4. Метод Гаусса решения систем линейных, уравнений.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;

2. умножение строки на число, отличное от нуля;

3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

1. 

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

2. 

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

3. 

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений. 

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

4. Векторы. Способы задания векторов. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), их свойства.

4. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

4. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.

Система векторов (a1, a2, . . . , ak ) называется линейно зависимой, если

существуют такие скаляры γ1, γ2, . . . , γk ∈ F, не все равные нулю, что

γ1a1 + γ2a2 + . . . + γk ak = 0V .

• Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно

зависима.

• Любая система векторов, содержащая два одинаковых вектора,

линейно зависима.

• Любая система из двух коллинеарных векторов линейно зависима.

• Любая система из трех компланарных векторов линейно зависима.

Если ai = 0V , то положим γi = 1 и γj = 0 при j 6= i. Тогда

γ1a1 + γ2a2 + . . . + γk ak = 0V . Этим доказано утверждение 1.

Если ai = aj , то положим γi = 1, γj = −1 и γm = 0 при m 6= i, j. Тогда

γ1a1 + γ2a2 + . . . + γk ak = 0V . Этим доказано утверждение 2.

Если система векторов имеет линейно зависимую подсистему, то она сама

линейно зависима.

Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда,

когда в ней найдется вектор, который линейно выражается через

остальные векторы этой системы.

Если система векторов (a1, a2, . . . , ak ) линейно независима, а система

(a1, a2, . . . , ak , b) линейно зависима, то (a1, a2, . . . , ak ) ` b.

Если для систем векторов имеет место (a1, a2, . . . , ak ) ` (b1, b2, . . . , bm) и

k < m, то система (b1, b2, . . . , bm) линейно зависима.

Тройка векторов →e₁, →e₂, →e₃ называется базисом в трехмерном пространстве геометрических векторов V₃, если любой вектор→x  V₃ может быть единственным образом представлен в виде →x = α · →a + β · →b + γ · →c, где α, β, γ — некоторые числа, называемые координатами вектора →x в базисе →e₁, →e₂, →e₃.

В трехмерном пространстве V₃ любая тройка некомпланарных векторов образует базис.

В двумерном пространстве V₂ любая пара неколлинеарных векторов образует базис.

В фиксированном базисе для любых векторов →x = α₁ →e₁ + β₁ →e₂ + γ₁ →e₃   и →y = α₂ →e₁ + β₂ →e₂ + γ₂ →e_{3 ,}

→x + →y = (α₁ + α₂) →e₁ + (β₁ + β₂) →e₂ + (γ₁ + γ₂) →e₃,

λ · →x = λ · α₁ →e₁ + λ · β₁ →e₂ + λ · γ₁ →e₃,

т.е. при сложении векторов их координаты складываются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

4. Скалярное произведение двух векторов: понятие, свойства, вычисление.

4. Векторное произведение двух векторов: понятие, геометрический смысл, свойства, вычисление.

4. Смешанное произведение трех векторов: понятие, геометрический смысл, свойства, вычисление.

Смешанным произведением векторов →a, →b и →c называется число, обозначаемое (→a, →b, →c) и определяемое равенством (→a, →b, →c) = ( [→a, →b ], →c),

т.е. векторное произведение двух векторов [→a, →b] умножается скалярно на третий вектор →c.

По определению скалярного и векторного произведений имеем

(→a, →b, →c) = ([ →a, →b ], →c )  =  | [→a, →b ] | · |→c | · cosθ =

= | →a | · |→b| · sin · |→c | · cosθ = ± Vпараллелепипеда,

причем знак + берется в том случае, когда угол θ острый, т.е. тройка векторов →a, →b, →c — правая, знак − берется в том случае, когда угол θ тупой, т.е. тройка векторов →a, →b, →c — левая.

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов (→a, →b, →c) равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком +, если тройка векторов →a, →b, →c — правая, и со знаком −, если тройка векторов →a, →b, →c — левая.