Индивидуальное дз по Матану
.pdfДомашнее задание № 3
ограниченной линиями y = x, x + y = 2, y = 0.
5. Найти объем пространственной фигуры, ограниченной поверхно-
стями z = 4 − x2 − y2, 2z = 2 + x2 + y2 .
6. Вычислить момент инерции относительно оси OY однородной фигуры, ограниченной поверхностями 3y2 = x2 + z 2 , y = 3 .
7. Вычислить работу, совершаемую силой F = y2 ir − x2 rj , по пе-
ремещению материальной точки под действием этой силы вдоль окружности x = 4 cos t, y = 4 sin t (обход против часовой
стрелки).
8. |
Найти циркуляцию вектора ar = yz i + 2xz j + xy k по линии, об- |
||||||
|
разованной контуром |
треугольника |
ABC: |
A(1; 2; 0), B(0; 2; 0), |
|||
|
C(0; 2; 3). |
|
|
|
|
|
|
9. |
Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского- |
||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (x − 2 y + 6z) k через внешнюю |
|||||
|
сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат- |
||||||
|
ными плоскостями и плоскостью |
x − y − z −1 = 0. |
|||||
10. Показать, что векторное поле |
a является |
потенциальным, и |
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
r |
|
найти его потенциал, |
ar = (−5ln |
−10x2 ) ir +1+5x rj +13z2 k |
||||
|
y |
||||||
|
(x > 0, y > 0). |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3.22 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить массу линии |
x = ln(1 + t 2 ), |
y = 2 arctg t − t + 3, |
||||
|
0 ≤ t ≤1, если линейная плотность |
γ (x, y) = y e− x . |
|||||
2. |
Вычислить площадь |
плоской |
|
фигуры, ограниченной линиями |
|||
|
x = 4 −( y −1)2 , x = y2 − 4 y +3. |
|
|
||||
|
|
|
90 |
|
|
|
Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля
3. Найти объем цилиндрического тела, ограниченного поверхно-
|
стями |
z = 0, |
z = y, |
x2 + y2 = 9 |
( y ≥ 0) . |
|
|
4. |
Найти массу однородной плоской фигуры, лежащей в первой чет- |
||||||
|
верти |
и ограниченной |
линиями |
r = 2cos3ϕ, |
r = 3, ϕ = 0 |
||
|
(вне окружности). |
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить координаты центра тяжести плоской однородной фи- |
||||||
|
гуры, ограниченной линиями |
y = x3 − x, y = x4 −1. |
|||||
6. |
Найти |
статический момент относительно плоскости XOY одно- |
|||||
|
родной |
фигуры, |
ограниченной |
поверхностями |
z = 4 − x2 − y2, |
|
2z = 2 + x2 + y2 , |
если объемная плотность |
γ (x, y, z) = z . |
||||||||||||||||||
7. |
Вычислить работу, совершаемую силой |
|
F = x i − 2y j , по пере- |
||||||||||||||||||
|
мещению материальной точки под действием этой силы вдоль |
||||||||||||||||||||
|
линии, образованной контуром треугольника |
|
|
ABC: |
A(2; 0), |
||||||||||||||||
|
B(0; 2), С(2; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar = yz ir + |
z |
2 |
|
rj |
|
y |
2 r |
|
|
||||||
8. |
Найти циркуляцию вектора |
|
|
+ |
|
|
k |
по окружно- |
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
x = 4, y = 4 cos t, |
z = 4sin t . |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
сти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
Найти |
непосредственно и с помощью формулы Остроградского- |
|||||||||||||||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
|
F = (3x + 2 y − 6z) ri |
через внеш- |
|||||||||||||||||
|
нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор- |
||||||||||||||||||||
|
динатными плоскостями и плоскостью |
− x + y + z − 2 = 0. |
|
||||||||||||||||||
10. Показать, что поле вектора |
a |
является потенциальным, |
и найти |
||||||||||||||||||
|
|
|
r |
( |
|
|
|
) |
r |
|
4 |
3 |
y |
|
|
r |
r |
|
|||
|
его потенциал, |
a = x |
3 y − 2 y |
i + x2 |
|
− |
|
|
− 6z k . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 j |
Вариант 3.23
1. Вычислить массу неоднородной линии |
x = 3(cos t + t sin t ), |
91 |
|
Домашнее задание № 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = 3(sin t − t cos t), |
0 ≤ t ≤ 2π , |
|
если |
линейная |
плотность в |
||||||||||||
|
каждой точке |
γ (x, y) = |
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Вычислить |
площадь плоской |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
|||||||||||||
|
x = 27 − y2 , x = −6 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Найти объем |
