Наука и искусство – периодические мозаики

ДжанкарлоДжирарди

Международныйцентртеоретическойфизикиим.АбдусаСалама,Триест,Италия ghirardi@ictp.it

Между наукой и искусством есть чёткие взаимоотношения. Это естественно: с одной стороны, множество живых организмов проявляет бесчисленные, поразительные формы симметрии, которые, в свою очередь, значительно повлияли на художественную практику; с другой стороны, учёные поняли, что один из самых рациональных способов раскрыть законы вселенной— этообратитьсяк анализусимметрии.

МозаичноеразбиениеплоскостиЭшера,воспроизведённоенадешёвом3D-принтере

Итак, во-первых, многие художники обратили особое внимание на симметрию, в ряде случаев даже сделали её ведущим каноном своих художественных произведений. Типичный пример — музыка, которая, в общем-то, вся пронизана и регулируется принципами симметрии и порой делает требования симметрии основным правилом создания произведения. Самые

характерные и впечатляющие примеры этого представляют нам поздние работы И.С. Баха «Искусствофуги»и«Музыкальноеприношение».

Аналогичный процесс характерен для многих произведений изобразительного искусства, от архитектуры (в западноевропейской традиции она тоже относится к изобразительным искусствам — прим. пер.) до скульптуры и живописи. Можно составить подробный список случаев, когда условие симметрии стало основополагающим структурным элементом визуальных композиций, но, безусловно, самый образцовый пример представлен в графических работах великого нидерландского художника М.К. Эшера (M.C. Escher). Действительно, он систематически обращался к вопросу составления мозаики на плоскости, т.е., выявления простых элементов мозаики, которые, еслиразложить ихрядом,позволяютсплошь покрыть всю плоскость.

13D-модельпредыдущеймозаикиМ.К.Эшера

Тот же вопрос представлял собой серьёзную задачу для математических исследований. На самом деле это было просто уточнением теории групп, одного из основных формальных инструментов этой дисциплины. Это уточнение позволило доказать, что если рассматривать проблему с точки зрения симметрий, описывающих элементы вышеописанной мозаики (очевидно, что разные изображения могут проявлять однуитужеформусимметрии),то найдётсялишь 17способовдостичь нужного результата.

Цель данной лекции — разъяснить, как так получается, что соображения симметрии подразумевают очень строгие условия, которым должны соответствовать все возможные элементымозаики,и,как следствие,оничрезмерноограничиваютихколичество.

Несмотря на то, что эта книга имеет дело с основополагающим и очень многообещающим предметом — доступной 3D-печатью, и несмотря на то, что трёхмерная симметричная структура

кристаллов очень тесно связана с проблемой мозаичного представления трёхмерного пространства, я ограничусь рассмотрением почти исключительно одномерных и двухмерных случаев, то есть создания повторяющихся орнаментальных фризов и мозаичного разбиения плоскости на идентичные фрагменты. Как мы видели в случае двухмерной плоскости, определить все возможные способы фрагментации — уже предельно сложная задача. При переходе к трём измерениям сложность увеличивается ещё сильнее. Фактически, в то время как есть всего семь типов упорядоченных линейных структур и, как уже упоминалось, 17 типов мозаичного разбиения двухмерного пространства, в трёхмерном случае возможных разбиений (мыговориморазбиенияхссимметричнойструктурой)оказывается230.

Несколько примечаний в заключение. Меня пригласили прочитать лекцию для широкой публики, не имеющей никакого определённого отношения к научным проблемам. Что ж, так получилось, что много лет назад я занимался, просто ради развлечения, той же самой проблемой, которая вдохновила Эшера, т.е. выполнением мозаичного разбиения плоскости. А поскольку я считаю, что полученные мною рисунки могут показаться интересными, я завершу своё выступление упоминанием причин, по которым я взялся за претенциозную задачу создания более30мозаик.Насамо мделеябыл движимстраннымзамысломсозданияколодыТаро,в которой все обычные рисунки, которые можно найти в большинстве карточных колод, имели бы форму, позволяющую составить мозаику. Мне кажется уместным добавить несколько слов о том, как япришёл к тому,чтоясделал.

Со школьных времён я интересовался представлениями Фрейда о нашем психологическом развитии. Много позже я прочёл увлекательную книгу известного итальянского писателя Итало Кальвино (Italo Calvino) «Замок скрещённых судеб». Идея Кальвино очень проста: проверить, зависит ли символическая ценность рисунка от контекста, в который он помещён. В романе множество людей, пережив ужасные события, потеряли способность говорить. Поэтому, когда они приезжают в Замок и находят на столе Колоду Таро, один из них начинает раскладывать последовательность карт, которая вкратце передаёт его историю. Игру продолжают другие, до тех пор пока один из них не оказывается перед большой прямоугольной площадью, замощённой всеми картами. Любая последовательность, которая образуется при перемещении по прямоугольнику карт в разных направлениях (по горизонтали, вертикали, диагонали и т.д.), складывается в захватывающую историю (Гамлет, Эдип и т.д.),иэтиистории,тоесть судьбыих героев,вбуквальномсмыслепересекаютдругдруга.

Таким образом я начал интересоваться картами Таро. И обнаружил, что есть разные возможности их интерпретации, от самых глупых, таких как их использование для предсказания будущего, до исследований серьёзных учёных, например Юнга (Jung) и Райхенбаха (Reichenbach).Мнесталоочевидно,чтоспозициифрейдизмаулюбогоизображениятароесть определённое значение (обычно Император — это образ отца, Императрица — требовательной матери, Верховная Жрица — хорошей, отзывчивой матери, Влюблённые символизируют выбор между принципом удовольствия и реальности и т.д.).Еслисмотреть сэтойточкизрения,то естественным образом приходишь к следующей мысли: каждое изображение показывает ключевой момент личного психологического развития. Но если кто-то является жертвой какогонибудь «комплекса», давайте вспомним, к примеру, эдипов комплекс, то этот комплекс пропитываетсобойвесь егомир.

Длятех,ктознал илюбил Эшера,предположениебылоочевиднымиинтеллектуально заманчивым: так как мир карт двухмерен, то для того, чтобы показать всеобъемлющую роль отображённых в картах ключевых психологических моментов, связанные с ними образы должны заполнить двухмерный мир самих карт. Таким образом и родилась идея периодической колоды Таро.

Переводчики:aks_id