Основы механики твердого деформируемого тела

после чего по формуле (1.41b) вычисляется опорная реакция

При T > 0 стержни 1 и 2 растянуты, а стержень 3 сжат.

Нестандартно, но с сохранением стандартной технологии, может быть решена и следующая задача. На рис. 1.21a изображен трехступенчатый стержень заданных размеров, материала и при известном силовом воздействии. Требуется установить его напряженно-деформированное состояние. Конструкция симметрична относительно оси 0 − 0, поэтому точки, принадлежащие оси бруса, в горизонтальном направлении не перемещаются. Это позволяет представить расчетную модель системы так, как это показано на рис. 1.21b. Использование указанных на нем безразмерных параметров

дает возможность сделать предстоящие выкладки более компактными. Состояние стержня характеризуют два перемещения v1 и v2, показанные на рис. 1.21c. Условия равновесия узлов 1 и 2 записываются, ввиду их очевидности, без комментариев:

Столь же очевидны кинематические и физические уравнения рассматриваемой задачи:

142 Часть II

Решение полной системы (1.44)–(1.46) в перемещениях строится обыч-

Пусть

k2 = k3 = η2 = η3 = 1, m = −1,

т. е. конструкция имеет вид, представленный на рис. 1.21d. Тогда (см. формулу (1.46a)4) µ2 = µ3 = 1 и

Решение в силах требует составления одного условия совместности удлинений стержней. Такое условие может быть получено сложением равенств (1.45): ∆1 + ∆2 + ∆3 = 0. Дальнейшие вычисления выполняются достаточно просто. Надо при помощи формул (1.46) в только что записанном условии совместности интегральных деформаций заменить величины ∆i на усилия, добавить два уравнения равновесия (1.44) и решить образовавшуюся систему трех уравнений с тремя неизвестными.

1.12. Дисково-стержневые конструкции. Полная система уравнений дисково-стержневой конструкции состоит из условий равновесия, кинематических соотношений и закона Гука. При силовом воздействии последний записывается в форме (1.29), а если воздействие несиловое, то в форме

(1.29a) либо (1.38). Несложно составить и условия равновесия конструкции. Что же касается кинематических соотношений, то перед тем, как их составить, надо установить число степеней свободы диска, выбрать параметры, характеризующие его состояние, и выразить через них линейные перемещения uj , vj всех точек (узлов), в которых к диску присоединяются деформируемые стержни.

Конструкция, изображенная на рис. 1.22a, состоит из жесткого диска, прикрепленного к земле при помощи четырех податливых стержней, и неподвижной шарнирной опоры. При любом внешнем воздействии этот диск сможет лишь повернуться относительно точки 0 на некоторый угол ϕ, который и выбирается в качестве единственного параметра, который характеризует состояние конструкции. Стало быть, C = = 1. Угол ϕ мал, поэтому допустимо считать, что при повороте диска точка A не перемещается по горизонтали, а точка B – по вертикали.

На рис. 1.22b показана конструкция с подвижной шарнирной опорой 0. Внешнее воздействие на такую конструкцию приведет не только к повороту диска, но и к его горизонтальному смещению. Именно в виде суперпозиции двух перемещений, следующих одно за другим: линейного – на расстояние u вдоль оси 0x и поворотного – на угол ϕ относительно точки 0 , можно представить себе движение диска в целом. Таким образом, в данном случае C = 2 и параметрами состояния служат перемещения u и ϕ. Ввиду их малости можно считать, что точка B остается на горизонтали и AA = 00 = u. Случай C = 3 представлен на рис. 1.22c. После сказанного выше его можно не комментировать.

Изменение длин деформируемых стержней зависит от перемещений тех точек, в которых эти стержни присоединяются к диску (см. точки A и B на рис. 1.22). Надо уметь выражать перемещения uj , vj узловых точек через параметры u, v и ϕ. Очевидно,

uj = u + ujϕ, vj = v + vjϕ,

где ujϕ, vjϕ – доли горизонтальной и вертикальной составляющих переме-

щения узла j при повороте диска на угол ϕ. Пусть диск поворачивается относительно неподвижной точки 0 против часовой стрелки на малый угол ϕ (рис. 1.23a). В этом случае можно считать, что точка j перемещается по перпендикуляру к радиусу ρ вращения этой точки, причем ρ tg ϕ ≈ ρ ϕ.

По рис. 1.23b видно, что

ujϕ = −ρϕ sin β, vjϕ = ρϕ cos β,

а так как ρ sin β = yj , ρ cos β = xj , то

ujϕ = −yj ϕ, vjϕ = xj ϕ.

Таким образом, чтобы найти величину линейного перемещения Uj фиксированной точки j по заданному направлению a–a (см. рис. 1.23c), надо значение ϕ угла поворота диска, которому точка j принадлежит, умножить на расстояние h от центра вращения 0 до линии a–a. Этим правилом и следует руководствоваться при вычислениях.