фигуры, |
ограниченной |
поверхностями |
x = 0, |
|||||||||||||
|
x = 3y, z = 0, z =8, x2 + y2 =18 ( y ≥ 0). |
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Найти массу плоской фигуры, расположенной между двумя ок- |
|||||||||||||||||
|
ружностями |
x2 + y2 − 6 y = 0, |
x2 + y2 −8 y = 0 |
и двумя пря- |
||||||||||||||
|
мыми |
y = x, |
x = 0. |
Плотность |
γ (x, y) = x . |
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
|||||||||||||||||
|
ограниченной линиями |
y = x2 , |
y = 8 / x, x = 6. |
|
|
|
||||||||||||
6. |
Вычислить статический момент относительно плоскости XOY |
|||||||||||||||||
|
однородной фигуры, ограниченной плоскостью |
z = 3 |
и конусом |
|||||||||||||||
|
9(x2 + y2 ) = 4z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислить |
работу |
силы |
F = ( y2 − 2x) i +(2 y + x2 ) j |
по пе- |
|||||||||||||
|
ремещению материальной точки под действием этой силы по |
|||||||||||||||||
|
ломаной линии OAB: O(0; 0), |
A(1; 0), |
B(2; 2). |
|
|
|
||||||||||||
8. |
Найти циркуляцию вектора |
ar = yz i − xz j + xy k |
по окружно- |
|||||||||||||||
|
сти |
x = 6 cos t, y = 6sin t, |
z = 6, 0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
|
||||||||||||
9. |
Найти |
непосредственно и с помощью формулы Остроградского- |
||||||||||||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (6x − y + 6z) j через внешнюю |
||||||||||||||||
|
сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат- |
|||||||||||||||||
|
ными плоскостями и плоскостью |
3x − 6 y + 2z − 6 = 0. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
y r |
|
x |
r |
xy |
r |
|
||
10. Показать, что |
поле |
вектора |
|
a |
= |
|
i |
+ |
|
|
j −2 |
|
k |
(z > 0) |
||||
|
z 2 |
z 2 |
z3 |
является потенциальным, и найти его потенциал.
92
Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля
|
Вариант 3.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить массу отрезка |
прямой |
AB: |
A(1; 2), |
B(3; 6), |
если |
|||||||||||
|
линейная плотность |
γ (x, y) =1 |
x2 + y2 + 4 . |
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Вычислить площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
|
x = 0, |
|||||||||||
|
x = 72 − y2 , 6x = y2 |
|
(y ≥ 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
z = |
x2 + y2 , |
||||||||||||||
|
z = 0, |
x2 + y 2 =8x, |
|
x2 + y 2 =12x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Найти момент инерции относительно |
оси |
OY |
плоской фигуры, |
|||||||||||||
|
ограниченной |
линиями |
x =1, |
x = 4, |
y = 0, |
y = xe−x . |
|
Плот- |
|||||||||
|
ность фигуры |
γ (x, y) = 4 / x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Найти координаты центра |
тяжести |
плоской фигуры, ограничен- |
||||||||||||||
|
ной линиями |
x2 + y2 = 4, |
y = x ( y ≥ x), |
если |
плотность в |
||||||||||||
|
каждой точке |
γ (x, y) = |
|
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Найти |
массу пространственной фигуры, ограниченной |
поверхно- |
||||||||||||||
|
стями |
x = 0, |
y = 0, |
z = 0, |
x + y + z = 4, |
если объемная |
плот- |
||||||||||
|
ность |
γ (x, y, z) = 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
F = y2 ir + x2 rj , |
|
|
|||||
7. |
Вычислить работу, совершаемую силой |
по пе- |
|||||||||||||||
|
ремещению материальной |
точки |
под действием этой силы вдоль |
||||||||||||||
|
верхней половины эллипса |
|
x = 4 cos t, |
y = 5sin t, |
0 ≤ t ≤ π . |
||||||||||||
8. |
Найти |
циркуляцию вектора |
ar = y i + 2x j |
по линии, |
образо- |
||||||||||||
|
ванной контуром треугольника |
ABC: |
A(1; 1), |
B(2; 0), C(2; 2). |
|||||||||||||
9. |
Найти |
непосредственно |
и с помощью формулы Остроградского- |
||||||||||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (6x + y + 2z) k через внешнюю |
|||||||||||||||
|
сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат- |
||||||||||||||||
|
ными плоскостями и плоскостью |
6x + 2 y +3z − 6 = 0. |
|
|
|
93
Домашнее задание № 3
|
r |
r |
|
1 |
|
r |
r |
10. Показать, что поле вектора |
a |
= (x + y) i |
+ x + |
|
|
j |
+ z k |
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
( y > 0 ) является потенциальным, и найти его потенциал.
