§ 2. Математическое моделирование. Общая структура

При определении элементов математической модели и этапов формализации (определение этих понятий см. во введении) мы будем исходить из того, что в ИО и МП изучаются задачи принятия решения и, как частный случай, задачи оптимизации (определение см. во введении).

Одним из основных требований к составлению математических моделей является учет основных факторов проблемы. Для выявления основных элементов моделей задач, принятия решения требуется ответить на следующие вопросы:

-Кто принимает решение ?

-Каковы цели принятия решения для каждого ЛПР ?

-В чем состоит принятие решения ?

-Каковы возможности ЛПР (с точки зрения принятия решений)?

-При каких условиях происходит принятие решения?

Формализуя (описывая математически) ответы на эти вопросы мы получим требуемую модель задачи.

Пример 1.(планирование суточного выпуска продукции). Процесс изготовления изделий двух видов состоит в последовательной обработка каждого из них на трех станках. Известны: время эксплуатации каждого станка в сутки, обработки единицы каждого изделия на каждом станке, стоимость реализации единицы каждого изделия.

Требуется составить для фирмы план суточного выпуска изделий так, чтобы доход от их продажи был максимальным.

При анализе упомянутых важнейших факторов будем исходить только из условия задачи. Здесь:

ЛПР -планирующий орган (фирма);

Цель -максимизация дохода от продажи выпущенных за сутки изделий двух видов;

принятие решения для ЛПР состоит в определении суточных объемов выпуска каждого из двух видов изделий;

возможности ЛПР ограничены временными ресурсами эксплуатации станков трех видов -о других ограничениях или условиях в задаче ничего не говорится.

После выявления важнейших факторов нужно анализировать все параметры задачи: значение каких параметров известно (задано), какие параметры являются неизвестными (искомыми) величинами; какими из параметров мы можем управлять (управляемые переменные), а какими нет (неуправляемые параметры).

В нашем примере известными являются следующие параметры:

• суточная норма b₁эксплуатации станка 1;

• -суточная норма b₂эксплуатации станка 2;

• суточная норма b₃эксплуатации станка 3;

• время a_ijобработки единицы изделия видаi(i=l,2) на станке типаj(j=1,2,3);

• стоимость с₁ (продажи) единицы изделия вида 1;

• стоимость c₂(продажи) единицы изделия вида 2;

Все эти параметры являются неуправляемыми, т.к. они заданы (их значения можно найти в справочниках, нормативах или определить из прошлого опыта). Неизвестными или искомыми являются следующие величины:

-объем суточного выпуска изделия вида 1;

-объем суточного выпуски изделия вида 2.

Эти два параметра можно считать управляемыми, т.к. фирма сама определяет их величину (исходя из реальных условий).

Далее для составления математической модели задачи нужно ввести систему обозначений неизвестных параметров задачи.

В нашем примере обозначим:

x₁- объем суточного выпуска изделия вида 1,

x₂- объем суточного выпуска изделия вида 2.

Тогда доход от продажи x₁иx₂есть:

c₁ x₁ + c₂ x₂,

а время, необходимое для обработки x₁,x₂единиц изделий на станкеj, есть

a_ijx₁ +a_2jx₁(j=l,2,3).

Теперь первоначальную задачу можно сформулировать математически:

максимизировать c₁ x₁ + c₂ x₂,

выбирая x₁и x₂из условия

a₁₁ x₁ + a₂₁ x₂ b₁,

a₁₂ x₁ + a₂₂ x₂ b₁,

a₁₃x₁ +a₂₃x₂b₁,