Если перемещения uj и vj узла j известны и стержень i крепится одним концом к земле, а другим – к узлу j, то

что совпадает с равенством (1.28). В этой формуле C – число деформируемых стержней, li, mi – направляющие косинусы оси стержня i, начинающегося

вузле j.

1.13.Система с одной степенью свободы. Рассматривается конструкция, изображенная на рис. 1.24a, при заданных генеральных размерах, осе-

вых жесткостях EFi деформируемых стержней и внешней нагрузке. Требу-

ется найти усилия Ni в стержнях 1–3, составляющие реакции шарнирной опоры 0, а также перемещения узлов 1 и 2. Конструкция статически неопределимая, поэтому нужно формировать полную систему уравнений.

Первые два равенства определяют опорные реакции:

включается в полную систему уравнений в качестве статического уравнения. По рис. 1.24c видно (см. также рис. 1.23c), что

Полная система уравнений (1.50) – (1.52) конструкции получена. Ее решение в перемещениях строится следующим образом. Из закона Гука (1.52)

Усилия Ni и реакции H0, V0 определяются формулами (1.53) и (1.49). Задача

и перейти тем самым к условиям совместности удлинений стержней. При помощи закона Гука (1.52) эти условия приводятся к виду:

Остается решить систему трех уравнений (1.54) и (1.50) относительно усилий N1–N3. Результат будет таким же, что и при решении в перемещениях.

Пусть теперь в условия задачи вносится следующее изменение: помимо распределенной нагрузки интенсивности q конструкция испытывает и кинематическое воздействие, состоящее в постановке при ее монтаже укороченного на величину δ стержня 2. В этой новой задаче статическое уравнение (1.50) и кинематические соотношения (1.51) сохраняются, но в закон Гука (1.52) придется внести коррективы. Точнее, изменится только второе из

В результате угол наклона диска увеличится по абсолютной величине:

= 8qL2 + 4EF2δ

ϕ −L(EF1 + 8√2EF2 + 18EF3) .

1.14. Система с двумя степенями свободы. Стержни 1–4 конструкции, изображенной на рис. 1.25a, испытывают повышение температуры на T oC.

Осевые жесткости стержней одинаковы, размеры стержней заданы. Требуется найти усилия в деформируемых стержнях, реакцию опоры 0 и перемещения узлов 0, 1, 2. По рис. 1.25b видно, что C = 2. В качестве параметров состояния выбираются линейное перемещение u диска по горизонтали и его поворотное перемещение ϕ относительно точки 0.

Условия равновесия конструкции составляются по рис. 1.25c:

Px = 0 : N2 sin β + N4 sin β = 0,

Py = 0 : N1 + N2 cos β + N3 + N4 cos β − V0 = 0,

M0 = 0 : N1L + (N2 cos β)L − N3kL − (N4 cos β)kL = 0.

Второе из этих условий приводится при помощи первого к виду:

Отсюда после определения усилий можно будет найти опорную реакцию V0. Два других условия равновесия

Проецирование этих узловых перемещений на оси деформируемых стержней приводит к кинематическим уравнениям конструкции:

∆1 = ϕL, ∆2 = ϕL cos β − u sin β,

(1.57)

∆3 = −kϕL, ∆4 = −kϕ cos β − u sin β.

Физические уравнения составляются при помощи формулы (1.38):

При решении задачи в перемещениях из равенств (1.58) исключаются удлинения стержней ∆i. Для этого используются соотношения (1.57):

Имеет смысл объяснить себе, почему именно такими получились знаки у перемещений и усилий.

1.15. Система с тремя степенями свободы. Пусть теперь диск рассмотренной в предыдущем пункте конструкции опирается на деформируемый стержень и в точке 0, а внешнее воздействие является силовым (рис. 1.26a). Состояние такой конструкции описывается тремя параметрами – линейными перемещениями u, v диска и его поворотом на угол ϕ относительно узла 1 (см. рис. 1.26b). Требуется найти усилия в стержнях 1–5.

Условия Px = 0, Py = 0, M0 = 0 равновесия диска составляются при помощи рис. 1.26c:

а условия совместности перемещений узлов и изменений длин стержней – при помощи рис. 1.26b:

∆1 = −v1, ∆2 = −v1 cos β − u1 sin β, ∆3 = −v2,

∆4 = −v2 cos β − u2 sin β ∆5 = v0.

Так как u0 = u1 = u2 = u, v0 = v + Lϕ, v1 = v, v2 = v + (1 + k)Lϕ, то

∆1 = −v, ∆2 = −v cos β − u sin β, ∆3 = −v − (1 + k)Lϕ,

(1.61)

∆4 = −[v + (1 + k)Lϕ] cos β − u sin β, ∆5 = v + Lϕ.

Физические уравнения имеют обычный для силового воздействия вид: