Теория теплопроводности. Закон Фурье

Теория теплопроводности рассматривает тело как непрерывную среду. Согласно основному закону теплопроводности - закону Фурье - вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален вектору градиента температуры:

,

где -коэффициент теплопроводности, Вт/(мК). Он характеризует способность вещества, из которого состоит рассматриваемое тело, проводить теплоту. Знак «-» указывает на противоположное направление вектора теплового потока и вектора градиента температуры. Вектор плотности теплового потока q всегда направлен в сторону наибольшего уменьшения температуры.

Скалярная величина вектора плотности теплового потока:

,

Коэффициент теплопроводности определяет плотность теплового потока при градиенте температуры 1 К/м. Коэффициент теплопроводности является физическим параметром и зависит от химической природы вещества и его физического состояния (плотности, влажности, давления, температуры). Диапазоны изменениядля различных материалов приведены на рисунке 27.

Рис. 27. Теплопроводность при стационарном режиме

О tднослойная плоская стенка

Р



q=Const

t_c1

t_c2

x

ассмотрим однородную плоскую стенку толщиной, на поверхностях которой поддерживаются температуры t_с1 и t_с2, причем t_с1>t_с2 (рис.28). температура изменяется только по толщине стенки - по одной координате х, коэффициент теплопроводности . Теплового потока в этом случае, в соответствии с законом Фурье, определяется по формуле:

Рис. 28. Изменение температур по толщине однородной плоской стенки

,

или

,

где , причемt_с1>t_с2;

- внутреннее термическое сопротивление теплопроводности стенки, (м²К)/Вт.

Распределение температур в плоской однородной стенке - линейное.

В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэффициент теплопроводности не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. значениенаходят в справочниках при средней температуре.

Тепловой поток (мощность теплового потока) определяется по формуле:

,

Многослойная плоская стенка

Р

t

₁

q=Const

t_c1

x

t_c2

t_c3

t_c1

₂

₃

₁ ₂ ₃

ассмотрим для тех же условий многослойную плоскую стенку с толщиной слоев₁, ₂,…, _n с соответствующими коэффициентами теплопроводности ₁, ₂,…, _n (рис. 29). Здесь слои плотно прилегают друг к другу.

В этом случае плотность теплового потока определяется по формуле:

,

Рис. 29. Распределение температур по толщине многослойной плоской стенки

где n - число слоев многослойной стенки;

t_c1 и t_c(n+1) - температуры на внешних границах многослойной стенки;

- полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки.

Плотность теплового потока, проходящего через все слои, в стационарном режиме одинакова. А так как коэффициент теплопроводности  различен, то для плоской многослойной стенки распределение температур - ломанная линия.

Рассчитав тепловой поток через многослойную стенку, можно найти температуру на границе любого слоя. Для к-го слоя можно записать:

,