МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»
Центр дистанционного образования
Контрольная работа
по дисциплине: Методы оптимальных решений
Вариант 7
Исполнитель: студент
Специальность экономическая безопасность
Группа ЭПБ-12П
Ф.И.О Семкова Наталья Николаевна
Пермь
2013
Задание №1
Решить графически
.
Для построения области допустимых решений строим граничные прямые, соответствующие данным ограничениям.
Областью решения есть многогранник:
Построив прямую, отвечающую значению целевой функции (на рисунке изображена красным пунктиром), находим максимальное и минимальное значение. Прямую двигаем параллельным образом до последнего касания обозначенной области.
Для нахождения максимума:
Прямая пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
Решив систему уравнений, получим:
,
Максимальное значение целевой функции:
Для нахождения минимума:
Прямая пересекает область в точке С. Так как точка С получена в результате пересечения прямых (4) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
Решив систему уравнений, получим:
,
Минимальное значение целевой функции:
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (5), то на отрезке CA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Задание №2
Составить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли, используя симплексный метод, а также построить двойственную задачу и решить ее симплекс-методом.
Составим математическую модель.
Пусть – количество изделий (где– количество видов изделий, ). То есть, – количество изделий первого вида, – количество изделий второго вида и т.д. Известно – количество единиц ресурсов (, где – количество видов ресурсов, ) в единице продукции. Тогда – количество единиц ресурсов -ого вида для изделия -ого вида. Общее количество ресурсов будет иметь вид: , где – количество ресурсов -ого вида, что есть в наличии. Известно, что – стоимость единицы продукции -ого вида. Тогда – общая стоимость продукции-ого вида, а общая стоимость всей продукции будет иметь вид: .
То есть, математическая модель задачи имеет вид:
Найти максимум линейной функции при условии: , , .
F=3.7+3+6+2
Введением дополнительных неотрицательных переменных, преобразуем ограничения в систему уравнений.
F=3.7+3+6+2
=>
Строим симплексную таблицу и решаем симплекс-методом.
№ |
Базис |
|||||||||
0 |
5 |
8 |
3 |
8 |
1 |
0 |
0 |
85 |
28 1/3 |
|
7 |
6 |
9 |
3 |
0 |
1 |
0 |
100 |
11 1/9 (min) |
||
3 |
7 |
10 |
5 |
0 |
0 |
1 |
150 |
15 |
||
-3.7 |
-3 |
-6 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,85,100,150). Он неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В индексной строке выбрали максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выбрали столбец, соответствующий переменной , так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислили значения по строкам и из них выбрали наименьшее. Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент (9) находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Следующие преобразования таблицы: заполняем расчетную строку теми же элементами, разделенными на расчетный; остальные элементы расчетного столбца заполняем 0; остальные ячейки заполняются элементами, вычисленными по формулам: , где – новый элемент, –начальное значение элемента, – расчетный элемент, образующий с первую диагональ квадрата , – элементы, образующие вторую диагональ квадрата .
№ |
Базис |
|||||||||
1 |
2.67 |
6 |
0 |
7 |
1 |
-0.33 |
0 |
51.67 |
|
|
0.78 |
0.67 |
1 |
0.33 |
0 |
0.11 |
0 |
11.11 |
|
||
-4.78 |
0.33 |
0 |
1.67 |
0 |
-1.11 |
1 |
38.89 |
|
||
0.97 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0.67 |
0 |
66 2/3 |
|
Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов – найден оптимальный план: X = (0,0,11.11,0,51.67,0,38.89).
По условиям прямой задачи:
F=3.7+3+6+2
формируем двойственную задачу:
F=85+100+150
Введением дополнительных неотрицательных переменных, преобразуем ограничения в систему уравнений.
T=85+100+150
=>
Строим симплексную таблицу и решаем симплекс-методом.
№ |
Базис |
|||||||||
0 |
|
5 |
7 |
3 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
3.7 |
0,74 |
|
8 |
6 |
7 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
3 |
0,38 |
|
|
3 |
9 |
10 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
6 |
2,00 |
|
|
8 |
3 |
5 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
2 |
0,25 (min) |
|
-85 |
-100 |
-150 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
№ |
Базис |
|||||||||
1 |
|
0 |
5,13 |
-0,13 |
-1 |
0 |
0 |
0,63 |
2,45 |
3,92 |
|
0 |
3 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
1 (min) |
|
|
0 |
7,88 |
8,13 |
0 |
0 |
-1 |
0,38 |
5,25 |
14 |
|
1 |
0,38 |
0,63 |
0 |
0 |
0 |
-0,13 |
0,25 |
|
||
0 |
-68,13 |
-96,88 |
0 |
0 |
0 |
-10,63 |
21,25 |
|
№ |
Базис |
|||||||||
2 |
|
0 |
3,25 |
-1,38 |
-1 |
0,63 |
0 |
0 |
1,83 |
2,92 (min) |
0 |
3 |
2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
- |
||
|
0 |
6,75 |
7,38 |
0 |
0,38 |
-1 |
0 |
4,88 |
13 |
|
1 |
0,75 |
0,88 |
0 |
-0,13 |
0 |
0 |
0,38 |
- |
||
0 |
-36,25 |
-75,63 |
0 |
-10,63 |
0 |
0 |
31,88 |
|
№ |
Базис |
|||||||||
3 |
0 |
5,2 |
-2,2 |
-1,6 |
1 |
0 |
0 |
2,92 |
|
|
0 |
8,2 |
-0,2 |
-1,6 |
0 |
0 |
1 |
3,92 |
|
||
|
0 |
4,8 |
8,2 |
0,6 |
0 |
-1 |
0 |
3,78 |
6,3 (min) |
|
1 |
1,4 |
0,6 |
-0,2 |
0 |
0 |
0 |
0,74 |
|
||
0 |
19 |
-99 |
-17 |
0 |
0 |
0 |
62,9 |
|
№ |
Базис |
|||||||||
4 |
0 |
18 |
19,67 |
0 |
1 |
-2,67 |
0 |
13 |
0,72 |
|
0 |
21 |
21,67 |
0 |
0 |
-2,67 |
1 |
14 |
0,67 |
||
0 |
8 |
13,67 |
1 |
0 |
-1,67 |
0 |
6,3 |
0,79 |
||
1 |
3 |
3,33 |
0 |
0 |
-0,33 |
0 |
2 |
0,67 |
||
0 |
155 |
133,33 |
0 |
0 |
-28,33 |
0 |
170 |
|
Получим первый опорный план: Y1 = (2,0,0,6.3,13,0,0.67). Он неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
№ |
Базис |
|||||||||
5 |
0 |
0 |
1,1 |
0 |
1 |
-0,38 |
-0,86 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1,03 |
0 |
0 |
-0,13 |
0,05 |
0,67 |
|
||
0 |
0 |
5,41 |
1 |
0 |
-0,65 |
-0,38 |
0,97 |
|
||
1 |
0 |
0,24 |
0 |
0 |
0,05 |
-0,14 |
0 |
|
||
0 |
0 |
-26,59 |
0 |
0 |
-8,65 |
-7,38 |
66,67 |
|
Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов – найден оптимальный план: Y = (0,0.67,0,0.97,1,0,0).