Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

«Методы_оптимальных_решений»Зарипова З.Ф

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

374.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

План

î xi

³ 0, i = 1,5

+ 6 x3 → x

НИ

F =

3 x1

8 x2

ì3 x1

+ 2 x2

+ 2 x

= 100

+ 3 x2

+ 4 x

- x4 = 160

ï2 x1

АГ

ï x1

+ 2 x2 - 2 x3

+ x5

= 120

Введем

искусственные переменные

y1,

y2 в первое и

второе

уравнения

íx + 2x

- 2x

+ x

= 120

ка

системы, и преобразуем целевую функцию

для постановки на максимум к

виду:

F(x) = 3x1 + 8x2 + 6x3 - My1 - My2 .

ì3x + 2x

+ 2x

+ y

= 100

ï 1

= 160 .

ï2x1 + 3x2 + 4x3 - x4 + y2

ï 1

ïx ³ 0,i = 1,5

î i

y2 , x5 .

Свободные

Таким образом, базис составляют переменныет

y1,

переменные

x1, x2 , x3 , x4 .

целью

формулировки

задачи

ее

решения в

табличной

форме

д я

воспользуемся выражениями из системыл

уравнений для искусственных

переменных (выразим искусственные переменные через свободные):

ìy = 100 - 3x - 2x

- 2x

í 1

îy2

= 160 - 2x1 - 3x2 - 4x3 + x4

Подставим полученные выражения в целевую функцию:

ая

F(x) = 3x1 + 8x2 + 6x3 - My1 - My2 .

F(x) = 3x1 + 8x2 + 6x3 - M (100 - 3x1 - 2x2 - 2x3 ) - M (160 - 2x1 - 3x2 - 4x3 + x4 )

F(x) = (3 + 5M )x1 + (8 +

- 260M .

5M )x2 + (6 + 6M )x3 - Mx4

Определим стартовую точку решения: пусть

значения свободных

переменных

x1 =

= x3

= x4

= 0 ,

тогда

значения

базисных переменных

y1 =

100, y2 =

значение

целевой

функции

стартовой

точке

160

тр

→ −∞н.

Последовательность

решения задачи симплексным

F(x) = −260M

методом представим таблицей.

δi

Бази

Знач.

с.

баз.пер

пер.

100

160

-1

40 ←

120

-2

F(x)е

-260M

-3-5M

-8-5M

-6-6M

III

		20			2		1/2			0			1/2					0	1		-1/2			НИ
y1		20			2		1/2			0			1/2					0	1		-1/2				10 ←
x3		40			1/2		3/4			1			-1/4					0	0		1/4				80
x5		200			2		7/2			0			-1/2					1	0		1/2
F(x)		-20M+240			-2M		− 7		M	0				M		3		0	0			3 + 3M
					-		2	- 2					- 2		- 2						АГ		2
					-		2	- 2					- 2		- 2								2
x1		10			1		1/4			0			1/4					0	1/2		-1/4				40 ←
x3		35			0		5/8			1			-3/8					0	-1/4		3/8				56
																			ка
x5		180			0		3			0			-1					1	-1		1				60
F(x)		240			0		-7/2			0			-3/2					0	M		3/2+M
							-
x2		40			4		1			0			1					0	2		-1
x3		10			-5/2		0			1			-1				т	0	-3/2		4
x5		120			-12		0			0			-4			о	т	1	-7		5/2
F(x)		380			14		0			0			2			о		0е	M+7		M-2
Ответ.			Fmax	= 380,	X (0,40,10) .							л		и
Ответ.			Fmax	= 380,	X (0,40,10) .							л
Задание 4. Решить двойственным симплексным методом задачу
F = 570 - 6x1 - 5x2 - 4x3 ® max										и	б
ìx - 2x + 3x + x £ 1										и
ï 1	2		3	4		.			б
ï3x1 + 3x2 + x3 - 2x4 ³ 6						.
í
ï3x1 + x2 + 2x3 + x4 ³ 4
ï	³ 0, j = 1,4
îxj	³ 0, j = 1,4					ая
Решение.						ая
Комментарии.
В	двойственном				симплексном					методе			оптимальный						план	получают					в
					н																				в
результате движения по псевдопланам. Псевдопланом называется план,																									в