|
Вариант 3.25 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить массу отрезка |
прямой |
AB: |
A(1; 4; 3), |
B(1; 0; 6), |
||
|
если линейная плотность |
γ (x, y, z) = x |
2x +( y / 4)2 +(z / 3)2 . |
||||
2. |
Вычислить площадь |
плоской фигуры , ограниченной |
линиями |
||||
|
y = 3 − x2 , y = 3 − 3 − x2 . |
|
|
|
|||
3. |
Найти объем |
тела, |
ограниченного |
поверхностями |
z = y2, |
||
|
x + 2 y = 2, x =0, z = 0. |
|
|
|
|
||
4. |
Найти момент инерции относительно оси |
OY плоской фигуры, |
|||||
|
ограниченной |
линиями |
y2 −4 y + x2 = 0, y2 −8y + x2 = 0, |
|
y = x, x = 0 (x ≥ 0) , |
если плотность |
γ (x, y) =1 / y . |
||||
5. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
||||||
|
ограниченной линиями |
x =1, |
y = x +1, |
y = ex . |
|
||
6. |
Вычислить статический |
момент |
относительно плоскости XOY |
||||
|
однородной фигуры, ограниченной поверхностями |
x2 + y2 = 4, |
|||||
|
z = 8 − x2 − y2, |
z = 0. |
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить работу, совершаемую силой |
F = (cos y) i −(sin y) j , |
|||||
|
по перемещению |
материальной точки под действием этой силы |
|||||
|
вдоль ломаной линии ABC: |
A(2;–2), B(–2; 2), С(0; 2). |
|||||
8. |
Найти циркуляцию вектора |
ar = 3x2 y i + xz j + z2 k |
по линии, |
||||
|
образованной контуром треугольника ABC: A(3; 4; 0), B(0; 4; 0), |
||||||
|
C(0; 4; 6). |
|
|
|
|
|
|
9. Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-
94
Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля
Гаусса поток векторного поля F = (x + 6 y − 6z) i через внешнюю
сторону полной поверхности пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 3x + 2 y − 6z − 6 = 0.
10. Показать, что поле вектора a является потенциальным, и найти его потенциал, ar = (x5 y + y) ir +(x 6 / 6 + x) rj + z k .
|
Вариант 3.26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить |
массу неоднородной линии, заданной уравнениями |
|||||||||||||
|
x = 5(t −sin t ), |
y = 5(1− cos t ), |
0 ≤ t ≤ π, |
если линейная плот- |
|||||||||||
|
ность γ (x, y) = |
10 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
|
x = 4, |
||||||||
|
y = 3 |
x, |
y = |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти объем тела, |
ограниченного поверхностями |
y = 0, |
z = 0 , |
|||||||||||
|
y = 5x, |
z = |
3 x, x2 + y2 = 50 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти массу плоской фигуры, |
ограниченной линиями |
y = |
1 |
x , |
||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y = |
3 x, x2 + y2 −8x = 0 , |
если плотность |
γ (x, y) = |
x2 + y2 . |
||||||||||
5. |
Вычислить координаты центра тяжести плоской однородной фи- |
||||||||||||||
|
гуры, |
ограниченной |
линиями |
y = sin 2x, |
y = cos 2x, |
y = 0, |
|||||||||
|
0 ≤ x ≤ π / 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Вычислить |
момент инерции относительно оси |
OZ фигуры, огра- |
||||||||||||
|
ниченной поверхностями |
z = x2 + y 2 +1, |
z = 9 − x2 − y 2 , |
|
если |
||||||||||
|
объемная плотность |
γ (x, y, z) = 5 / (x2 + y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
Вычислить работу, |
совершаемую силой F = tg(x + y) ri + sin x j , |
