Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УП 1 Мусин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

3.3. Использование математических методов при расчетах процесса разработки

Движение жидкостей в пласте, представляющем собой пористую

среду, описывается дифференциальными уравнениями в частных произ-

водных. Они выводятся из закона Дарси и уравнения неразрывности. НИ

В простейших случаях их решают аналитически, а в более полной

форме – с применением приближенных и численных методов.

АГ

Точные решения

К числу точных можно отнести следующие методы решения задач

математической физики:

∙

функций комплексного переменного (см. задачи 1 и 2),

∙

интегрального преобразования Лапласа,

ка

∙

получения автомодельного решения (см. задачу 3)

∙

разделения переменных (см. задачу 4) и др.

Методы функций комплексного переменного являются классиче-

скими методами решения плоских задач (двумерных) установившейся

фильтрации несжимаемой жидкости, которыеи

рассмотрим на примере

следующих двух задач.

Задача 1. Плоское движение однородной несжимаемой жидкости в

однородном недеформируемом бесконечном пласте с точечным источни-

ком описывается уравнением Лапласа :

∂2 (kp / μ)

и∂2

(kp / μ)

= 0. (3.4)

∂x

∂y

За точечный источник принимается скважина с нулевым радиусом.

Из курса «Меха ика сплошных сред» известно, что рассматриваемое

ая

в данной задаче движе ие жидкости является потенциальным, т.е. безвих-

ревым. Такие тече иянимеют потенциал скорости φ и функцию тока ψ.

Потенциал скорости φ запишем в виде:

φ = kp/µ.

(3.5)

Будем

ассматривать плоскость течения как плоскость комплексной

переменной (

ис. 3.3)

тр

z = x +iy

(3.6)

АГ

НИ

ка

Рис. 3.2. Плоскость комплексной переменной

В курсе математической физики доказывается, что можно построить

функцию комплексного переменного:

w(z) = φ+ iψ

(3.7)

где

ϕ = 2π lnr = 2π ln

x + y

;ψ =

2πоarctg x ,

(3.8)

r – расстояние от начала координат до точки z.

Функция w(z) называется комплексным потенциалом плоского потенци-

ального течения.

Из (3.8) с учетом (3.5) получим:

ая

P =

qμ

ln(x2

+ y2 ) 12 .

(3.9)

2πkh

Линии тока (ψ=const или y/x=const) представляют собой прямые,

ачало координат,

а эквипотенциалы

или изобары

проходящие через

(φ=const, или x2+y2=const)н

– окружности с общим центром в начале коор-

динат.

тр

Для ист чника, когда скорость направлена от центра, расход поло-

жительный q>0, для стока (скорость направлена к центру) расход отрицательный q<0.

Задача 2. Течение жидкости в неограниченном плоском пласте к бес онечной цепочке скважин с радиусом rc. Расстояние между скважина-

ми равно 2а (рис. 3.4).
л	е	к

контур питания					НИ
контур питания
	L			АГ
				АГ

			ка
2а			ка
2а
		е
Рис.3.4. Схема бесконечной цепочки с важин.
	т

Достаточно рассмотреть одну полосу с одной скважиной и сформулировать задачу так: определить дебит скважины по жидкости в полосо-

образной залежи шириной 2а.				и
Плоскость (х,у) можно рассматривать как плоскость комплексной
переменной			л	,	о
		z=x+iy
и путем замены переменной		б	π z
и путем замены переменной
	и
	и
	ζ =sin а

эту полосу можно преобразовать в неограниченную плоскость, для которой записывают решение аналогично (3.9). Затем необходимо перейти к

исходным переменным. Тогда решение исходной задачи будет иметь вид:

ая

-бPс )

q =

2аkh(Pк

(3.10)

μêL +

πr

c û

Здесь L- расстоя ие от оси скважин до контура питания, м;

Рк –

– забойное давление; μ – вязкость

давление на ко туре питания, МПа; Рс

жидкости, мПа·с; kн– проницаемость пласта, мкм2; q – дебит скважины –

10-3.м3/с.

тр

По фо муле (3.10) можно определить дебит одной скважины из бес-

конечной цепочки скважин в неограниченном пласте при известном дав-

лении Рк на расстоянии L от оси у, радиусе скважины rс, давлении на за-
	е
бое Рс.
л		Задача 3.Приток жидкости с постоянным дебитом q к точечному

стоку, расположенному в однородном бесконечном пласте толщиной h

									НИ
при упругом режиме фильтрации. Течение плоскорадиальное, сток нахо-
дится в начале координат.
Задача описывается уравнением:
(	k ∂2 p	+	1 ∂p		) = β	∂p	, (3.11)	АГ

	μ ∂r2		r	∂r		∂t
	μ ∂r2		r	∂r		∂t

где β - упругоемкость пласта, k- проницаемость пласта, µ- динамическая вязкость жидкости. Уравнение (3.11) зависит от двух независимых переменных r, t.

