Уравнение гармонических колебаний

Уравнение (1)

                            дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде

        дважды продифференцируем его по времени:

        

        

        Видно, что выполняется следующее соотношение:

              ⁽²⁾

которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и _); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.

Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

  

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

  

Все проецируем на ось ОХ:

  

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

  

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

  

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

  

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

  

Так же есть:

Период математического маятника  

Период физического маятника  

Период крутильного маятника  

В Формуле мы использовали :

 — Период пружинного маятника маятника

 — Масса груза

 — Изменение длины пружины

 — Коэффициент упругости пружины

 — Ускорение свободного падения

 — Циклическая частота пружинного маятника

 — Сила реакции опоры

 — Сила упругости

Параметры гармонических колебаний

Для изучения колебательного движения нам придется ввести несколько терминов – параметров колебательного движения.  Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x.  Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обозначается буквой A.  Выражение, стоящее под знаком синуса или косинуса в формуле (1.1.2)  φ = ωt + φ0, определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания.  Если  t = 0, то φ = φ0. Поэтому  φ0  называется начальной фазой колебания. Фаза измеряется в радианах и определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Т.к. синус и косинус изменяются в пределах от -1 до +1, то х может принимать значения от -А до +А (рис. 1.2).  Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например от  x = A  к  x = –A  и обратно в  x = A, называется полным колебанием. Частота колебаний ν определяется как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, как правило, измеряют в герцах (Гц): 1 Гц равен 1 полному колебанию в секунду. Очевидно, что   .  (1.2.1)    Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание   .  (1.2.2)    ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд:   ω = 2π ν.  (1.2.3)          Заметим, что фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t.         Например, при  φ0 = 0  мы имеем  x (t) = A cos ωt, как на рис. 1.2, а при  φ0 = –π/2 - чистую синусоиду  x (t) = A cos (ωt – π/2) = sin ωt.         Таким образом, гармонические колебания являются всегда синусоидальными.         Кроме того, заметим, что частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды. Изменяя амплитуду колебаний груза на пружине, мы не изменяем частоту колебаний этой системы.         Колебания характеризуются не только смещением, но и скоростью vx и ускорением ax.         Если смещение описывается уравнением  x = A sin (ωt + φ0), то по определению   ,  (1.2.4)     .  (1.2.5)   В этих уравнениях  vm = ωA – амплитуда скорости;  vm = –ω2A – амплитуда ускорения.         Из уравнений (1.2.4) и (1.2.5) видно, что скорость и ускорение также являются гармоническими колебаниями.

Скорость, ускорение и сила в гармоническом колебательном движении

Физический маятник, период колебаний. Приведенная длина.

Физический маятник – это твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела. Законы теплового излучения Энергию, излучаемую с единицы поверхности нагретого тела и приходящуюся на единичный диапазон частот, называют спектральной испускательной способностью тела или спектральной плотностью энергетической светимости (rω,Т ).

Если маятник отклонен от положения равновесия на угол , то момент М возвращающей силы можно записать в виде , где I- момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точкуО , l- расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, Fт - возвращающая сила (знак « - « обусловлен тем что Fт и  всегда противоположны). Это уравнение можно записать в виде 

Решением этого уравнения является из этого выражения следует что физ. маятник совершает гармонич. колебания с частотой 0 и периодом 

L- приведенная длина физ. маятника. 

 В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. В продольных волнах вследствие совпадения направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения.

Энергия колеблющегося тела

Кинетическая энергия:

Потенциальная энергия:

Учитывая то, что т.е. , последнее выражение можно записать в виде:

Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий