Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 3

вдоль ломаной OAB, где О(0; 0; 0),

A(2; 6; 0), B(1; 2; 4).

8.

Найти циркуляцию вектора

a

по замкнутому контуру, состоя-

щему из

дуги

окружности

x = 2 cos t ,

y = 2 sin t,

z = 0 ,

лежащей

в первой четверти, и отрезков осей

координат

OX,

OY, где вектор

ar = ( yz − x2 ) ir+(xz + 2x) rj + (xy − z 2 ) k .

9.

Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (−x +3y + z) j через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

2x − y + 2z − 2 = 0.

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным, и найти

2.

Найти площадь плоской фигуры,

ограниченной линиями

x = 4,

x y = 4,

y = x .

3.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями

y = 0 ,

y = 2x ,

x2 + z2 =9 ( x ≥ 0 ).

4.

Определить статический момент относительно оси OY плоской

фигуры,

ограниченной линиями

(x2 + y2 )2 = 4(x2 − y2 ) , y = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0), если плотность в каждой точке

γ (x, y) = y.

5.

Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = 2(1 +sin x ), y = 2

(0 ≤ x ≤π) .

6.

Найти координаты центра тяжести однородного конуса,

ограни-

ченного поверхностями

x2 + y 2 − z 2 = 0, z = 4.

70

7.

Вычислить работу, совершаемую силой

r

F = (x − y2 ) ri + 2x rj , при

перемещении материальной точки под действием этой силы

вдоль ломаной линии

OAB:

O(0; 0),

A(1; 0),

B(1; 1).

r

1 r

x

r

r

8.

Найти циркуляцию вектора

a

=

i

+

3z −

j

+(2 y + z) k по

2

y

y

контуру треугольника с вершинами в точках

A(1; 1; 3), B(3; 2; 3),

C(0; 3; 3).

9.

Найти непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (x + 6z) k

через внешнюю сто-

рону полной поверхности пирамиды, образованной координатны-

ми плоскостями и плоскостью

2x + y + z − 4 = 0.

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным, и найти

Вариант 3.4

1.

Вычислить массу дуги кривой, заданной уравнениями

x = ln t ,

y = 2 t, 0,5 ≤ t ≤1, если

линейная плотность в каждой точке

равна квадрату ординаты этой точки.

2.

Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями

x2 = 6 y ,

x2 + y2 = 72 .

3.

Найти координаты центра

тяжести плоской фигуры, ограничен-

ной линиями y2 = 4x,

y = x . Плотность в каждой точке фи-

гуры γ (x, y) = x y .

4.

Найти массу плоской однородной фигуры, ограниченной

линией

(x2 + y2 )3 = x4 + y4.

5.

Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями

z = 8,

z = x2 + y2 + 4 .

Домашнее задание № 3

6.

Найти статический момент относительно плоскости

XOY

одно-

родной фигуры, ограниченной плоскостями x = 0,

y = 0,

z = 0,

x + y + z = 6.

r

+(2xy + x2 )rj ,

7.

Найти работу, совершаемую силой F = ( y2 − 2xy) ri

по перемещению материальной точки вдоль прямой

y = 2x

от

точки A(1; 2) до точки B(3; 6).

8.

Вычислить циркуляцию вектора

ar = (2 y −1) i −(x −2) j − z k

по

линии, образованной контуром

треугольника OBC:

O(0; 0; 0),

B(2; 0; 0), C(2; 0; 3).

9.

Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля F = (3x + 2 y − z) i через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

− x + 2 y + 2z − 4 = 0.

10. Показать, что поле вектора a является потенциальным,

и най-

ти его потенциал,

ar = yz(2x + y + z) i + xz(x + 2 y + z)rj + xy(x + y + 2z) k .

Вариант 3.5

1.

Вычислить момент инерции относительно начала координат

од-

нородной

линии, заданной уравнениями

x = a(cos t + t sin t ),

y = a(sin t − t cos t ) ,

0 ≤ t ≤ 2π .

2.

Вычислить площадь

фигуры, ограниченной

линиями

y = x ,

3y = x2 −6x .

3.

Вычислить объемы фигур,

ограниченных поверхностями

x = 0 ,

y = 0, z = 0,

x + 2 y = 4, x + y + z = 6.

4.

Найти массу плоской однородной фигуры, ограниченной ли-

ниями

x2 + y2 = a2 ,

(x2 + y2 − ax)2 = a2 (x2 + y2 ).

Об-

ласть выбрать

вне окружности.

72

ограниченной линиями

y = x2 ,

y = 2 − x2 .

6.

Найти момент инерции относительно оси OY однородной фигу-

ры, ограниченной поверхностями

y = 3,

y = x2 + z 2 + 2.

