Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

linear_algebra_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

760.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Определение 1.14

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком ( 1)i+j :

Aij = ( 1)i+j Mij :

(1.2)

Пример

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

						2	1	3
						1	1	2
				A = 4 2			2	15:
		2			1	1	2	1		1		1
A11 = ( 1)1+		2			1	= 4; A12 = ( 1)1+				1		1	= 1;
	1		2		1				2		2	1




()											15 февраля 2012 г. 31 / 82

A13 = ( 1)1+3		1 2				= 6; A21 = ( 1)2+1 2							1		= 3;
			2	2							1		2

A22 = ( 1)2	+2	1		2		=		3; A23 = ( 1)2	+3	1		1			3;
A22 = ( 1)2						=		3; A23 = ( 1)2				2		=	3;
		1		1						1		2

A31 = ( 1)3	+1		1 2			=		5; A32 = ( 1)3	+2		1	2		= 5;
A31 = ( 1)3						=		5; A32 = ( 1)3			2			= 5;
			2 1								2	1




A33 = ( 1)3+3			1		1		= 0:
A33 = ( 1)3+3		2		2			= 0:

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

()

15 февраля 2012 г.

32 / 82

Теорема 1.1 (Лапласа)

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения :

= ais Ais :	(1.3)
s=1

Данная формула называется разложением определителя по элементам i-й строки; i = 1; 2; ; n. Также можно записать формулу разло-

жения определителя по элементам j-го столбца

= asj Asj ;	(1.4)
s=1

j = 1; 2; ; n.

()

15 февраля 2012 г.

33 / 82

Пример

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его по элементам первой строки :

a11

a12

a13

= ( )

a32 a33

+ ( )

a31 a33

a31 a32

a33

a21

a22

a23

a11 1 1+1

a12 1 1+2

+ a13( 1)1+

a21

a22

a31 a32

= a11a22a33 a11a23a32 a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31:

()

15 февраля 2012 г.

34 / 82

Пример

Вычислить определитель треугольной матрицы

	2a0		a22 a23			0 3
		11	a12	a13		0
A =	6: : : : : : : : : : : : : : :				: : : : : : : :7			:
	6						7
	6	0	0	a33		0	7
	6	0	0	0		ann	7
	6						7
	4						5

Для вычисления определителя несколько раз применим теорему Лапласа :

a22 a23

a2n

a0 a33

a3n

A =

a11

a12

a13

a1n

= a11

a23

a2n

0 a33

a3n

j j

: : : : : : : : : :

: : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : :

ann

a33 a3n

=a11a22 : : : : : : : : : : : : : = = a11a22a33 : : : ann:

	0	ann


()			15 февраля 2012 г.	35 / 82

Мы убедились, что определитель треугольной матрицы равен про- изведению ее диагональных элементов.

Свойства определителей

1. Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

Для доказательства этого свойства достаточно разложить определитель по нулевой строке или нулевому столбцу.

2. Если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на число , то ее определитель также умножится на

число .

Умножим строку или столбец на число , разложим определитель по этой строке или этому столбцу, вынесем число за скобки и свернем оставшееся выражение в скобках в исходный определитель.

3. При траспонировании матрицы ее определитель не меняется : jAT j = jAj.

Разложим определитель jAj по первой строке, а определитель jAT jпо первому столбцу. Результат будет одинаков.

()

15 февраля 2012 г.

36 / 82

4. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак.

В определителе

a11 a12 ::: a1n

j	A 1 =		a21			a22			::: a2n
j	j	a		n	1	a	n	2	:::	ann
				n			n		:::
			: : : : : : : : : : : : : : : : :

переставим, например, первую и вторую строки. Получим

a21 a22 ::: a2n

2 =

a11

a12

::: a1n

:::

ann

: : : : : : : : : : : : : : : : :

Разложим определитель

1 по первой строке,

1 по первой.

Получим

()

15 февраля 2012 г. 37 / 82

jAj1 = a21M21 + a22M22 + + ( 1)2+na2n; jAj2 = a21M21 a22M22 + + ( 1)1+na2n;

откуда следует jAj2 = jAj1.

Теперь будем последовательно переставлять соседние строки : сначала i-ю и (i + 1)-ю, затем (i + 1)-þ è (i + 2)-þ è ò.ä. k ðàç. Ïðè

этом i-я строка опустится на k строк вниз, а все строки от (i + 1)-é äî (i + k)-й поднимутся на одну строку вверх. В результате таких

перестановок определитель поменяет знак k раз. Теперь будем последовательно переставлять строки с номерами (i + k 1) è

(i + k 2), è ò.ä., (i + 1) и i. При этом определить поменяет свой знак еще k 1 раз. В результате строки с номерами i и i + k

поменялись местами, все остальные строки остались на своих местах, а определитель поменял знак 2k 1 раз, что равносильно

простому изменению знака.

()

15 февраля 2012 г.

38 / 82

5. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

При перестановке двух строк определитель изменит знак. Переставим местами две одинаковые строки. Определитель не изменится. Значит jAj = jAj. Отсюда следует, что jAj = 0.

6. Определитель, содержащие две пропорциональные строки или столбца, равен нулю.

Вынесем коэффициент пропорциональности за знак определителя. В нем образуются две одинаковые строки. Поэтому такой определитель равен нулю.

7. Определитель можно разложить на сумму определителей.

Представим элементы i-й строки в виде суммы двух слагаемых :

()

15 февраля 2012 г.

39 / 82

	: : : :a: : : : : : : :				:	:	: : : : : : : : : : : :
A =			11				a1n
A =	b1 + c1						bn + cn
j j
j j	: : : : : : : : : : : : : :						: : : : : : : : : : : :

		a		1			ann	;
			n					;

где и некоторые числа. Разложим определитель по i-й строке, используя алгебраически дополнения. Тогда

jAj = ( bj + cj )Aij = bj Aij +

j=1

cj Aij = jAj1 + jAj2;

j=1

ãäå

:a: : : :

: : : : : : :

: : : : :

: : : : : : : : :

A 1 =

a1n

;

A 1 =

a11

a1n

j j

: : : : :

: : : : : : : : :

: : : : :

: : : : : : : : :

ann

;

()

15 февраля

2012 ã. 40 / 82

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.2015677.5 Кб28lektsii_vse.docx
#
13.11.2019124.25 Кб9lex10 (uprav den potok).rtf
#
13.11.20191.19 Mб7lex11(uprav zapas).rtf
#
12.09.2019478.72 Кб32LEXIKOLOGIE.doc
#
18.03.2016373.76 Кб703LEXIKOLOGIE[1].doc
#
17.05.2015760.42 Кб12linear_algebra_2.pdf
#
21.08.201954.18 Кб5Logika.docx
#
13.08.2019117.49 Кб11logika_1Yurfak.docx
#
16.12.201822.84 Кб4logika_3 тема конт.вопросы .docx
#
17.05.2015267.78 Кб18Lr1.doc
#
21.09.2019762.88 Кб4LR_310_Kvant_fizika_Izuchenie_spektra_atoma_vod...doc