Путем замены переменных по формуле:									ка
ξ=r/(æt)1/2 ,						(3.12)			ка
уравнение (3.11) приводят к дифференциальному уравн нию первого по-
								т
рядка, т.е. к уравнению от одной независимой п р м нной ξ, имеющему
аналитическое решение. Затем возвращаются к исходныме										переменным и
получают решение в виде:
pк-p=- qμ/(4πkh) Ei[-r2/(4 æt) ] ,									(3.13)
где æ=k/( μ β)- коэффициент пьезопроводности,оq – дебит скважины,
		∞ e−u				и
Ei[-r2/(4 æt) ] =		òu			du -			(3.14)
Ei[-r2/(4 æt) ] =					du -			(3.14)
				u л
интегрально показательная функц я,			2б
u= r /(4 æt).
Решение (3.14) Щелкачев В.Н. назвал основной формулой теории
упругого режима фильтрации /40/.	и
Замена (3.12) называется автомодельнойб							заменой, а решение, полу-
ченное этим способом – автомодельным решением.
Значение интегр льно-показательной функции можно найти в таб-
лице специальных функций.
Приближен о решеаяие (3.13) можно использовать для расчета рас-

пределения давле ия при упругом режиме и в случае притока жидкости к
	н
скважинам с радиусом rc.
н

Задача 4. Пусть имеется прямолинейный однородный пласт толщи-

ной h, ограниченный двумя галереями. Начальное		пластовое давление Р0.
Из левой гале еио	отбирают нефть с дебитом q, а	на правой галерее, от-

стоящей от левой на расстоянии х=l, давление постоянно Р0. Пласт разра-
		к
батывае ся в упругом режиме. Требуется определить распределение дав-
ления в пластетр			во времени.
л	е	Задача является одномерной и описывается уравнением:
л	е		æ ∂2 Р2	= ∂Р .	(3.15)
			∂х	∂t
					64

х и t.

Здесь искомая функция Р зависит от двух независимых переменных

Для решения этого уравнения можно использовать метод разделения переменных (метод Фурье), согласно которому решение ищется в виде

произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а дру-

гая – только от t:

P(x,t) = ϕ(t)× Y(x).

(3.16)

НИ

При такой замене уравнение (3.15) приводится к системе двух обык-

l ø

ка

новенных дифференциальных уравнений: одно для функции φАГ, другое –

для функции Ψ.

С учетом начальных и граничных условий, решение получим в виде:

xö

8(Po − P1 )

Po -Р(x,t)= (Po -P1 )ç1-

÷ -

2n+1 πx (3.17)

´еxpê-(2n+1)

æt /(4l

ú cos е

(2n+1)

где Р1- значение давления при х=0, t→∞.

На рис.3.5 показан вид кривой распределено

я давления, полученной

по формуле (3.17).

Для одномерного уравнения типа пьезопроводностии

можно приме-

нить преобразование Лапласа и получить решение его через функции Бес-
								и
селя. Это решение будет приведено несколько позже при рассмотрении
упругого режима фильтрации.							б		б
						ая	б
				н	н	ая
			о		н
		тр
		тр
			Рис. 3.5. Неустановившееся распределение давления
				в призабойной зоне пласта в упругом режиме
	Ме од эквивалентных фильтрационных сопротивлений
	Проанализируем формулу (3.10) для притока жидкости к скважине в
	е
полосообразной залежи, полученную выше точным методом. Запишем ее
л
в виде: к
								65

Первое слагаемое в скобках правой части данного выражения характеризует прямолинейное движение жидкости в галерее шириной 2а от контура питания до линии скважин, т.е. на расстояние L. Борисов Ю.П./4/ назвал

его внешним фильтрационным сопротивлением (рис. 3.6).

		μL		μ ln	a
				μ ln
pк	− рс = q(		+	π r
					c	)	(3.18)
		2πkh				)	(3.18)
		2πkh		2πkh
Формула (3.18)	имеет очень		простое геометрическое толкование.
								АГ	НИ

Второе слагаемое характеризует сопротивление при радиальном движении жидкости от условного кругового контура р диусом rк=а/π до контура скважины радиусом rс, которое Борисов Ю.П назвал внутренним

фильтрационным сопротивлением.		ка

Борисов Ю.П. предположил, что и в более сложных случаях плоских
установившихся течений фактические филь рационныее			сопротивления
приближенно можно разделить на эквивалентные внешние и внутренние.
	т
Метод эквивалентных фильтрационных с противлений позволяет
получить достаточно точные приближенные формулыо		для расчета дебитов

и давлений при различных системах разработки, например, для одноряд-
ной системы заводнения.									б	л	и
ной системы заводнения.
								и
							б
						ая

				н	н
			о		н
		тр

			Рис. 3.6. Схематизация фильтрационного потока
					в полосообразной залежи к скважине

		Задачак	5. Рассмотрим элемент однорядной системы с расстоянием
между нагнетательной и добывающей скважинами L. Расстояние между
л	е

скважинами в ряду 2а. Вытеснение поршневое, расстояние фронта заводнения от нагнетательного ряда хф (рис.3.7).

										АГ	НИ
									ка	АГ
								т	ка
	Рис. 3.7. Схема вытеснения нефти водой в элем н однорядной
	Системы заводнения: 1 – нагнетательный ряд, 2 – добывающийе									ряд
					и
Запишем формулу для дебита по аналогии (3.18). Она должна содер-
жать четыре слагаемых, выражающих:				л			о
∙				л		до условного контура rк=а/π в
∙	радиальное течение воды от контура rс					до условного контура rк=а/π в
			б
∙	окрестности нагнетательной скважины,
∙	прямолинейного течения воды от нагнетательного ряда до фронта
	воды,	и
	воды,
∙ прямолинейного течения нефти от фронта до добывающего ряда,

	∙ радиальное течение нефти от условного контура rк=а/π до контура rс
	в окрестности добывающей скважины
		+μ (L- хф)/(2аяаkн)+ μн ln(а/(πrc))/(πkн)]. (3.19).
	Записывая эти фильтрационныеб					сопротивления по аналогии с фор-
мулой (3.18), получим:
		рк –рc=q/(2h) [μв ln(a/(π rс))/ (π kв)+ μв хф /(2 а kв)+
		о	н	н
		о	н
		3.4. Понятие о численном методе решения
					фильтрационных задач
	Рассмо рим способ численного решения с применением конечно-
		к
разнос ного метода на примере одномерной задачи расчета распределения
	е
давления втрупругом режиме фильтрации на отрезке от х=х1 до х=х2 при
изм н нии времени t до Т (рис.3.8)
л
					67

АГ

НИ

ка

Рис3.8. Схема одномерной области фильтрации

Пусть граничные и начальное условия заданы вевиде:

Р(х=х1) = Рл, Р(х=х2)= Рп при 0 < t ≤ T,

(3.20)

P= с при t=0 для всех значений х.

(3.21)

уравнени-

Распределение давления описывается д фференциальнымо

ем в частных производных второго порядка:

æ ∂ Р

(3.22)

∂Р .

∂х

∂t

При использовании численных методов непрерывная область реше-

ния, показанная на рис. 3.8, заменяется на сеточную область (рис. 3.9.).

Решение поставленной задачи ищется только в узлах сеточной области.

Для построения сеточной о ласти разделим отрезок [0,а] по оси х на

ая

точками хi (i=0,1,2….N). Для простоты

N одинаковых частей с шагом ∆хб

положим æ=1. Временную ось разделим на слои с шагом по времени ∆t.

Назовем t=∆t первым слоем по времени, t=2∆t – вторым слоем, и т.д.

тр

Рис.3.9. Схема дискретного аналога непрерывной области фильтрации

pi+1,n − 2 pi,n + pi−1,n = pi,n+1 − pi,n	НИ
Для обозначения значения давления в узлах сетки введем индексы i

и n : Р(хi,tn)=Pi,n. Будем искать решение задачи только в узлах сетки, для этого в каждом узле дифференциальное уравнение (3.22) заменим следующим разностным уравнением или разностной схемой:

х2 t ; i= 1,2,..N-1; n= 1,2,3,…(3.23)

В граничных точках хо,n и хN,n значения давления согласно условиям

только для внутренних узлов. Таким образом, на каждом временном слое

(3.20) известны, поэтому разностные уравнения необходимо записывать
ка	АГ

решение исходной задачи сводится к решению системы N-1 лгебраических уравнений (3.23).