|||||||||||||
|
по перемещению материальной точки под действием этой силы |
||||||||||||||
|
вдоль ломаной линии |
ABC: A(1; 2), B(–1; 3), |
C(2; 2). |
|
|
|
95
Домашнее задание № 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Найти |
циркуляцию |
вектора |
ar = 5x2 y ir + y rj − 2z k |
по |
линии, |
||||||||
|
образованной контуром треугольника |
ABC: A(2; 4; 3), |
B(2; 0; 0), |
|||||||||||
|
C(2; 4; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Найти |
непосредственно и с помощью формулы Остроградского- |
||||||||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (x − 6 y + 6z) j через внешнюю |
||||||||||||
|
сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат- |
|||||||||||||
|
ными плоскостями и плоскостью |
x + y + z +1 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||
10. Показать, что поле вектора |
ar |
= 3x2 ir+ z 2 rj +2 yz kr |
является |
|||||||||||
|
потенциальным, и найти его потенциал. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вариант 3.27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить массу цепной линии |
y = 2( ex / 4 + e−x / 4 ) , |
0 ≤ x ≤ 4, |
|||||||||||
|
если линейная плотность γ (x, y) = e x / ( e x / 4 +e−x / 4 ) . |
|
|
|||||||||||
2. |
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
y = x, |
||||||||
|
y = −x, |
x2 + y 2 = −2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями |
x + y = 8, |
||||||||||||
|
y = 4x, z = 3y, z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Вычислить момент инерции относительно оси OX плоской не- |
|||||||||||||
|
однородной фигуры, ограниченной линиями |
y = 0 , |
y = |
3 x , |
||||||||||
|
x2 − 4x + y2 = 0, |
x2 −8x + y2 = 0 |
|
(между окружностями), |
||||||||||
|
если плотность γ (x, y) = 3 / (x2 + y2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Найти |
координаты |
центра тяжести плоской однородной фигуры, |
|||||||||||
|
ограниченной линиями |
y = arcsin x, |
y = arccos x, |
y = 0 . |
|
|||||||||
6. |
Найти массу фигуры, ограниченной поверхностями |
y = 0 , |
y = 4 , |
|||||||||||
|
z = 6 − x2 , |
z = 2 + x2 , |
если плотность |
γ (x, y, z) = 2z + y . |
|
|||||||||
7. |
Вычислить |
работу, |
совершаемую силой |
F = y i − x j , |
по |
пе- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
96 |
|
|
|
|
|
|
|
Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля
|
ремещению материальной |
точки |
под |
действием этой силы |
|||||||||
|
вдоль циклоиды x = 3(t −sin t ), |
y = 3(1− cos t ), |
|
0 ≤ t ≤ 2π. |
|||||||||
8. |
Найти циркуляцию вектора |
ar = (5x − y) i +(x − y) j |
|
вдоль ок- |
|||||||||
|
ружности x2 + y2 = 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского- |
||||||||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (−2x + 6 y + 3z) k |
через внеш- |
||||||||||
|
нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор- |
||||||||||||
|
динатными плоскостями и плоскостью |
− 2x + y + z − 2 = 0. |
|||||||||||
|
|
r |
|
|
z 2 r |
|
z 2 x r |
2zx |
r |
( y > 0 ) |
|||
10. Показать, что поле вектора |
a |
= |
|
|
i |
− |
|
j + |
|
k |
|||
|
y |
y 2 |
y |
является потенциальным, и найти его потенциал.
|
Вариант 3.28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Найти массу дуги астроиды |
x = 3cos3 t, |
y = 3sin3 t , |
0 ≤ t ≤ π , |
|||||||
|
если линейная плотность |
γ(x, y) = x . |
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной линиями |
y =1, |
y = 6 , |
|||||||
|
y =1 / x, |
y = 6 ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти |
объем фигуры, |
ограниченной |
поверхностями |
z = 0, |
||||||
|
z = 4 − |
x2 + y2 , |
x2 + y 2 = 4x |
(внутри цилиндра). |
|
|
|||||
4. |
Найти момент инерции относительно оси OX |
плоской фигуры, |
|||||||||
|
ограниченной линиями |
x = 0, y = 4, y = 2x . |
Плотность |
в ка- |
|||||||
|
ждой точке γ (x, y) = e−xy . |
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной |
||||||||||
|
линиями |
x = 0, |
x =1, |
y =1, |
y = − |
2x − x2 . |
|
|
|
||
6. |
Вычислить статический |
момент |
относительно |
плоскости |
YOZ |
||||||
|
фигуры, |
ограниченной плоскостью x + y + z = 4 |
и |
координат- |
|||||||
|
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание № 3 |
|
|
|
|
|
||||
|
ными плоскостями. |
Объемная плотность |
γ (x, y, z) = y . |
||||||
7. |
Вычислить работу, совершаемую силой F = (5y + x) i − y x j , по |
||||||||
|
перемещению |
материальной |
точки |
под |
действием этой силы |
||||
|
вдоль контура |
x = 5cos t, |
y = 5sin t, |
0 ≤ t ≤ π . |
|
||||
8. |
Найти |
циркуляцию |
вектора |
a |
по |
окружности |
x2 + y2 = 4, |
||
|
z = 3, |
где ar = (x −3y) i +(z −3x) j + (x − z) k . |
|
||||||
9. |
Найти |
непосредственно и с помощью формулы Остроградского- |
|||||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (3x + 2 y + 6z) i |
через внеш- |
||||||
|
нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор- |
||||||||
|
динатными плоскостями и плоскостью |
x + y − 2z + 2 = 0. |
|||||||
10. Показать, что поле вектора |
ar = (2x ln y) ri +(x2 / y) rj ( y > 0 ) |
является потенциальным, и найти его потенциал.
|
Вариант 3.29 |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить момент инерции относительно оси OY линии |
y = |
4 |
, |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
γ (x, y) = x3 . |
|
x |
||
|
1 ≤ x ≤ 4, |
если плотность |
|
|
|
|||||
2. |
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями |
|||||||||
|
x = 0, |
|
y2 −6 y + x2 = 0, |
y2 −10 y + x2 = 0, y = x 3 |
|
|
|
|||
|
(между прямыми). |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Найти |
|
объем тела, ограниченного |
поверхностями x + y = 3, |
||||||
|
z = 4x2 + 2 y2 +1, |
x =0, y =0, z =0. |
|
|
|
|||||
4. |
Найти |
массу плоской фигуры, ограниченной линиями |
x = 0, |
|||||||
|
y = 0, |
|
1 |
x2 + y 2 |
=1 (x ≥ 0, y ≥ 0) , |
если плотность в каждой |
||||
|
16 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
точке |
γ (x, y) =16 x y3. |
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, |
98
Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля
|
ограниченной линиями |
y = −x2 + 4x, |
y = 0. |
|
|||
6. |
Вычислить |
статический |
момент относительно плоскости XOY |
||||
|
однородной |
фигуры, ограниченной поверхностями |
z = 1 и |
||||
|
z = 5 − x2 − y2 . |
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить работу силы |
F = (x2 −3y) ir + (x + 3y 2 ) rj |
по пере- |
||||
|
мещению материальной точки под действием этой силы вдоль |
||||||
|
ломаной линии ABC: |
A(1; 1), |
B(2; 3), |
С(4; 0). |
|
||
8. |
Найти циркуляцию вектора |
ar = xz i +( y + 2xz) j + z k |
по ок- |
||||
|
ружности |
x = 5cost, |
y = 5sin t, |
z =1, |
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
9. |
Найти непосредственно |
и с помощью формулы Остроградского- |
|||||
|
Гаусса поток векторного поля |
F = (x −3y + 5z) j через внешнюю |
|||||
|
сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат- |
||||||
|
ными плоскостями и плоскостью |
x − 2 y + z − 2 = 0. |
|
||||
10. Показать, |
что поле вектора |
ar = 3x 2z ir − 2 y rj + x3 k |
является |
потенциальным, и найти его потенциал.
|
Вариант 3.30 |
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить массу |
линии |
y = ln(x + 2), |
0 ≤ x ≤ 4, |
если |
линей- |
||
|
ная плотность |
γ (x, y) = (x + 2)2. |
|
|
|
|||
2. |
Вычислить |
площадь фигуры, ограниченной линиями |
x = 4, |
|||||
|
y = x / 2, |
y =1 / (2x). |
|
|
|
|||
3. |
Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями |
x = 0, |
z = 0, |
|||||
|
x = |
5y, |
x2 + y2 = 50, |
z = 6 y / 11. |
|
|
|
|
4. |
Вычислить момент инерции относительно начала координат пло- |
|||||||
|
ской |
неоднородной фигуры, ограниченной лемнискатой Бернул- |
||||||
|
ли |
(x2 + y2 )2 = 4xy |
(x ≥ 0, y ≥ 0), |
если плотность фигуры |
99