mu_optimiz

∙оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.

Рассмотрим экономико-математическую модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения.

Имеются m пунктов отправления груза А1, А2, ..., Аm и объемы отправления по каждому пункту a1, a2, ..., am. Известна потребность в грузах b1, b2,...,bn по каждому из n пунктов назначения B1, B2,..., Bn. Задана также матрица стоимостей сij, (i=1,2,...,m, j=1,2,...,n) доставки груза из пункта i в пункт j. Необходимо рассчитать оптимальный план перевозок, т. е. определить, сколько груза xij должно быть отправлено из каждого пункта отправления (от поставщика) в каждый пункт назначения (до потребителя) с минимальными суммарными транспортными издержками.

В общем виде исходные данные представлены в табл. 1.

Таблица 1. Исходные данные

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.

Для написания математической модели закрытой транспортной задачи необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию представить в виде математических соотношений. Все грузы из i-х пунктов (поставщики) должны быть отправлены, т. е.:

11

Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме:

Из экономических соображений должно выполняться также условие неотрицательности переменных:

xij ³ 0, (i = 1,2,...m; j = 1,2,...n)

Перевозки необходимо осуществить с минимальными транспортными издержками. Следовательно, целевая функция примет вид:

ï

В этой модели вместоîматрицы стоимостей перевозок могут задаваться матрицы расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы. Как видно из выражения (1), уравнение баланса является обязательным условием решения закрытой транспортной задачи, поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то ее необходимо привести к закрытой форме. В случае если

∙потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим объемом отправления;

∙запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом по-

требления.

Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.

Транспортным задачам присущи следующие особенности:

oраспределению подлежат однородные ресурсы;

oусловия задачи описываются только уравнениями;

oвсе переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;

12

oво всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;

oкаждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.

Транспортные задачи могут решаться симплексным методом. Однако перечисленные особенности позволяют для транспортных задач применять более простые распределительные методы решения.

На практике подобные задачи решаются, конечно же, при помощи различного программного обеспечения, что позволяет значительно упростить работу и сэкономить время.

Рассмотрим, как это можно сделать в среде электронных таблиц Microsoft Excel на примере следующей задачи

Пример решения задачи транспортной задачи

Исходная постановка задачи

В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 190 тонн горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 тонн горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 т соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 – 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 т соответственно.

Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.

Составим для наглядности таблицу исходных данных.

Важно отметить, что данная задача сбалансирована, то есть запасы горючего и потребность в нем равны. В этом случае не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками. В противном случае в модель нужно ввести:

∙в случае превышения объема запасов - фиктивного потребителя; стоимость перевозок единицы продукции этому фиктивному потребителю полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок этому потребителю

13

равны объемам складирования излишек продукции у поставщиков;

∙в случае дефицита - фиктивного поставщика; стоимость перевозок единицы продукции от фиктивного поставщика полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок от этого поставщика равны объемам недопоставок продукции потребителям.

Формальная математическая постановка задачи

Константы

1.Обозначим через сij стоимость перевозки единицы продукции от i-того поставщика j-тому потребителю, где i=1,2; j=1,2,3.

Z1=150 тонн, Z2=190 тонн горючего.

3.bj- потребности пунктов 1,2 и 3 в горючем, j=1,2,3, то есть b1=60 – потребность в горючем пункта 1;

b2=70 – потребность в горючем пункта 2; b3=110– потребность в горючем пункта 3.

Переменные

1.Пусть xij - объем перевозок от i-того поставщика j-му потребителю.

2.ai - расход горючего для i-го поставщика, где i=1,2.

3.S - cуммарные транспортные расходы

S = å2 å3 cij xij

i= 1 j= 1

Решение

1.Зададим математическую модель расхода горючего i-го поставщика

2. Математическая модель потребностей в горючем j-х потребителей

14

3. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, то есть:

Ограничения

Неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

1.неотрицательность объема перевозок, то есть xij≥0, (i=1,2; j=1,2,3);

2.в силу сбалансированности задачи, вся продукция должна быть вывезена от поставщиков и потребности всех потребителей должны быть удовлетворены.

