Анализ сезонных колебаний

В практической деятельности немаловажные значения имеют сезонные колебания. Наиболее простым способом анализа является определение индекса сезонности.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени tбольше среднего уровня либо уровня вычисляемого по уравнению тенденцииf(t).

Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основных тенденций.

Для ряда внутригодовой динамики, при отсутствии тренда или его незначительности индекс сезонности i_сезрассчитывается по формуле :

,

где i_сез– индекс сезонности;

у_t– уровень показателя;

–средний уровень показателя.

При наличии тренда индекс сезонности определяется методами, исключающими влияние тенденции.

1. Для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t).

2. Рассчитывают отношения

3. При необходимости находят среднее из этих отношений для одноимённого периода времени (месяц, квартал):

где Т- число лет.

Моделирование тенденции временного ряда

При анализе рядов динамики необходимо установить закономерность изменения уровней изучаемого явления. Ряды динамики экономических показателей могут иметь тенденцию четкого увеличения, четкого снижения, либо уровни ряда претерпевают самые различные изменения. Они могут то возрастать, то убывать, и общая тенденция развития не совсем ясна. На динамику изучаемого показателя оказывают влияние множество факторов в течение длительного периода времени.

Ряд динамики может быть представлен в виде составляющих:

• тренд основная тенденция развития динамического ряда,

• циклические колебания, в том числе сезонные,

• случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

• ряд динамики проверяется на наличие тренда;

• производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Экстраполяция– продолжение временного ряда на будущее по выявленной закономерности его развития.

Выделение тренда может быть произведено тремя методами:

• укрупнение интервалов.

• скользящая средняя.

• аналитическое выравнивание.

Выявление основной тенденции может быть осуществлено методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются укрупнённые интервалы, состоящие из равного числа уровней. Полученная средняя относится к середине укрупнённого интервала. При использования метода скользящей средней ряд динамики сокращается на К–1, гдеК– число уровней, включённых в период сглаживания.

Пример расчёта скользящей средней представлен в табл. 14

Таблица 14

	Выпуск продукции в тыс. руб.	Скользящая сумма	Скользящая средняя
1	7	–	–
2	2	12	4
3	3	11	3,7
4	6	16	5,3
5	7	18	6
6	5	23	7,7
7	11	24	8
8	8	28	9,3
9	9	20	6,7
10	3	–	–

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости.

Параметры уравнения рассчитываются с помощью методов наименьших квадратов.

где n– число фактических уровней динамического ряда;

у_i– фактические уровни динамического ряда;

–расчётные (теоретические) уровни динамического ряда

Расчёт параметров уравнения можно упростить, если при обозначение времени tиспользовать способ отсчёта времени от условного начала. При этом необходимо соблюдать условия. При нечётном числе уровней ряда динамики среднее значение обозначаем через 0 и принимаем его за условное начало отсчёта времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. При чётном числе уровней два средних значения обозначаем +1 и –1 и принимаем их за условное начало отсчета времени с интервалом +2 всех последующих уровней и –2 всех предыдущих уровней.

При использовании способа отсчёта времени от условного начала параметры линейного уравнения тренда определяются по следующим формулам :

По исчисленным параметрам составляем линейное уравнение тренда:

Расчет параметров линейного уравнения тренда представлен в табл. 15.

Таблица 15

	y	t	Yt	t2
1	7	-9	-63	81	4,75
2	2	-7	-14	49	5,05
3	3	-5	-15	25	5,35
4	6	-3	-18	9	5,65
5	7	-1	-7	1	5,95
6	5	+1	5	1	6,25
7	11	+3	33	9	6,55
8	8	+5	40	25	6,85
9	9	+7	63	49	7,15
10	3	+9	27	81	7,45
	61	0	51	330	61

Для получения обобщённой статистической оценки тренда использован метод аналитического выравнивания, суть которого состоит в том, что основная тенденция развития рассчитывается как функция времени

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времениt.

Для отображения основной тенденции объёмов продаж во времени могут быть использованы следующие функциональные уравнения:

• линейное:

• параболическое:

• экспоненциальное:

• логистическое:

где а₀, а₁,а₂ – параметры уравнения,

t – условное обозначение времени.

Определение теоретических (расчётных) уровней у_t производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики. Параметры каждого из рассмотренных уравнений можно определить методом наименьших квадратов. В качестве независимой переменной используется время t= 1, 2, ...,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда у_t.

Тип тенденции можно определить на основе качественного анализа, построения графика уровней ряда от времени, расчёта основных показателей динамики. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого явления во времени, то синтезированная на этой основе трендовая модель может быть использована для прогнозирования.

Выбор наилучшего уравнения тренда осуществляется путём перебора основных форм тренда и оценочных показателей для каждого уравнения. Реализация этого метода осуществляется с использованием типовых компьютерных программ.

• EXCEL позволяет при построении уравнений тренда большую часть работы выполнить очень быстро.

• При расчёте параметров уравнения тренда можно использовать соответствующие статистические функции пакета EXCEL.

• По данным численности населения Российской Федерации за 2002-2006 гг., на рис. 5 представлена динамика численности населения, линия тренда и линейное уравнение тренда, а также выполнен прогноз (экстраполяция) на будущие периоды.