котором условия оптимальности выполняются, а среди значений базисных
переменных есть отрицательные числа.
Алгоритм двойстве			ого симплексного метода включает следующие шаги.
		о
1. Составле ие псевдоплана. Систему ограничений исходной задачи
приводят к системен			неравенств смысла «£». Для этого обе части неравенств
смысла « ³» необходимо умножить на (-1). Затем задачу следует привести к
каноническому виду, введя дополнительные переменные, которые будут
	к
явля ься базисными.
2. Проверка на оптимальность.					Если в полученном плане не выполняется
условие троптимальности				(см.	симплекс.-метод), то решаем задачу
симпл ксным методом.
л
Если в опорном плане критерий оптимальности выполнен и все значения
базисныхе		переменных –		положительные числа, то получен оптимальный
					32

НИ

план. Наличие отрицательных чисел в столбце «Значения базисных

переменных» свидетельствует о получении псевдоплана.

3. Выбор ведущих строки и столбца. Среди отрицательных значений

базисных

переменных выбирается

наибольшее

по

модулю. Строка,

АГ

соответствующая этому значению – ведущая. Для выбора ведущего столбца

симплексную таблицу дополняют строкой θ j ,

в которую вносят взятые по

абсолютной величине результаты деления коэффициентов индексной строки

на отрицательные коэффициенты ведущей строки.

ка

Минимальное среди чисел θ j

определит ведущий столбец и переменную

вводимую в базис. На пересечении ведущих строки и столбца находится

разрешающий элемент.

4. Расчет нового плана. Новый план получаем в результате пересчета

симплексной таблицы методом Жордана- Гаусса. Дал

п реходим к шагу 2.

Обратимся к решению задания 4. Умножим второе и третье неравенства

системы ограничений на (-1). Получим

ìx - 2x + 3x + x

£ 1

í- 3x1 - 3x2 - x3 + 2x4 £ -6 .

- x2 - 2x3 - x4 £ -4

î- 3x1

Далее перейдем к системе уравнений введя ба ансовые переменные x5 ³ 0 ,

³ 0 , x7 ³ 0 .

= x3 = x4 = 0л,

Свободные переменные: x1 = x2

азисные :

x5 = 1, x6 = -6 ,

x7 = -4 .

Полученный

первый

опорный план

X (0,0,0,0,1,−6,−4)

вносим в

симплексную таблицу.

План I в симплексной таблице является псевдопланом, определим ведущую

строку.

Среди

отрицательных

бзначений базисных переменных выбираем

наибольшее по модулю. Следовательно строка соответсвующая переменной

является ведущей. В строку θ вносим следующие величины :

;

Ми имальное значение в строке θ

соответствует столбцу

- 3

-1

ая

равен (-3).

выполняем

переменной

Разрешающий элемент

преобразова ие симплексной таблицы методом Жордана –Гаусса. Получим

план II

–

псевд план,

так как среди значений базисных переменных есть

отрицательн е число. Выполнив все шаги алгоритма, получим план III,

который являетсяо

оптимальным.

План

Базис

Значения

тр

Баз.пер.

-2

← x6

-6

-3

-1

-4

-3

-1

-2

-1


					F(X)		570				6		5			4		0			0		0		0	НИ
					F(X)		570				6		5			4		0			0		0		0

					θ						2		5/3 -			4		-			-		-	АГ	-
					θ						2		5/3 -			4		-			-		-		-

		II				x5	5				3		0			11/3		8/3			1		-2/3		0
						x2	2				1		1			1/3		-2/3			0		-1/3		0
						← x7	-2				-2		0			-5/3		-5/3			0		-1/3		1
					F(X)		560				1		0			7/3		10/3			0	ка	5/3		0
					F(X)		560				1		0			7/3		10/3			0		5/3		0
					θ						½ -		-			7/5		2			-		5		-
																				е
		III				x5	2				0		0			7/6		1/6		1			-7/6		3/2
						x2	1				0		1			-1/2		-3/2		0			-1/2		½
						x1	1				1		0			5/6		5/6	т	0			1/6		-1/2
						x1	1				1		0			5/6		5/6		0			1/6		-1/2