Методика выполнения в Microsoft Excel

В табличном процессоре Microsoft Excel для решения подобных задач предусмотрена надстройка Поиск решения. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, для ее установки нужно выбрать команду Сервис > Надстройки, в появившемся диалоговом окне выбрать Поиск решения и нажать кнопку Ok.

Выполните следующую подготовительную работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения в табличном процессоре Microsoft Excel.

1.Введите в ячейки диапазона B4:D5 стоимости перевозок.

2.Отведите ячейки диапазона B8:D9 под значения неизвестных (объемов перевозок). Ячейки должны быть пустыми!

3.Введите в ячейки диапазона F8:F9 объемы запасов горючего у поставщиков.

4.Введите в ячейки диапазона B11:D11 потребность в горючем у потребителей.

5.В ячейку B14 введите функцию цели: =СУММПРОИЗВ(B4:D5;B8:D9). Сделать это можно при помощи мастера функций выбрав в разделе Математические функцию СУММПРОИЗВ и

указав необходимый диапазон.

15

6. В ячейки диапазонов E8:E9 введите формулы вычисляющие объемы запасов у поставщиков, в ячейки диапазона B10:D10 – формулы расчета объемов доставляемого топлива к потребителям.

А именно:

При этом на экране должно отображаться следующее:

7. Выберите в меню Сервис команду Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения, как показано на рисунке.

16

8. Нажмите кнопку Выполнить. Средство Поиск решения найдет оптимальный план поставок горючего и соответствующие ему транспортные расходы

В результате получаем следующее распределение горючего между поставщиками и потребителями:

Значение целевой функции составило 10200 денежных единиц. При этом, экономическая интерпретация результатов будет следую-

щая. Поставщик A перевозит потребителям 1 и 3 - 60 и 90 т горючего соответственно, поставщик В - потребителям 2 и 3 - 70 и 20 т горючего соответственно. При этом затраты на перевозку продукции будут минимальными и составят 10200 денежных единиц.

Оптимальный раскрой

Цели

В данном разделе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта область приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.

17

Студент должен уметь формулировать и использовать для экономического анализа следующие понятия:

•материал;

•заготовка;

•отходы; •способ раскроя (рациональный и оптимальный);

• интенсивность использования рациональных способов раскроя.

Модели

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала.

Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов.

Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности.

Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя.

На первом этапе определяются рациональные способы раскроя материала.

На втором этапе решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

1.Определение рациональных способов раскроя материала.

В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов.

Способ раскроя единицы материала называется рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

Пусть к — индекс вида заготовки, к = 1,..., q;

i – индекс способа раскроя единицы материала, i= 1,..., q;

aik – количество (целое число) заготовок вида к, полученных при раскрое единицы материала i-м способом.

Приведенное определение рационального способа раскроя может быть формализовано следующим образом.

Способ раскроя v называется рациональным (оптимальным по Парето),

если для любого другого способа раскроя i из соотношений aik >avk , к=1, ..., q, следуют соотношения aik = avk , к=1, ..., q.

18

2. Определение интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Обозначения:

j– индекс материала, j = 1,..., n;

к– индекс вида заготовки, к = 1, ..., q;

i– индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р;

бу (интенсивность использования способа раскроя);

cji — величина отхода, полученного при раскрое единицы j-го материала по i-му способу;

у — число комплектов заготовок различного вида, поставляемых заказчику.

Модель А раскроя с минимальным расходом материалов:

Здесь (1) – целевая функция (минимум количества используемых материалов);

(2)– система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(3)– условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения (2).

Модель В раскроя с минимальными отходами:

19

Здесь (4) – целевая функция (минимум отходов при раскрое материа-

лов);

(5)– система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(6)– условия неотрицательности переменных.

Здесь (7) – целевая функция (максимум комплектов, включающих заготовки различных видов);

(8)– ограничения по количеству материалов;

(9)– система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для формирования комплектов;

(10)– условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели линейного программирования являются ограничения (9).

Пример решения задачи оптимального раскроя

Исходная постановка задачи

Фирма производит две модели А и Б сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем использования станков. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели Б – 4 м2. Фирма может получать от поставщиков до 1 700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. станочного времени, а для изготовления модели Б – 30 мин. В неделю можно использовать до 160 часов станочного времени.

20