На начальном временном слое при n=0 давл ния определяются из

начального условия (3.21), поэтому расчеты проводи ся сначала для пер-
вого слоя n=1, затем для второго слоя n=2 и т.д.	о	е
В разностном уравнении (3.23) вторая пр изводнаят			по х аппрокси-
и	на n-ом слое, в него входит
мирована значениями давления рi-1,n; рi,n; и рi+1,n

только одно значение давления рi,n+1 на последующем (n+1)-ом слое. По-

этому если значения давления на n-ом с ое уже известны, то значения

давления на следующем слое опреде яются простым вычислением по

уравнениям (3.23).

Вторую производную можно было аппроксимировать значениями

давления также из (n+1)-го слоя:

i+1,n+1

− 2 p

i,n+1

+ p

i−1,n+1 =

i,n+1

− p

i,n

; i= 1,2,..N-1; n= 1,2,3,…(3.24)

х2

ая

При записи разностных уравнений (3.23) и (3.24) использованы по че-

тыре точки разностной сетки, которые можно изобразить схематично в
						н
виде шаблона, показ нной на рис. 3.10.
			тр	о	н
				о

		к	Рис.3.10. Шаблоны для явной (а) и неявной (б) разностных схем
		к
Разностная схема (3.23) называется явной схемой, а разностная схема
	е
(3.24) – неявной схемой.
л	При замене дифференциального уравнения разностным возникает
	При замене дифференциального уравнения разностным возникает

погрешность аппроксимации, которую можно оценить путем разложения рi+1,n, рi-1,n, рi,n+1 в окрестности точки (i,n) в ряд Тейлора. Если при умень-

шении шага сетки ∆х при фиксированном значении tn погрешностьНИаппроксимации уменьшается и стремится к нулю, то такая схема называется сходящейся к исходному дифференциальному уравнению.

При решении разностных уравнений уже вычисленные значения давления используются для расчетов значений давления в новых точках, при этом возникают погрешности округления, которые зависят от типа используемой разностной схемы. Если эти погрешности не возрастают, то схема называется устойчивой. Для численного решения задачи можно ис-

пользовать только сходящиеся и устойчивые схемы.			ка	АГ
				АГ
Глава 4		е


РАЗРАБОТКА НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
НА ЕСТЕСТВЕННЫХ РЕЖИМАХт
	о
При естественных режимах разработки звлечение нефти из пласта
и
происходит за счет использования упругой энергии пласта и насыщающих

его жидкостей. К ним относятся разработка п аста при упругом режиме, в
режиме растворенного газа и в газонапорномл			режиме.
		б
4.1. Разработка нефтяных месторождений при упругом режиме
	и
4.1.1 Проявление упругого режима и применение
б
теории упругого режима
При разработке нефт ных месторождений происходит перераспре-

деление пластового д вленияая, обусловленное упругими свойствами пласта и насыщающих его жидкости и газа.

стового давления находятсян в сжатом состоянии, а твердый скелет пласта - под действием огор ого давления, возникающего из-за веса вышележащих пород и давления в жидкости находится в упруго-напряженном состоянии. После пуска д бывающих скважин давление жидкости в призабойной зоне пласта понижается. Это вызывает расширение жидкости и со-

Вода и нефть вместе с растворенным газом под воздействием пла-

кращение порового объема, в результате чего происходит вытеснение

нефти с важинам. Понижение давления по мере эксплуатации скважин
	тр
постепенно распространяется вглубь пласта.
	Скоростьк	распространения давления в пласте определяется коэффи-
ци нтом пьезопроводности æ. Положение границы области распростране-
ния епониженного давления можно оценить по формуле Э.Б.Чекалюка:
л
		70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.04.20195.23 Mб5Тпп шпоры на экзамен.doc
#
15.05.2015833.82 Кб35Транскоммуникация - презентация.pdf
#
15.05.2015742.4 Кб117ТУ промышленных предприятий..doc
#
16.11.2019129.2 Кб4туризм самост. работа.docx
#
27.08.20192.99 Mб38тэп расчет воздухоснабжения.doc
#
15.05.20151.75 Mб60УП 1 Мусин.pdf
#
15.05.20151.65 Mб59УП Мусин 2.pdf
#
20.12.20187.89 Mб22Упр.кач. (лекции).doc
#
15.05.2015137.73 Кб37управление качеством.doc
#
15.05.201572.7 Кб18учебно-ознакомительная практика 2008.doc
#
15.05.2015404.48 Кб16ФИД курс 2010г..doc