|
|
Рис. 2. Схема расчёта классическим методом
iL =iR +iC ;
E= L didtL +uC ;
iR R −uC = 0.
Запишем также уравнение для тока через конденсатор:
iC =C dudtC .
Совместное решение этих уравнений относительно напряжения на конденсаторе имеет вид:
d2u |
1 |
|
|
du |
1 |
|
u |
|
E |
|
|||
C |
+ |
|
|
|
C |
+ |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
RC |
|
LC |
LC |
|||||||||
dt2 |
|
dt |
C |
|
|
Решение данного уравнения ищется в виде:
uC = uC ′ + uC ″.
8
Математически |
u C ′ |
– частное решение неоднородного |
дифференциального уравнения, а uC ″– общий интеграл однородного
уравнения. В электротехнике эти составляющие имеют чёткий физический смысл.
uC ′ =uCпр , напряжение, которое устанавливается на конденсаторе
после окончания переходного процесса. Его легко найти, рассмотрев послекоммутационную схему в установившемся режиме. В данном случае
uCпр = E .
Название: напряжение, которое принуждается, вызывается источником.
uC ″ =uCсв , это напряжение, которое не зависит от источника, его
возникновение связано с процессами изменения энергии в электрической цепи, т. е. это напряжение свободно, не связано с источником.
Следовательно, решение имеется в виде:
|
uC =uCпр |
+ uCсв . |
|
||||||
Характеристическое уравнение, соответствующее данному |
|||||||||
дифференциальному, имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||
p 2 + |
1 |
p + |
1 |
= 0. |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
RC |
|
LC |
|
|||
Обычно вводят обозначения: |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
= 2δ; |
1 |
=ω |
02 . |
||||
|
|
|
|||||||
|
RC |
LC |
|
Тогда характеристическое уравнение принимает вид:
p 2 + 2δp +ω02 = 0.
Для цепи с двумя накопителями характеристическое уравнение квадратное. Корни такого характеристического уравнения:
p1,2 = −δ ± δ 2 −ω02 .
Как известно, корни характеристического уравнения могут быть:
1. Вещественные, отрицательные и разные. Переходный процесс апериодический. В этом случае:
u |
Cсв |
= A e p1t + A e p2t , |
|
|
1 |
2 |
где A1 и A2 – постоянные интегрирования. Закон изменения напряжения на конденсаторе
9
uC = E + A1 e p1t + A2 e p2t .
В случае двух накопителей в схеме следует определить неосновные начальные условия. К ним относятся токи и напряжения, о которых не идёт речь в законах коммутации. Для этого система дифференциальных уравнений
записывается для момента времени t = 0, в неё подставляются основные начальные условия и решают их совместно:
i |
(0) |
=i (0) |
+i (0); |
||||||
L |
|
|
|
|
R |
|
|
C |
|
E |
|
= L |
|
diL |
|
|
+u (0); |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
t=o |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
(0) R −uC (0) = 0; |
|||||||||
iR |
|||||||||
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
|
C |
|
= i (0). |
|||||
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
t=0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
E |
= i |
R |
(0) |
|
+i |
(0); |
|
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diL |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E |
|
= L |
|
|
|
|
|
|
|
+ 0; |
|
|||||||||||||
|
|
dt |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(0) |
R −0 = 0; |
||||||||||||||||||||||
iR |
||||||||||||||||||||||||
|
(0) |
|
= C |
duC |
|
. |
|
|||||||||||||||||
iC |
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
iR (0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
diL |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
t =0 |
|
|
L |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
i (0) = |
E |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
duC |
|
|
|
|
|
|
|
= iC (0) = |
E |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
t |
=0 |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
RC |
|||||||||||
|
|
|
|
10
Эти величины определены для момента времени t = 0 и называются неосновными начальными условиями. Продифференцируем уравнение
uC = E + A1ep1t + A2ep2t
duC = 0 + p1 A1e p1t + p2 A2 e p2t dt .
Для определения A1 и A2 запишем эти уравнения для момента времени
t =0 :
uC (0) = 0 = E + A1 1+ A2 1;
duC |
|
|
|
= |
E |
= p A 1 + p |
2 |
A 1. |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
dt |
|
|
|
RC |
1 |
1 |
2 |
|||
|
t =0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Совместное решение данных уравнений даёт
|
|
|
E |
+ E p2 |
|||||
A = |
RC |
||||||||
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
p1 |
− p2 |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
E |
+ E p |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
A = − |
RC |
1 |
. |
||||||
|
|||||||||
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
p1 − p2 |
||||
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем закон изменения напряжения на конденсаторе:
|
|
E |
+ E p |
|
|
|
E |
+ E p |
|
|
RC |
|
|
RC |
|||||
uC = E + |
|
2 |
e p1t − |
1 |
eP2t . |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p1 − p2 |
|
|
|
p1 − p2 |
Для нахождения закона изменения остальных токов и напряжений в схеме следует воспользоваться дифференциальными уравнениями:
iR |
= |
uC |
; |
iC |
= C |
duC |
; |
iL =iL +iC . |
|
R |
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Закон изменения тока iL |
можно находить так же, как напряжение на |
||||||||
конденсаторе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|