2.12. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1.Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 ^. 2^-1и 0.11011 ^. 2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2.Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101 ^. 2¹⁰и 0.11101 ^. 2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому егомантисса сдвигается влево на два разрядас соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101 ^. 2⁰.

Умножение

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3.Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101 ^. 2¹⁰¹) ^. (0.1001 ^. 2¹¹) = (0.11101 ^. 0.1001) ^. 2^(101+11)= 0.100000101 ^. 2¹⁰⁰⁰.

Деление

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4.Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111 ^. 2¹⁰⁰: 0.101 ^. 2¹¹= (0.1111 : 0.101)^. 2^(100-11)= 1.1 ^. 2¹= 0.11 ^. 2¹⁰.

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

3. Цифровой логический уровень Вентили

Цифровая схема — это схема, в которой есть только два логических значения. Обычно сигнал от 0 до 1 В представляет одно значение (например, 0), а сигнал от 2 до 5 В — другое значение (например, 1). Напряжение за пределами указанных величин недопустимо. Крошечные электронные устройства, которые называются вентилями, позволяют получать различные функции от этих двузначных сигналов. Вентили лежат в основе аппаратного обеспечения, на котором строятся все цифровые компьютеры.

Описание принципов работы вентилей не является темой этой книги, поскольку относится к уровню физических устройств, который находится ниже уровня 0. Тем не менее мы очень кратко коснемся основного принципа, который не так уж и сложен. Вся современная цифровая логика основывается на том, что транзистор может работать как очень быстрый бинарный переключатель. На рис. (3.1, а) изображен биполярный транзистор, встроенный в простую схему. Транзистор имеет три соединения с внешним миром: коллектор, базу и эмиттер. Если входное напряжение Vinниже определенного критического значения, транзистор выключается и действует как очень большое сопротивление. Это приводит к выходному сигналу Vout, близкому к Vcc(напряжению, подаваемому извне), — для данного типа транзистора это обычно +5 В. Если Vinпревышает критическое значение, транзистор включается и действует как проводник, вызывая заземление сигнала Vout(по соглашению — это 0 В).

Важно отметить, что если напряжение Vin низкое, то Vout высокое, и наоборот. Эта схема, таким образом, является инвертором, превращающим логический 0 в логическую 1 и логическую 1 в логический 0. Резистор (ломаная линия) нужен для ограничения тока, проходящего через транзистор, чтобы транзистор не сгорел. На переключение из одного состояния в другое обычно требуется несколько наносекунд.

На рис. 3.1, б два транзистора соединены последовательно. Если и напряжение V1и напряжение V2высокое, то оба транзистора становятся проводниками и снижают Vout. Если одно из входных напряжений низкое, то соответствующий транзистор выключается и напряжение на выходе становится высоким. Другими словами, напряжение Voutявляется низким тогда и только тогда, когда и напряжение V1и напряжение V2высокое.

На рис. 3.1, в два транзистора соединены параллельно. Если один из входных сигналов высокий, включается соответствующий транзистор и снижает выходной сигнал. Если оба напряжения на входе низкие, то выходное напряжение становится высоким.

Эти три схемы образуют три простейших вентиля. Они называются вентилями НЕ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ соответственно. Вентили НЕ часто называют инверторами. Мы будем использовать оба термина. Если мы примем соглашение, что высокое напряжение ( Vcc) — это логическая 1, а низкое напряжение («земля») — логический 0, то мы сможем выражать значение на выходе как функцию от входных значений. Значки, которые используются для изображения этих трех типов вентилей, показаны на рис. 3.2, а-в. Там же показаны режимы работы функции для каждой схемы. На этих рисунках А и В — входные сигналы, X — выходной сигнал. Каждая строка таблицы определяет выходной сигнал для различных комбинаций входных сигналов.