					F(X)		559				0		0			3/2		о		0			3/2		1/2
					F(X)		559				0		0			3/2		5/2		0			3/2		1/2
		Таким образом, оптимальный план X (1,1,0,0) , при этом Fmax =559.
	Задание 5.														б	л	и
		F(x) = 8x1 + x2 + x3					→ min							и
	ì		- x2 + 2x3 ³ 1											и
		ï2x1	- x2 + 2x3 ³ 1										б
		íx1 + x2 - x3 ³ 4
	ï
		îxj ³ 0, j = 1,3
	Для		данной задачи составить									двойственную					задачу.			Решите			двойственную
											ая
	задачу графическим методом. С помощью теорем двойственности найти
	решение исходной задачи исходя из решения обратной задачи.
	Решение.							н
	Решение.
	Комментарии.
	Произвольную задачу линейного программирования можно определенным
	образом					сопоставить			с		другой задачей						линейного программирования,
							о	ой. Первоначальная задача называется исходной. Эти
	называемой двойстве							ой. Первоначальная задача называется исходной. Эти
						тр
	две задачи тесно связанын									между собой и образуют единую двойственную пару.
	Различают симмет ичные, несимметричные, смешанные задачи.
	Пусть исходная задача
				к		+ c2 x2 + ... + cn xn
		F(x) = c1x1				+ c2 x2 + ... + cn xn		® max
Э		л	е
		л
														34
														34

НИ

ïa

x + a

+ ...+ a

£ b

ï 11

ïa21x1 + a22 x2 + ... + a2n

£ b2

при ограничениях : íï.........................................

ïa

x + a

+ ... + a

£ b

m1 1

ïxj ³ 0, j = 1,n i = 1,m

Задача задана в неканоническом виде.

Так как система ограничений задана

только неравенствами,

то пара задач будет симметричной. ЧтобыАГсоставить

математическую модель двойственной задачи, воспользуемся правилами составления двойственных задач:

Каждому неравенству системы ограничений исходной задачи приводим в

соответствие переменную yi .

ка

Составляем

целевую

функцию,

являются

коэффициен ами которой

свободные члены системы ограничений исходной задачи.

Составляем систему ограничений. Коэффициентыт

системы ограничений

образуют

транспонированную

матрицу

к эффициентов

системы

ограничений исходной задачи. Знаки

онеравенств меняются на

противоположные.

Свободными

членами

системы

ограничений являются коэффициенты

целевой функции исходной задачи.

случае

симметрии

между задачами все переменные двойственной

задачи неотрицательные.

Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

G( y) = b1 y1 + b2 y2 + ... + bm ym ® min

при ограничениях:

ïa

y + a

+ ... + a

³ c

ï 11

ïa

y + a

+ ...+ a

³ c

ï 12

í............................................. .

ïa

y + a

+ ... + a

ая

³ c

ïy ³ 0,i = 1,m j = 1,n

При

решении

пары двойственных задач применяют теоремы

двойственностио

, которые позволяют определить оптимальной решение

одной из пары задач по решению другой.

Теорема 1. Если одна из двойственных задач имеет оптимальной решение,

то

другая

тоже

имеет

оптимальной решение,

причем для дюбых

тр

оптимальных решений Xопт и Yопт выполняется равенство

Есе

Fmax

= Gmin

и одна из двойственных задач неразрешима ввиду того, что Fmax

® +¥

(или Gmin

® -¥ ), то другая задача не имеет допустимых решений.

Xопт и

НИ

Теорема 2. Для оптимальности допустимых решений

Yопт пары

двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они

удовлетворяли системе уравнений

ïxоптj (åaij yоптi

- cj ) = 0

i=1

- bi ) = 0

ïyоптi (åaij xоптj

j =1

ка

Вернемся к данной задаче

ï- y + y

£ 1

Рассмотрим решение задачи с использованием теорем двойственностиАГ

Составим двойственную задачу, руководствуясь приведенными пр вилами.

G( y) = y1 + 4y2 ® max ,

ì2y1 + y2

£ 8

1 2

ï2y1 - y2

£ 1

ïy

³ 0,i = 1,2

Решим обратную двойственную

задачу графическим методом. Получим

оптимальное решение обратной задачи :

при Yопт

) .

Gmax

= (

На основании первой теоремы двойственности Fmin

= Gmax

Подставим

компоненты оптимального решения обратной задачи y1, y2 и

компоненты оптимального решен я

сходной задачи

x1,

x2 ,

в систему

ì(2x - x + 2x -1) × y = 0 ì2x - x + 2x -1 = 0

ïx1 =

5ая7

бïx1 + x2 - x3 -

ï(x1 + x2 - x3 - 4) × y2 = 0

= 0

уравнений íï(2y1 + y2 - 8) × x1

= 0

; íï0x1 = 0

; íïx2 =

ï(y

- y - 8) × x = 0

ï0x = 0

ïx = 0

ï(2y - y -

ïx = 0

ï 3

1) × x = 0

Таким образом,

;0) , при этом Fmin

Xопт

= (

;

Задание 6. Транспортные задачи

тр

А1,А2, А3 в наличии запасы химического реагента в

На складах

количествах 90,400,110о

соответственно. Потребители – нефтедобывающие

предприя ия В1,В2,В3 должны получить химический реагент в количествах

140,300,160 соответственно. Расходы по перевозке 1т продукции заданы

матрицей (в условных денежных единицах).

