Несобственные интегралы I рода
Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.
Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Примеры
Несобственные интегралы II рода
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:
Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
Пример
Отдельный случай
Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .
Тогда можно найти несобственный интеграл
признак сходимости Абеля: 1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно); 2. g(x) монотонна и ограничена: . Тогда интеграл сходится. признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ; 2. g(x) монотонно стремится к нулю при : . Тогда интеграл сходится. Применим, например, признак Дирихле к . Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.
2
Принцип обобщенной индукции
Пусть X – вполне упорядоченное относительно < множество, а S(х) – некоторое высказывание, касающееся элемента х из X. Если требуется доказать справедливость S(х) для всех х, принадлежащих X, то необходимо:
1) доказать, что справедливо S(х0), где х0 – наименьший элемент в X;
2) доказать для всех х в X, удовлетворяющих условию х0 < х, что если справедливо S (у) для всех у < х, то справедливо и S(х).
Отметим, что если X – множество положительных целых чисел, а отношение < имеет обычный смысл, то принцип обобщенной индукции идентичен принципу строгой индукции
Чтобы убедиться в действенности принципа обобщенной индукции как метода доказательства, предположим, что S(х) – некоторое высказывание, для которого уже доказаны оба положения. Мы хотим сделать вывод о том, что S(х) справедливо для любых х в X. Предположим, что это не так. Пусть множество А = {х : х принадлежит X и S(х) ложно}. Если S(х) не справедливо для всех х в X, то А – непустое подмножество X. Так как X вполне упорядочено, то известно, что А содержит наименьший элемент а0. По определению это наименьший элемент X, для которого S(х) не справедливо. Таким образом, S(у) справедливо для всех у (если они есть), удовлетворяющих условию у < а0. Если а0 – наименьший элемент в X, то S(а0) справедливо, что следует из первого положения. В противном случае из справедливости S(у) для всех у < а0 и второго положения вытекает, что S(а0) справедливо. Но это противоречит предположению, что а0 принадлежит А и S(а0) ложно. Единственный способ устранить это противоречие – считать А пустым множеством, т.е. в X нет элементов, для которых высказывание S(х) ложно.