Номинальная+и+эффективная+ставки+процентов
.pdfНоминальная и эффективная ставки процентов
Номинальная процентная ставка наращения
Год – это стандартный промежуток времени начисления процентов. Однако зачастую в финансовых операциях в качестве промежутка наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае проценты начисляются m раз в году. В договорах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая процентная, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является ч а с т н ы м с л у ч а е м номинальной при начислении процентов один раз в году.
Пусть j – номинальная ставка процентов. Проценты за один период начисляются по ставке j / m , а количество начислений равно m n. Наращённая сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:
|
j |
m n |
|
|
S = P 1 |
|
. |
(1) |
|
m |
||||
|
|
|
Задача 1. Какой величины достигнет долг, равный 20 000 р. через 5.7 года при росте по сложной ставке 14% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?
Решение. По условию i=0.14, P = 20 000, t=5.7. Тогда при начислении процентов раз в году получим S = 20 000(1+0.14)5.7 42207 р. 31 коп. При начислении процентов помесячно имеем
S = 20 000 |
1 |
0.14 12 5.7 |
44 217 р. 17 коп. |
|
||
12 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (1) вытекает, что математическое дисконтирование при заданной |
||||||
номинальной процентной ставке j осуществляется согласно |
|
|||||
|
|
|
|
j |
m n |
|
|
|
P = S 1 |
. |
(2) |
||
|
|
|
||||
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
Дисконтный множитель имеет вид 1/(1+j/m)mn.
Задача 2. Сумма 30 000 р. выплачивается через 2.5 года. Номинальная ставка процентов 16% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов.
Решение. В условии задачи применен термин «современная стоимость». Этот термин означает денежную сумму, которая эквивалентна размеру платежа, который должен быть получен в будущем. В данном случае требуется найти дисконтированную сумму для S =30 000: фактически ставится вопрос о стоимости этой суммы S, которая должна быть выплачена через 2.5 года, в настоящее время. Используя формулу (2) при j%=16%, m=4, n=2.5, получаем
P = 30 000 (1+0.16/4)–2.5 4 = 30 000 / (1+0.04)10 20266 р. 93 коп.
Эффективная процентная ставка наращения
Пусть номинальная годовая ставка процентов равна j и срок ссуды составляет один год. В этом случае при начислении процентов m раз в году по ставке j/m получаем множитель наращения (1+ j/m)m. Пусть теперь проценты начисляются лишь один раз в конце года по некоторой ставке a; множитель наращения имеет вид 1+a. Процентная ставка a является эффективной, если справедливо равенство
1+a = (1+ j/m)m. |
(3) |
Иначе говоря, эффективная ставка процентов – это годовая ставка процентов при начислении раз в году, которая даёт такой же результат, что m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Из (3) вытекают равенства, связывающие номинальную и эффективную процентные ставки и наоборот:
a = (1+ j/m)m – 1, |
j = m ( m |
|
1). |
1 a |
|||
Из (3) следует равенство |
|
|
|
(1+a)n = (1+ j/m)m n ,
которое можно истолковать следующим образом: замена в договоре сроком на n лет номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку a не изменит финансовых обязательств участников, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Задача 3. Номинальная ставка процента при начислении раз в полугодие равна 10%. Определить эффективную ставку.
Решение. Здесь j=0.1, m=2. Тогда a = (1+ j/m)m – 1 = (1+0.1/2)2 – 1 = 0.1025.
Пусть срок ссуды составляет n единичных промежутков. Рассмотрим соотношение эквивалентности между простой процентной ставкой наращения iпр и сложной процентной ставкой iсл. Это соотношение запишем с учетом условия, что начальная и наращённая суммы при применении рассматриваемых ставок одинаковы. Приравняем множители наращения друг к другу:
1+ n iпр = (1 + iсл)n,
откуда iпр = [(1 + iсл)n – 1] / n, iсл = (1 + n iпр)1/n – 1.
Задача 4. Простая процентная ставка депозита равна 10% годовых. Определить доходность в виде сложной годовой процентной ставки в случае: а) срок депозита составляет 0.5 года, б) срок депозита составляет 1.5 года.
Решение.
а) Имеем n=0.5, iпр = 0.1. Тогда iсл = (1 + 0.5 0.1)1/0.5 – 1= 0.1025 > iпр. Тот факт, что получилось iсл > iпр вполне согласуется с тем, что наращение сложных процентов идет медленнее, чем простых процентов, когда длина периода наращения меньше единичного периода.
б) Имеем n=1.5, iпр = 0.1. Тогда iсл = (1 + 1.5 0.1)1/1.5 – 1 0.09765 < iпр. Тот факт, что получилось iсл < iпр вполне согласуется с тем, что наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов, когда длина периода наращения больше единичного периода.
Непрерывные проценты наращения. Сила роста
j m n
Если в формуле S = P 1 , определяющей наращённую сумму при m
использовании номинальной процентной ставки наращения j, длительность периодов начисления процентов постоянно уменьшать, то количество m этих периодов в году будет увеличиваться. В пределе при стремлении длительности периодов к нулю их число стремится к бесконечности. Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста. Непрерывное наращение используется на практике при анализе характеристик ценных бумаг.
Определим величину силы роста . |
Формула для наращённой суммы при |
|||
непрерывном начислении процентов получается при m + : |
||||
Sнепр = lim |
P 1 |
j mn |
||
m |
|
|||
m |
|
Из курса высшей математики известен так называемый второй замечательный
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
предел |
e |
= lim 1 |
|
|
, |
|
где |
e – |
|
|
основание |
натуральных |
логарифмов; |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e 2.718281828. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n |
|
|
|
|
|
|
|
j n |
t m / j |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Sнепр = lim |
P 1 |
|
|
|
= |
lim |
P 1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
m |
t |
, при m |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim P 1 |
1 t j n |
= P e j n . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначая j |
символом |
, |
|
получаем |
формулу |
|
для |
наращённой |
суммы |
при |
|||||||||||||||||
непрерывном начислении процентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sнепр = P e n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Связь номинальной ставки j, |
по которой проценты начисляются m раз в году, с |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
m n |
|
||
силой роста |
находится из равенства множителей наращения |
1 |
|
|
= e n |
или |
|||||||||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
j |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
= e |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= m ln(1 + j/m). |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при m |
+ , и при |
большом числе периодов начисления процентов m (несколько десятков, сотен и
т.д.) получим |
j. Если задана годовая процентная ставка i, которая начисляется |
||
один раз в конце года, то m=1 и из (4) следует |
= ln(1 + i). Из (4) также следует |
||
равенство, связывающее номинальную ставку и силу роста: |
|||
|
j = m(e /m –1), |
i = e |
–1. |
Задача 5. На сумму 20 000 р. начисляются проценты по сложной годовой ставке i% = 12% в течение 4-х лет. Определить силу роста и наращённую сумму.
Решение. Здесь i=0.12, m=1. Тогда = ln(1 + 0.12) 0.1133. Тогда наращённая сумма, вычисленная через силу роста
S = 20 000e0.1133 4 31470 р. 39 коп.
Естественно, тот же самый результат получается при начислении сложных процентов в течение 4-х лет:
S = 20 000(1+0.12)4 31470 р. 39 коп.
Номинальная и эффективная учетные процентные ставки при дисконтировании
Если дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Ранее рассматривалось дисконтирование в случае m=1, учетная ставка обозначалась d и имела место формула P = S(1– d)n, где n – количество единичных промежутков (лет). В общем случае процесс дисконтирования по сложной учетной ставке f/m
описывается формулой
P = S(1 – f/m)n m .
Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку dсл, эквивалентную по финансовым результатам номинальной, применяемой
при m операций дисконтирования в году. Величина dсл находится из равенства
дисконтных множителей (1– dсл)n = (1 – f/m)n m . Имеем dсл = 1– (1 – f/m)m .
Задача 6. Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Найти эффективную учетную ставку dсл. Также определить сумму P, полученную владельцем векселя при учете.
Решение. Здесь f=0.18, m=4, n=1.5. Тогда
dсл = 1– (1 – 0.18/4)4 = 0.168210399375.
Указанную сумму можно вычислить двумя способами:
P=20 000(1– dсл)1.5 15 172 р. 26 коп., P=20 000(1– 0.18/4)1.5 4 15 172 р. 26 коп.