7.

Вычислить работу силы

F = y i + 2xy j

по перемещению ма-

териальной точки вдоль линии,

образованной контуром квадрата

со сторонами x = 4,

x =−4,

y = 4,

y =−4.

8.

Вычислить циркуляцию вектора a

по линии, образованной кон-

туром треугольника

OAB

с

вершинами

в точках

O(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), B(2; 0; 2),

где

ar = (2xy − z) ri + x2 y rj + (2z − x) k .

9.

Найти непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (2x +3y −3z) j

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

2x −3y + 2z − 6 = 0.

10. Показать, что поле вектора ar = yz i + xz j + xy k

является по-

Вариант 3.6

1.

Вычислить массу дуги

кубической параболы

y = x3

на

интер-

вале 0 ≤ x ≤1, если линейная плотность γ(x, y) =18(x3+ y) .

2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями x y = 4,

x + y = 5.

3.

Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями

x2 + y 2 + z 2 = 4,

(x2 + y 2 )2 = 4 (x2 − y 2 ),

z =0

( внутри цилиндра, z ≥ 0 ).

4.

Найти массу плоской

фигуры, ограниченной линиями

x = 0,

y =1,

y = x , если плотность

γ (x, y) = e

− y

2

.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры,

ограниченной линиями

y2 = 4x + 4,

y2 = −2x + 4.

6.

Найти

статический

момент

неоднородного куба

0 ≤ x ≤ a ,

0 ≤ y ≤ a ,

0 ≤ z ≤ a

относительно плоскости

XOY, если

объ-

емная плотность

γ (x, y, z) = x + y + z .

r

7.

r

Вычислить работу, совершаемую силой F = (x2 + y

2 ) j , по пе-

ремещению материальной точки вдоль ломаной

OCB,

где

O(0; 0), C(1; 1),

B(1; 0).

r

x2 r

r

r

8.

Вычислить циркуляцию вектора

a =

i + xy j + zy k

по кон-

y

туру

x = 5cos t,

z = 5sin t,

y =1,

0 ≤ t ≤ 2π .

9.

Найти

непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (2x + 4 y + 3z) k

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

3x + 2 y + 3z − 6 = 0.

r

y2

r

2 y

r

10. Показать, что поле вектора

a

= 2xy +

i

+ x2

−

j

x2

x

при x > 0

является потенциальным, и найти его потенциал.

2.

Вычислить

площадь

плоской фигуры,

ограниченной

линиями

y = arcsin x,

x = 0,

y =

π .

2

3.

Вычислить

объем тела,

ограниченного

поверхностями

z = 0,

74

z = 5 − x2 − y2 ,

x2 + y2 = 4

(внутри цилиндра).

4.

Найти массу плоской фигуры, ограниченной замкнутыми линиями

(x2 + y2 )2 = 2x3,

x2 + y2 =

1

(вне окружности),

если плот-

16

ность γ (x, y) = 1

x2 + y2 .

5.

Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной

линиями

y = −x + 2, y2 = x , если плотность

γ (x, y) = x .

6.

Найти статический момент относительно плоскости

XOY од-

нородной фигуры, ограниченной плоскостью

z = 0

и

поверх-

ностью

z = −

1− x2 − y2 .

7.

Вычислить работу, совершаемую

силой

F = y i − x j ,

по пере-

мещению

материальной точки под действием этой силы вдоль

замкнутой линии, образованной параболами

y = x2 ,

y2 = x .

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = 2xz ir+(2z − y) rj + x2 kr

по ли-

нии, образованной контуром треугольника ABC:

A(1; 0; 0),

B(1; −1; 1), C(1; 1; 1).

9.

Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (3x − y + 2z) i

через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

− x + 2 y + z − 4 = 0.

10. Показать, что

поле вектора

a является

потенциальным, и най-

ти его потенциал,

ar = (x + y + z) ir + (x + y + z) j + (x + y + z) k .

x2 = 4 − 4 y ,

x2 + y2 = 4

( y > 0) .

3.

Вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями

z = 0,

z = 4 − y2 , x =0, y =2, y =x −2.

4.

Найти массу плоской фигуры,

ограниченной замкнутой линией

r = 3 8 + sin ϕ ,

если плотность

γ (r,ϕ) = r .

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры,

ограни-

ченной линиями

y = x,

y = x +3,

y = 3, y = 6.

6.

Вычислить момент инерции однородного конуса

z 2 = x2 + y2 ,

z = 2

относительно его оси.

7.

Вычислить работу,

совершаемую силой

F = yx i , по переме-

щению материальной точки

под действием этой силы вдоль

линии

x = y −

1 y3

от точки

A(2 ;− 2)

до точки

B(−2

; 2) .