æ2

2ö

НИ

Составьте такой оптимальный план, чтобы все потребности были

удовлетворены и при этом стоимость всех перевозок была бы наименьшей.

Решение.

АГ

Комментарии.

Общая постановка

транспортной задачи состоит в определении оптимального

плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления А

А 2 , …А m в n пунктов назначения В1 , В2

,.., В n .

ка

При этом в качестве критерия оптимальнос и обычно берется либо

минимальная стоимость перевозок всего груза, либотминимальное время его

доставки.

Рассмотрим

транспортную

задачу,

в качестве

критерия

оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза.

Обозначим

через

c ij

тарифы перевозки

единицы

груза из i

-го пункта

отправления

- запасы груза в i-том пункте

в j -ый пункт назначения, через аi

отправления, через b j - потребности в грузе в j-том пункте назначения, а через

xij - количество единиц груза, перевоз могоб

из I- пункта отправления в j- тый

пункт назначения.

Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального

значения функции

F= ååcij

xij

(1)

при условиях :

i=1

j =1

ая

åxij =b j

(j=1,n)

(2)

i=1

åxij =a i ,(i=1,m)

(3)

j=1

xij

³ 0,

(4)

Поскольку переменные

xij

удовлетворяют системам линейных

уравнений (2), (3) и условию неотрицательности (4), обеспечивается доставка
		тр
н обходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, вывоз
имеющ кгося груза из всех пунктов назначения, вывоз имеющегося груза из всех
пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки.
л	е

		37

											НИ
Опр. Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (2) и (3),
определяемое		матрицей			Х=(	xij ), (i=1,m, j=1,n),			называется		планом
транспортной задачи.
Опр.	План Х*	=(xij		* ),	(i=1,m, j=1,n), при котором функция (1) принимает
										АГ
минимальной значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.
							m	n
Кроме	того,	если	выполняется			условие	åai	= åbj ,	то модель		такой
						закрытой.	i=1	j=1
транспортной задачи				называется		закрытой.	Если	же указанное условие не
									ка
выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

Решение транспортной задачи методом потенциалов включ ет следующие

этапы:
1)	разработку начального плана (опорного решения);
2)	расчет потенциалов;							т
3)	проверку плана на оптимальность;						о	т
3)	проверку плана на оптимальность;						о
4)	поиск максимального звена неоптимальнос и (еесли условие п.3 не
	достигнуто);
5)	составление контура перераспределения ресурс в;
6)	определение минимального		элемента в			контуре			перераспределения и
					л	и
	перераспределение ресурсов по контуру;
7)	получение нового плана.			б
Данная		процедура повторяется	несколько			раз (итераций), пока не будет
найдено			и						алгоритм для каждой
найдено		оптимальное решение. Вычислительный							алгоритм для каждой

итерации не меняется.

Одним из методов построения первого опорного плана является метод наименьшего тарифа.

Алгоритм построения первого							опорного плана методом наименьшего
					ая			:
тарифа включает следующие этапыб								:
1)	среди тарифов находится наименьший;
2)	клетка		с	выбр нным		тарифом			заполняется	величиной, равной
	максимально возможному объему груза с учетом ограничений по строке
	и столбцу. При этом либо весь груз вывозится от соответствующего
	поставщика, либо полностью удовлетворяется заявка потребителя.
	Строка		или		столбецн	таблицы			вычеркивается	и в	дальнейшем
			о	ии	е участвует;
	распределе			ии	е участвует;
		тр
3) из оставшихсянтарифов вновь находится наилучший (наименьший), и
	процесс п одолжается до тех пор, пока не будет распределен весь груз.
Если модель				транспортной			задачи		открытая и	введены	фиктивные
	к

пос авщик или потребитель, то распределение осуществляется сначала для действительных поставщиков и потребителей, и в последнюю очередь

нераспределенный груз направляется от фиктивного поставщика или к
фиктивному потребителю.
л
Кроме того, начальный план (опорное решение) можно составить наиболее
простыме	методом- методом северо-западного угла. В соответствие с этим

методом загрузка клеток (распределение объемов пунктов отправления по

пунктам назначения) начинается с верхней левой клетки («северо-западная

часть таблицы) и продолжается вниз и вправо (по диагонали).

Расчет потенциалов выполняют по загруженным клеткам, для которых

выполняется следующее соотношение:

αi + β j = cij ,

АГ

НИ

где αi - потенциал i-ой строки;

β j - потенциал j-ого столбца.

Для первой строки всегда принимают α1 =0.

ка

Рассмотрим решение задания 6

Определение

эффективного

варианта

достав и

продукции

потребителю.

Во-первых, проверим, является ли данная транспор ная задача закрытой.

åAi

= 90 + 400 +110 = 600m ï

i=1

Þ åAi

=åBj

i=1

j =1

åBj = 140 + 300 +160 = 600mï

j =1

Таким образом, данная

транспортная задача закрытая. Найдем исходное

опорное решение методом минимального тарифа. Находим клетку матрицы
перевозок с наименьшим тарифом. Эта клетка a22 , в ней тариф равен 1.
Поскольку в эту клетку можно поместитьб				300 т груза (наименьшее из чисел
400 и 300 соответственно запасов А2 и потребностей В2).					2 столбец
можно считать закрытым. У поставщика А2 остается 400-300=100 т.
			н
В оставшейся незаполненной части матрицы наименьший тариф имеют
клетки a11 и a23 . Выберемаяпроизвольно клетку a11 и поместим сюда
перевозку 90 т, закрываем 1 строку.
В оставшейся	о	езаполненной части матрицы перевозок наименьший тариф
(3 денежных единицн			) имеет клетка a31 . Помещаем сюда 140-90=50 т,

уменьшая запасы А3 до 110-50=60 т, закрываем 1-ый столбец. Оставшаяся
часть мат ицы заполняется однозначно, в незаполненные клетки a23 ,
	к		60 т.
помещаем 10 т груза, в клетку a			60 т.
	е
Исходныйтрплан составлен.		33
л
			39

НИ

140

300

160

АГ

400

ка

300

100

110

Отметим, что число занятых клеток равно m + n −1 = 3 + 3 −1 = 5 , что означает

тп рное решение

условие невырожденности выполнено. Исх дн е

запишем в виде матрицы:

300 100

= ç

Определим стоимость перевозки при исходном опорном решении:

ая

×8 = 1610(д.е) .

Z (X1) = 90 × 2 + 300 ×1+100 ×5

+ 50 ×3 + 60

Комментарий:

Теперь необходимо выяс

ить, оптимален ли полученный план, используя

метод потенциалов по следующему принципу:

если опорное реше иен транспортной

задачи является оптимальным, то ему

соответствуют (m + n)

действительных чисел αi

β j , удовлетворяющих

тр

= Cij для занятых клеток и αi

+ β j

- Cij £ 0 для свободных

условиям

αi + β j

клеток. Числа оαi

и β j

, как уже отмечено выше, называют потенциалами. В

распредели ельную таблицу добавим строку

β j и столбец αi . Потенциалы

αi

и β j

определим из равенства αi

+ β j

= Cij , которое справедливо для

занятых

леток.

Пусть αi = 0 , остальные потенциалы определяются однозначно.

Действительное

если известно

αi , то β j = Cij

-αi . Если известно β j , то

αi

= Cij - β j .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.08.2019154.62 Кб177Voprosy_i_zadachi_dlya_GEK_-_menedzhment_-_2011....doc
#
15.05.201520.59 Кб56Voprosy_RNGM.docx
#
18.09.2019167.42 Кб3Vozmozhnye_zadachi_buh.doc
#
15.05.2015193.48 Кб10Zhukova_S_B_Yagudin_R_Kh_Organizatsia_normirov.pdf
#
26.04.201978.34 Кб8Znachenie_transporta_nefti.doc
#
15.05.2015374.74 Кб23«Методы_оптимальных_решений»Зарипова З.Ф..pdf
#
15.05.2015258.55 Кб53Автоматизация.docx
#
15.05.201537.89 Кб22АДРЕСНЫЙ БЛАНК.doc
#
15.05.20151.59 Mб28Айнур пояснялка.docx
#
15.05.201566.05 Кб16актуальные проблемы 7 вар.doc
#
15.05.201597.79 Кб16АХД 1 контр. раб..doc