Вопрос 7

Неопределённый интегра́л .

Неопределённый интегра́л для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1

2 (или ).

Вопрос 8

Интеграл функции — является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Методы: а) Непосредственное интегрирование (метод разложения)- метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. б) Метод замены переменной (метод подстановки) - Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. в) Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких, то справедлива следующая формула: Предполагается, что нахождение интеграла становится проще.

Вопрос 9

Определенный интеграл численно равен площади части графика функции, от которой он берется, в определённых пределах, т. е. равен площади криволинейной трапеции. Причем площади на интервале интегрирования. Определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется пределинтегральной суммы (1), когда число участков разбиения стремится к бесконечности, а

длина каждого из них стремится к нулю:=a_i)∆x_i Где a и b называются пределами интегрирования, причем а – нижний предел

интегрирования, а b – верхний предел интегрирования.

Вопрос 10

Любая непрерывная на отрезке функция f(x) имеет на этом отрезке первообразные, причем функция Ф(х) – интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для f(x). А так как всякая другая первообразная для функции f(x) может отличаться от Ф(х) только на постоянную, то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде: ∫f(x)dx= Вопрос 11

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ),в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными, в которых входящие функции зависят от многих переменных. Если диф. уравнение содержит только одну переменную х, то говорят, что это диф. ур. обыкновенное Порядком или степенью дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Диф. Ур. С разделяющимися переменными обусловлены тем, что все остальные типы сводятся к уравнению с разделяющимися переменными. Имеет следующий вид: Р(х)+Q(Y)=0, Р(х)+Q(Y)dy =0,D(Y)+S(Y)+C=0.