3

3

3

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = yz i + xz j +2xy k

по окружно-

сти

x = 2 cos t, y = 2sin t,

z = 2.

9.

Найти

непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (4x +3y + 2z) rj

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью x + y + 2z − 4 = 0.

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным, и най-

ти его потенциал,

ar = (4x3 y3 −2 y2 ) ir + (3x4 y2 − 4xy) j .

плотность

γ(x, y)

= sin x .

2.

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной

линиями

x = 6 − y2 ,

x = y .

3.

Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями

x = 0,

y = 0, z = 0,

y = 4 − 2 x ,

z =

1 y2 .

3

2

4.

Найти массу плоской неоднородной фигуры, ограниченной ли-

нией (x2 + y2 )3 = a2 (x2 − y2 )2 ,

если плотность в каждой точке

γ (x, y) = x2 + y2 .

5.

Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = 5 / (1+ x2 ),

y =1.

6.

Найти момент инерции относительно оси OZ однородной фигу-

ры, ограниченной поверхностями

z = x2 + y2 ,

z = 4.

7.

Вычислить

работу

силы

F = (x 2 − 2xy) ir +( y 2 − 2xy)rj

по пе-

ремещению материальной точки под действием этой силы по

параболе

y = x 2

от точки

A(−1; 1)

до точки

B(1; 1).

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = xz ir + x rj + z2 kr

вдоль замкну-

той линии

x =1,

y = sin t,

z = cos t, 0 ≤ t ≤ 2π .

9.

Найти непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля F = (5x + 2 y + 2z) k

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

x + y +3z −3 = 0.

10. Показать,

что

поле вектора

ar = −5x2 ir +3y3 rj +7z kr

является

потенциальным,

и найти его потенциал.

Домашнее задание № 3

1.

Найти массу дуги параболы

y2 = 4x, 0 ≤ x ≤1,

если линейная

2.

плотность

γ (x, y) =

y

.

y = ln x ,

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = ex ,

x =1, x = e.

ограниченной поверхностями z = 0,

3.

Вычислить

объем фигуры,

x2 + y2 =1,

z2 − x2 − y2 =1 (z ≥ 0) .

4.

Найти статический момент относительно оси OY плоской фи-

гуры, ограниченной линиями r = 2(2 + cosϕ),

r = 2

( r ≥ 2 ),

если плотность γ (r,ϕ) =1 / r 2 .

5.

Найти

координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями y = x /(1 + x2 ), x = 2,

y = 0

(при вы-

родной фигуры, ограниченной поверхностями

z =

x,

z = 0,

x + y =1,

y = 0.

7.

Вычислить работу, совершаемую силой F = y i + x j ,

по пере-

мещению материальной точки

под действием этой силы

по ло-

маной линии

OAB:

O(0; 0),

A(4; 2), B(2; 0).

8.

Найти

циркуляцию

вектора

a

по окружности

x2 + y2 =1,

z = 3,

где

ar = (zx + y) i + (zy − x) j − (x2 + y2 ) kr.

9.

Найти

непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (6x −3y + z) i

через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

− x + y + 2z − 4 = 0.

10. Показать, что

поле

вектора

ar = (2x3 − xy2 ) ir +(2 y3 − x2 y) rj

Вариант 3.11

1.

Вычислить массу линии

y = ln x

от точки A(1; 0), до

точки

B(e; 1),

если линейная плотность

γ (x, y) = x 2.

2.

Найти

площадь фигуры,

ограниченной линиями x = 0,

y = x ,

y = (2x +9) / (x + 2).

3.

Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями

x = 0,

y = 0, z = 0, z = x2 + y2 + 2, x + 2 y = 4.

ограниченной линиями

x2 + y2 −4 y = 0, y = 3

( y ≥ 3) .

6.

Найти

статический момент относительно плоскости

XOY одно-

родной фигуры, ограниченной поверхностями

z = 5 − x2 − y2 ,

z =1

(z ≥1).

7.

Вычислить работу, совершаемую силой

Fr = y2ir + 2 yx rj , по пе-

ремещению материальной точки под действием этой силы по

линии

x = t 2,

y = t3

от точки O(0; 0)

до точки

A(1; 1).

8.

Найти

циркуляцию

вектора

ar = 3z i +(2z + x) j +(4 y + 2x) k

по линии,

образованной контуром треугольника

OBC: O(0; 0; 0),

B(2; 0; 0),

C(2; 0; 2).

9.

Найти

непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (−x + 2 y + 2z) j

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью x −3y + 2z − 6 = 0.

10. Показать, что

поле

вектора a

является

потенциальным, и най-

ти его потенциал,

79