linear_algebra_2

7. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Полученный определитель можно разложить в сумму двух определителей. Один из них является исходным, другой содержит две пропорциональные строки и, следовательно, равен нулю.

8. Сумма произведений элементов одной строки матрицы на алгебраические дополнения к элементам другой строки этой матрицы равна нулю.

Умножим элементы i-й строки на алгебраические дополнения элементов j-й строки и составим сумму :

n

X

ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin = aij Aij : j=1

Данная сумма равна определителю матрицы, у которой на месте j-й строки стоит i-я :

Вычисление определителя

Существует несколько способов вычисления определителя. Удачно выбранный способ позволяет существенно сократить вычисления

Пример

так как в последней матрице вторая и третья строки совпадают. Под выражением I3 := I3 I2 мы понимаем вычитание второй строки из

третьей, и т.д.

Пример

из первого, а выражение LJ1 разложение определителя по первому столбцу.

Обратная матрица

Определение 1.15

Матрица jAj называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т.е. jAj =6 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Определение 1.16

матрица A 1 называется обратной по отношению к квадратной мат-

Следующая теорема устанавливает связь между невырожденностью матрицы и существованием для нее обратной.

Теорема 1.2

Обратная матрица A 1 существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица A невырожденна.

Доказательство

Необходимость. Пусть матрица A имеет обратную A 1. Тогда A 1 A = A A 1 = E . Используя свойства определителя, получаем

jA 1 Aj = jA 1j jAj = jE j = 1;

откуда следует, что jAj 6= 0, и матрица A невырождена.

Достаточность. Пусть матрица A является невырожденной. Построим новую матрицу AP , элементами которой являются алгебраи- ческие дополнения элементов матрицы AT . Назовем матрицу AP присоединенной. Тогда

Единственность обратной матрицы.

Пусть кроме обратной матрицы A 1 существует еще одна обратная

матрица X 6= A 1. Тогда выполняется равенство X A = E . Умножим обе части равенства на матрицу A 1 справа. Тогда X A A 1 = E A 1. Произведение в левой части вычислим следующим образом :

X A A 1 = X (A A 1) = X E = X ;

а в правой части произведение равно A 1. Значит X = A 1.

Свойства обратных матриц

1. (A 1) 1 = A.

Матрица (A 1) 1 по определению удовлетворяет равенству (A 1) 1 A = E . С другой стороны, справедливо равенство

A A 1 = E . Из свойства единственности обратной матрицы следует, что (A 1) 1 = A.

2. (AT ) 1 = (A 1)T .

Умножим матрицы, стоящие в левой и правой частях равенства слева на матрицу AT :

AT (AT ) 1 = E ; AT (A 1)T = (A 1 A)T = E :

По свойству единственности обратной матрицы это означает, что

(AT ) 1 = (A 1)T . 3. (Am) 1 = (A 1)m.

Умножим обе матрицы слева на Am :

Am (Am) 1 = E ; Am (A 1)m = A ::: A A 1 A 1 ::: A 1 = E :

4. jA 1j = jA1j.

Воспользуемся свойством определителей для равенства

A 1 A = E :

jA 1 Aj = jA 1j jAj = jE j = 1:

Поэтому jA 1j = jA1j.