2.4 Дополнение к множеству. Определение 1.7

 

 Пусть В  А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают  или .

  Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут        или .

 

Определение 1.8

  Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех  тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают      или .

 Это определение может быть записано в виде:

 

 = {x  xA}.                                                                                 (10)

 

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           рис. 19                                                                      рис. 20

 

Тема 2. Матрицы

1^о .Основные определения.

Пусть – коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Матрицей размеров над кольцом называется прямоугольная таблица изэлементов кольцаи имеющаястрок истолбцов:

где – номер строки,– номер столбца,− элементы матрицы,и− порядки матрицы. В этом случае говорят, рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называетсяквадратной, а число – её порядком.

Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:

или .

Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы,, либо с разъяснением:.

Множество всех матриц размера обозначается.

Частные случаи матриц.

1. Если , то матрица называетсяквадратной. Её диагональ называетсяглавной диагональю, а –побочной диагональю.

2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. .

3. Диагональная матрица вида называетсяскалярной.

4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или, где– ее порядок.

5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .

6. Если , то матрица называетсястрокой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец.

Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

2^о. Операции над матрицами и их свойства.

Определение 3. Суммой матриц и(т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица:.

Обозначение: .

Замечание. Сумма матриц – алгебраическая операция.

Пример.

.

Свойства (сложения матриц).

1) Коммутативность сложения, т.е., справедливо.

2) Ассоциативность сложения, т.е., справедливо.

3) .

4) . При этом, если, то. Матрицаназываетсяпротивоположной к и обозначается.

Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.

Теорема 1. Множество относительно сложения образует абелеву группу.

Доказательство следует из свойств 1)–4).

Определение 4. Произведением элемента на матрицуназывается матрица

Обозначение: .

Операция, сопоставляющая иих произведениеназываетсяумножением элемента кольца на матрицу.

Свойства (умножения матрицы на элемент кольца).

выполняется

1) .

2) .

3) .

4) .

Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.

Замечание. Разность двух прямоугольных матрициопределяется равенством.

Определение 5. Произведением матриц размераиразмераназывается матрицаразмеровтакая, что каждый элемент.

Обозначение: .

Операция произведения наназываетсяперемножением этих матриц.

Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в–ой строке и–ом столбце, равен сумме произведений элементов–ой строки матрицына–ый столбец матрицы.

Примеры.

1) ,

2) .

Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы. Тогда матрицаназываетсясогласованной с . Из согласованностисне следует согласованностьс. Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае.

Свойства (умножения матриц).

1) Ассоциативность умножения матриц, т.е., справедливо.

Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицыравен, а элементматрицыравен. Равенствоследует из возможности изменения порядка суммирования.

2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,

, .

, .

Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.

3) .

Доказательство. Пусть, и. Тогда. Здесь– символ Кронекера.

.

4) .

5) .

Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).

6) .

Теорема 2. Множество квадратных матриц порядканад кольцомотносительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.

Доказательство. Из теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы изсогласованыумножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2) и 1). Свойство 3) демонстрирует наличие единицы.■

Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,

.

Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы наикоммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.

3^о. Блочные матрицы.

Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называетсяблоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая,блочная матрица , элементами которой являются блокиуказанной матрицы (– элементы матрицы, поэтомузаглавное). Здесь– номер блочной строки,– столбца.

Например, если

, то ,

, ,.

Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то, гдевычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, еслииимеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то суммеотвечает блочная матрица:.

Для умножения нанеобходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блокаравно числу строк блока. Тогда.

Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть. Если, тои, откуда следует, что

, что и требовалось доказать.

Пример. Пусть ,, т.е.,

, ,

где

,

.

Тогда . Аналогично находятся остальные. В результате получаем

.

В качестве применения блочных матриц рассмотрим

Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядковсоответственно называется квадратная матрицапорядка:.

Обозначение: .

Свойства (прямой суммы).

1) .

2) .

3) .

4) .